חזרה: המשולש ישר הזווית · טריגונומטריה במישור · כיתה י׳

בכל פרק הטריגונומטריה נשתמש ביחסים שהכרתם בכיתה ט. לפני שעוברים למשולש כללי, כדאי לראות שוב למה היחסים האלה בכלל קיימים: הם לא תלויים בגודל המשולש, רק בזווית.

שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה ליד הקדקוד A. הקטן הוא הקטנה של הגדול פי 2.

בשרטוט $AB = 8$ , $BC = 6$ , $AD = 4$ ו- $DE = 3$ . חשבו את $AC$ ואת $AE$ , ואחר כך את $\frac{BC}{AC}$ ואת $\frac{DE}{AE}$ . מה קיבלתם, ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

לפי פיתגורס $AC = 10$ ו- $AE = 5$ . שני היחסים שווים ל- $\frac{3}{5}$ . המשולשים $ADE$ ו- $ABC$ דומים (ז.ז: זווית משותפת וזווית ישרה), ולכן היחס בין הצלע שמול $A$ ליתר זהה בשניהם. היחס תלוי רק בזווית $A$ — וזה בדיוק $\sin A$ .

שלושת היחסים

\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול הזווית, חלקי הניצב שלידה.

כאן $c$ הוא היתר, $a$ הניצב שמול הזווית $\alpha$ ו- $b$ הניצב שלידה. השמות נגדי וליד תלויים בזווית שבוחרים: הניצב שנגדי לזווית אחת הוא הניצב שליד הזווית השנייה.

הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°

\begin{aligned}\sin 30^\circ &= \cos 60^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

מחצי משולש שווה צלעות: הניצב הקצר הוא חצי היתר.

\begin{aligned}\sin 60^\circ &= \cos 30^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הגובה של משולש שווה צלעות שצלעו 2.

\begin{aligned}\sin 45^\circ &= \cos 45^\circ \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

מחצי ריבוע שצלעו 1: היתר הוא האלכסון $\sqrt{2}$ .

\tan 45^\circ = 1

שני הניצבים שווים.

במשולש ישר זווית שני הניצבים שווים ל- $1$ . מהו היתר, ומהו $\sin 45^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

היתר $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ , ולכן $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

בהוכחה כותבים $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , בחישוב מספרי מותר $0.707$ . ערך מעוגל בתוך הוכחה הופך שוויון מדויק לשוויון בקירוב, וההוכחה כבר לא מוכיחה. ובמחשבון — לבדוק שהוא במצב מעלות (DEG): במצב רדיאנים $\sin 30$ נותן $-0.988$ .

למצוא צלע, למצוא זווית

פעילות אינטראקטיבית

במשולש ישר זווית

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 10$ ו- $\angle A = 35^\circ$ . מצאו את $BC$ ואת $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה), ואחר כך את $\angle B$ .

איזה יחס מקשר את $BC$ ליתר $AB$ ולזווית $A$ ?

$\sin A$ , כי $BC$ הוא הניצב שמול $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

נכון. מול הזווית, חלקי היתר.

$\cos A$ , כי $BC$ נוגע ב- $A$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ לא יוצא מהקדקוד $A$ . הניצב שליד $A$ הוא $AC$ .

$\tan A$ .

להציג את התשובה והפתרון

טנגנס לא כולל את היתר, ודווקא היתר נתון.

BC = 10\sin 35^\circ \approx 5.74

כופלים את שני האגפים של $\sin 35^\circ = \frac{BC}{10}$ ב- $10$ .

ואיך מוצאים את $AC$ ?

$AC = 10\cos 35^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AC$ הוא הניצב שליד $A$ .

$AC = \dfrac{10}{\cos 35^\circ}$ .

להציג את התשובה והפתרון

כך מוצאים יתר מניצב. כאן היתר נתון.

$AC = 10 - 5.74$ .

להציג את התשובה והפתרון

צלעות של משולש לא מתחלקות כך. היתר ארוך מכל ניצב, אבל הוא לא הסכום שלהם.

AC = 10\cos 35^\circ \approx 8.19

בדיקה: $5.74^2 + 8.19^2 \approx 100$ .

ומהי $\angle B$ ?

$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

כן, סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא $90^\circ$ .

$180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הזווית הישרה. במשולש אין מקום לזווית קהה נוספת.

\angle B = 55^\circ

ואפשר לוודא: $\cos 55^\circ = \frac{BC}{AB} \approx 0.574$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BC \approx 5.74$ , $AC \approx 8.19$ , $\angle B = 55^\circ$ . מול הזווית הקטנה יותר נמצא הניצב הקצר יותר.

לעשות את הפעילות ב-elev

במשולש ישר זווית ידועים שני הניצבים, $3$ ו- $4$ . איך מוצאים את הזווית שמול הניצב $3$ בלי לחשב את היתר?

להציג את התשובה והפתרון

בטנגנס: $\tan\alpha = \frac{3}{4}$ , ולכן $\alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^\circ$ . היחס היחיד שלא צריך את היתר.

משולש שווה שוקיים: הגובה הופך אותו לשני משולשים ישרי זווית

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם תיכון — ויוצר שני משולשים ישרי זווית חופפים.

הביעו באמצעות $k$ ו- $\alpha$

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = 2\alpha$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. הביעו באמצעות $k$ ו- $\alpha$ את $BC$ ואת $AD$ .

\angle BAD = \alpha

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את זווית הראש

BD = k\sin\alpha

במשולש $ABD$ (ישר זווית ב- $D$ ): $BD$ מול $\alpha$ , והיתר $AB = k$

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

AD = k\cos\alpha

$AD$ הוא הניצב שליד $\alpha$

בדיקת ממד: $BC$ ו- $AD$ הם אורכים, ולכן בביטוי שלהם $k$ מופיע בחזקה ראשונה. ביטוי כמו $k^2\sin\alpha$ לא יכול להיות אורך — הוא שטח.

שלוש טעויות שחוזרות בחזרה על המשולש ישר הזווית.

\sin\alpha = \frac{b}{c}

\sin\alpha = \frac{a}{c}

בלבול בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. לפני כל חישוב — לסמן על השרטוט איזה ניצב נגדי ואיזה ליד.

c = b\cos\alpha

c = \frac{b}{\cos\alpha}

כשהיתר הוא הנעלם מחלקים. בדיקה: היתר חייב לצאת ארוך מכל ניצב, ו- $b\cos\alpha$ קצר מ- $b$ .

\sin 30^\circ = -0.988

\sin 30^\circ = 0.5

המחשבון במצב רדיאנים. תוצאה שלילית בזווית חדה היא סימן אזהרה.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 12$ ו- $\angle A = 40^\circ$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.71

הפתרון:

\sin 40^\circ = \frac{BC}{12}

$BC$ מול הזווית $A$ , $AB$ יתר

BC = 12\sin 40^\circ \approx 7.71

$BC \approx 7.71$ . המלכודת: $12\cos 40^\circ \approx 9.19$ — זה $AC$ , הניצב שליד $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 9$ ו- $BC = 5$ . מצאו את $\angle A$ במעלות (עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.1

הפתרון:

\begin{aligned}\tan A &= \frac{BC}{AC} \\ &= \frac{5}{9}\end{aligned}

שני הניצבים ידועים — טנגנס

A = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{9}\right) \approx 29.1^\circ

$\angle A \approx 29.1^\circ$ . המלכודת: $\tan A = \frac{9}{5}$ נותן $60.9^\circ$ , שהיא הזווית $B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. איזה יחס שווה ל- $\cos B$ ?

$\frac{BC}{AB}$
$\frac{AB}{BC}$
$\frac{AC}{AB}$
$\frac{AC}{BC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{BC}{AB}$

הפתרון:

\cos B = \frac{BC}{AB}

קוסינוס: הניצב שליד $B$ חלקי היתר. הניצב שיוצא מהקדקוד $B$ הוא $BC$

\sin B = \frac{AC}{AB}

והניצב $AC$ , שמול $B$ , שייך לסינוס

התשובה: $\frac{BC}{AB}$ . המלכודת: $\frac{AC}{AB}$ הוא $\sin B$ — וגם $\cos A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השלימו את הערכים המדויקים (כתבו מספר עשרוני כשצריך).

$\sin 30^\circ =$ ____, $\cos 60^\circ =$ ____, $\tan 45^\circ =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sin 30^\circ =$ 0.5, $\cos 60^\circ =$ 0.5, $\tan 45^\circ =$ 1

הפתרון:

\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}

חצי משולש שווה צלעות: הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}

אותו ניצב, הפעם ליד הזווית $60^\circ$

\tan 45^\circ = 1

במשולש ישר זווית ושווה שוקיים הניצבים שווים

$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ — הזוויות משלימות ל- $90^\circ$ . המלכודת: לחשוב ש- $\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 10$ ו- $\angle BAC = 50^\circ$ . מצאו את אורך הבסיס $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.45

הפתרון:

\angle BAD = 25^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

BD = 10\sin 25^\circ \approx 4.226

במשולש $ABD$ , ישר זווית ב- $D$

BC = 2BD \approx 8.45

הגובה הוא גם תיכון

$BC \approx 8.45$ . המלכודת: $10\sin 50^\circ$ — הזווית $50^\circ$ היא זווית הראש כולה, ואינה נמצאת במשולש ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle ABC = \beta$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. הביעו את $AD$ באמצעות $k$ ו- $\beta$ .

$k\tan\beta$
$\frac{k}{\sin\beta}$
$k\sin\beta$
$k\cos\beta$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $k\sin\beta$

הפתרון:

\triangle ABD:\ \angle D = 90^\circ

משולש ישר זווית עם יתר $AB = k$

\sin\beta = \frac{AD}{k}

$AD$ מול הזווית $B$

AD = k\sin\beta

התשובה: $k\sin\beta$ . המלכודת: $k\cos\beta$ הוא $BD$ , חצי הבסיס — הניצב שליד $\beta$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נכון או לא נכון: במשולש ישר זווית ייתכן ש- $\sin\alpha = 1.2$ עבור אחת הזוויות החדות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\sin\alpha = \frac{a}{c}

ניצב חלקי יתר

a < c \Rightarrow \sin\alpha < 1

היתר ארוך מכל ניצב

לא נכון. בזווית חדה $0 < \sin\alpha < 1$ . אם יצא לכם סינוס גדול מ- $1$ , יש טעות בחישוב — או שהמשולש לא קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סולם שאורכו $5$ מטרים נשען על קיר אנכי, ויוצר עם הקרקע זווית של $70^\circ$ . לאיזה גובה על הקיר מגיע הסולם? (במטרים, שתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.7

הפתרון:

\sin 70^\circ = \frac{h}{5}

הגובה מול הזווית שליד הקרקע, הסולם הוא היתר

h = 5\sin 70^\circ \approx 4.70

$h \approx 4.70$ מטרים. בדיקת סבירות: זווית גדולה עם הקרקע — הסולם כמעט זקוף, והגובה קרוב ל- $5$ . המלכודת: $5\cos 70^\circ \approx 1.71$ הוא המרחק מהקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AC = 8$ ו- $\angle A = 30^\circ$ . תלמיד חישב את היתר $AB$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\cos 30^\circ = \frac{AC}{AB}

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AB}

\begin{aligned}AB &= 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ → $AB = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

הפתרון:

\sqrt{3}\cdot AB = 16

כפל בהצלבה

\begin{aligned}AB &= \frac{16}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24\end{aligned}

הטעות: לכפול במקום לחלק. בדיקה שתופסת אותה: $4\sqrt{3} \approx 6.93$ קטן מהניצב $8$ , ויתר לא יכול להיות קצר מניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה. הוכיחו כי $\sin A = \cos B$ .

$\angle C = 90^\circ$

$\sin A = \cos B$

להציג את התשובה והפתרון

$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$ — הגדרת הסינוס: הניצב שמול $A$ חלקי היתר
$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$ — הגדרת הקוסינוס: הניצב שליד $B$ חלקי היתר
$\sin A = \cos B$ — שני הגדלים שווים לאותו יחס

הפתרון:

\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \cos B\end{aligned}

הניצב $BC$ נגדי ל- $A$ וסמוך ל- $B$

\begin{aligned}A + B &= 90^\circ \Rightarrow \sin A \\ &= \cos(90^\circ - A)\end{aligned}

זו הזהות $\cos(90^\circ - x) = \sin x$

ההוכחה נשענת רק על ההגדרות. המלכודת: להציב זוויות מספריות — דוגמה אחת אינה הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שלושת היחסים

הזוויות המיוחדות: 30°, 45°, 60°

למצוא צלע, למצוא זווית

משולש שווה שוקיים: הגובה הופך אותו לשני משולשים ישרי זווית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev