שוויון בין ביטויים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני ביטויים הם שווים כשהם נותנים אותה תוצאה לכל מספר שמציבים במקום $x$ . לא לכמה מספרים — לכל מספר.

בכל שורה של הטבלה יצאה אותה תוצאה. האם זה מוכיח ש- $2(x + 3)$ ו- $2x + 6$ שווים?

להציג את התשובה והפתרון

לא לבד. הטבלה בודקת רק כמה מספרים, ויש אינסוף מהם. מה שמוכיח הוא פתיחת הסוגריים: $2(x + 3) = 2x + 6$ , ולכן הם שווים לכל $x$ .

כש- $x = 1$ שני הביטויים נותנים $7$ . אבל כש- $x = 0$ , אחד נותן $6$ והשני $6$ .

תוצאה משותפת אחת לא מספיקה. זה מקרה, לא שוויון.

$x + 6$ ו- $3x + 4$ נותנים אותה תוצאה כש- $x = 1$ . האם הם ביטויים שווים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ביטויים שווים נותנים אותה תוצאה לכל מספר. כאן כבר ב- $x = 0$ התוצאות שונות: $6$ ו- $6$ .

איך מראים ששני ביטויים שווים

אי אפשר להציב את כל המספרים — יש אינסוף מהם. לכן מפשטים ביטוי אחד, צעד אחר צעד, עד שמקבלים את הביטוי השני.

האם $4(x + 1) - 4$ שווה ל- $4x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. פותחים סוגריים: $4x + 4 - 4$ . ה- $4$ וה- $-4$ מתבטלים, ונשאר $4x$ .

איך מראים ששני ביטויים לא שווים

כאן מספיק מספר אחד. אם מצאנו מספר שבו התוצאות שונות, הביטויים לא שווים. מספר כזה נקרא דוגמה נגדית.

האם $x^2$ ו- $2x$ שווים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הם נותנים אותה תוצאה רק כש- $x = 0$ וכש- $x = 2$ . כש- $x = 3$ יוצא $9$ ו- $6$ — זו דוגמה נגדית.

שלוש טעויות שנראות כמו שוויון:

90 - (40 + 15) = 90 - 40 + 15

90 - (40 + 15) = 90 - 40 - 15

הסוגריים אומרים: מחסירים את כל ה- $55$ . $55$ נותן $35$ , והביטוי השגוי נותן $65$ .

x + x = x^2

x + x = 2x

חיבור של $x$ ו- $x$ נותן $x$ . $x^2$ הוא כפל: $x \cdot x$ .

3(x + 4) = 3x + 4

3(x + 4) = 3x + 12

ה- $3$ מוכפל בכל איבר שבסוגריים — גם ב- $4$ .

משלימים מספר חסר? בודקים איבר אחר איבר: כל איבר בצד אחד צריך להתאים לאיבר בצד השני.

תרגילים

סדרה א — קל: שווים או לא?

תרגיל 1

הביטויים $4(x + 2)$ ו- $4x + 8$ שווים לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

4(x + 2) = 4x + 8

פותחים סוגריים: $4 \cdot x$ ועוד $4 \cdot 2$

פתיחת הסוגריים נותנת בדיוק את הביטוי השני, ולכן הם שווים לכל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הביטויים $5(x + 3)$ ו- $5x + 3$ שווים לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

5(x + 3) = 5x + 15

ה- $5$ מוכפל גם ב- $3$

x = 0: \quad 15 \ne 3

דוגמה נגדית

הטעות: להכפיל רק את $x$ ולשכוח את המספר שבסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הביטויים $x + x + x$ ו- $3x$ שווים לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x + x + x = 3x

שלושה $x$ ביחד

חיבור של אותו $x$ שלוש פעמים הוא $3x$ — לא $x^3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הביטויים $2x + 5x$ ו- $7x^2$ שווים לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2x + 5x = 7x

מחברים איברים דומים

\begin{aligned}x &= 1: \quad 7 \\ &= 7\end{aligned}

ב- $x = 1$ דווקא יוצא $7$ בשניהם

x = 2: \quad 14 \ne 28

אבל ב- $x = 2$ התוצאות שונות

בחיבור ה- $x$ לא הופך לחזקה. $x$ . וזהירות: ב- $x = 0$ וב- $x = 1$ יוצאת אותה תוצאה — במקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו את הביטויים: שווה ל- $3(x + 2)$ או לא שווה.

שווה ל- $3(x + 2)$
לא שווה

$3x + 2$
$3x + 5$
$3x + 6$
$5x$
$6 + 3x$
$x + 2 + x + 2 + x + 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3x + 6$ — שווה ל- $3(x + 2)$ · $3x + 2$ — לא שווה · $6 + 3x$ — שווה ל- $3(x + 2)$ · $x + 2 + x + 2 + x + 2$ — שווה ל- $3(x + 2)$ · $5x$ — לא שווה · $3x + 5$ — לא שווה

הפתרון:

3(x + 2) = 3x + 6

פותחים סוגריים

x + 2 + x + 2 + x + 2 = 3x + 6

שלוש פעמים $x + 2$

$3x + 2$ שוכח להכפיל את $2$ . $2$ מחבר את $3$ ו- $2$ — אבל $3$ הוא כופל, לא מחובר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל ביטוי את הביטוי ששווה לו.

$2(x + 4)$
$4(x + 2)$
$8(x + 1)$
$x \cdot 8$

$2x + 8$
$4x + 8$
$8x + 8$
$8x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2(x + 4)$ — $2x + 8$ · $4(x + 2)$ — $4x + 8$ · $8(x + 1)$ — $8x + 8$ · $x \cdot 8$ — $8x$

הפתרון:

2(x + 4) = 2x + 8

4(x + 2) = 4x + 8

8(x + 1) = 8x + 8

שלושה ביטויים נגמרים ב- $+ 8$ . מה שמבדיל ביניהם הוא המספר שלפני $x$ — המספר שמחוץ לסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

השלימו את המספר החסר כך שהשוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $) = 8x + 16$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $8(x +$ 2 $) = 8x + 16$

הפתרון:

8 \cdot x = 8x

האיבר הראשון כבר מתאים

8 \cdot 2 = 16

המספר החסר כפול $8$ צריך לתת $16$

בודקים איבר אחר איבר. התשובה $16$ היא טעות: $16$ הוא מה שיוצא אחרי הכפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

השלימו את המספרים החסרים כך שכל שוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $) = 3x + 21$ , $6($ ____ $x + 1) = 12x + 6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3(x +$ 7 $) = 3x + 21$ , $6($ 2 $x + 1) = 12x + 6$

הפתרון:

3 \cdot 7 = 21

בשוויון הראשון

6 \cdot 2x = 12x

בשוויון השני החסר נמצא ליד $x$

בשוויון השני המספר החסר צמוד ל- $x$ : צריך ש- $x$ כפול אותו ייתן $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הציבו $x = 4$ בביטוי:

3(x + 2)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}3(4 + 2) &= 3 \cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

קודם הסוגריים, אחר כך הכפל

את $4 + 2$ מחשבים קודם. $3 \cdot 4 + 2 = 14$ הוא טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הציבו $x = 4$ בביטוי:

3x + 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}3 \cdot 4 + 6 &= 12 + 6 \\ &= 18\end{aligned}

קודם כפל, אחר כך חיבור

יצא $18$ , כמו ב- $3(x + 2)$ . זה לא מקרה: $3(x + 2) = 3x + 6$ לכל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הציבו $x = 4$ בביטוי:

3x + 2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

3 \cdot 4 + 2 = 14

14 \ne 18

ב- $3(x + 2)$ יצא $18$

$3x + 2$ נראה דומה ל- $3(x + 2)$ , אבל $x = 4$ הוא דוגמה נגדית: הם לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

איזה ביטוי שווה ל- $2(x + 5)$ ?

$2x + 10$
$x + 10$
$12x$
$2x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2x + 10$

הפתרון:

2(x + 5) = 2x + 10

מכפילים את $2$ בכל איבר

$2$ שוכח להכפיל את $5$ . $5$ מחבר איברים שאינם דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כדי להראות ש- $6(x + 1)$ ו- $6x + 6$ שווים לכל $x$ , מספיק לפתוח את הסוגריים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

6(x + 1) = 6x + 6

הפישוט נותן את הביטוי השני

פישוט מראה שוויון לכל $x$ בבת אחת. הצבה של כמה מספרים לא הייתה מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הציבו $x = 0$ בביטוי $4(x + 3)$ ובביטוי $4x + 3$ . אילו תוצאות יוצאות?

$12$ ו- $12$
$7$ ו- $3$
$12$ ו- $3$
$0$ ו- $0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $12$ ו- $3$

הפתרון:

4(0 + 3) = 12

4 \cdot 0 + 3 = 3

$4 \cdot 0 = 0$ , אבל ה- $3$ נשאר. והתוצאות שונות — לכן הביטויים לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני: דוגמה נגדית ומספרים חסרים

תרגיל 15

איזה ביטוי אינו שווה ל- $4(x + 3)$ ?

$4x + 3$
$2(2x + 6)$
$12 + 4x$
$4x + 12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4x + 3$

הפתרון:

4(x + 3) = 4x + 12

2(2x + 6) = 4x + 12

גם זה נותן אותו דבר

$4x + 3$ שוכח להכפיל את $3$ . $3$ נראה אחרת, אבל אחרי פתיחת סוגריים הוא אותו ביטוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

איזה ביטוי אינו שווה ל- $6x + 9$ ?

$9 + 6x$
$4x + 9 + 2x$
$3(2x + 3)$
$3(2x + 9)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $3(2x + 9)$

הפתרון:

3(2x + 9) = 6x + 27

ה- $3$ מוכפל גם ב- $9$

3(2x + 3) = 6x + 9

הפיתוי: לראות $9$ בתוך הסוגריים ו- $9$ בביטוי. אבל ה- $9$ שבסוגריים מוכפל ב- $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

השלימו את המספר החסר כך שהשוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $x = 4x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $9x -$ 5 $x = 4x$

הפתרון:

9x - 5x = 4x

$9 - 5 = 4$

מחפשים מה מחסירים מ- $9$ כדי לקבל $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

השלימו את המספרים החסרים כך שהשוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $= 5x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x + 3) \cdot$ 5 $= 5x +$ 15

הפתרון:

x \cdot 5 = 5x

מ- $5x$ יודעים שכופלים ב- $5$

3 \cdot 5 = 15

ולכן גם $3$ מוכפל ב- $5$

הכופל נמצא אחרי הסוגריים, אבל הוא עדיין מוכפל בכל איבר. $5$ הוא טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השלימו את המספרים החסרים כך שכל שוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $x = 10x$ , $2(x -$ ____ $) = 2x - 14$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $7x +$ 3 $x = 10x$ , $2(x -$ 7 $) = 2x - 14$

הפתרון:

7x + 3x = 10x

2 \cdot 7 = 14

בשוויון השני ה- $-14$ כבר מוכפל ב- $2$ . בסוגריים יש $7$ , לא $14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

6(x + 1) - 4x

= 6x + 1 - 4x

= 6x - 4x + 1

= 2x + 1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $= 6x + 1 - 4x$ → $= 6x + 6 - 4x$

הפתרון:

6(x + 1) = 6x + 6

ה- $6$ מוכפל גם ב- $1$

$1$ , לא $1$ . קל לפספס: נדמה שה- $1$ נשאר $1$ , אבל גם הוא מוכפל ב- $6$ . השורות שאחרי ממשיכות את הטעות, ולכן גם $6$ שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2(x + 5) = 2x + 10

7x - x = 6x

3(x - 1) = 3x - 1

x \cdot x = x^2

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3(x - 1) = 3x - 1$ → $3(x - 1) = 3x - 3$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0: \quad 3(0 - 1) \\ &= -3 \\ \quad 3 \cdot 0 - 1 &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית

גם המספר שאחרי המינוס מוכפל ב- $3$ . ו- $3$ נכון: $x$ לבד הוא $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

הביטויים $2x + 7$ ו- $x + 9$ נותנים אותה תוצאה רק במספר אחד. מצאו אותו. (רמז: נסו $x = 0, 1, 2, \ldots$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x = 0: \quad 7 \ne 9

x = 1: \quad 9 \ne 10

\begin{aligned}x &= 2: \quad 11 \\ &= 11\end{aligned}

ב- $x = 2$ יוצא $11$ בשניהם. אבל הביטויים לא שווים: ב- $x = 0$ כבר יצא $7$ ו- $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

הציבו $x = 3$ בביטוי $2x + 7$ ובביטוי $x + 9$ . מה ההפרש בין התוצאות? (הגדולה פחות הקטנה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

2 \cdot 3 + 7 = 13

3 + 9 = 12

13 - 12 = 1

ההפרש אינו $0$ , ולכן $0$ הוא דוגמה נגדית: הביטויים לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

$x^2$ ו- $2x$ נותנים אותה תוצאה כש- $x = 2$ . לכן הם ביטויים שווים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 2: \quad 2^2 \\ &= 4 \\ \quad 2 \cdot 2 &= 4\end{aligned}

אותה תוצאה — במקרה

x = 3: \quad 9 \ne 6

דוגמה נגדית

תוצאה משותפת במספר אחד לא מוכיחה שוויון. צריך אותה תוצאה לכל מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

איזה מספר הוא דוגמה נגדית, שמראה ש- $x^2$ ו- $2x$ לא שווים?

$x = 0$
$x = 3$
אין דוגמה נגדית — הביטויים שווים
$x = 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 3$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 3: \quad 3^2 \\ &= 9 \\ \quad 2 \cdot 3 &= 6\end{aligned}

התוצאות שונות

\begin{aligned}x &= 0: \quad 0 \\ &= 0\end{aligned}

כאן דווקא יוצאת אותה תוצאה

דוגמה נגדית היא מספר שבו התוצאות שונות. ב- $0$ וב- $2$ התוצאות שוות, ולכן הם לא דוגמה נגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

מיינו את הביטויים: שווה ל- $2x + 8$ או לא שווה.

שווה ל- $2x + 8$
לא שווה

$10x$
$2(x + 4)$
$2(x + 8)$
$4(x + 2) - 2x$
$x + 8 + x$
$x + 8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2(x + 4)$ — שווה ל- $2x + 8$ · $x + 8 + x$ — שווה ל- $2x + 8$ · $2(x + 8)$ — לא שווה · $10x$ — לא שווה · $4(x + 2) - 2x$ — שווה ל- $2x + 8$ · $x + 8$ — לא שווה

הפתרון:

\begin{aligned}4(x + 2) - 2x &= 4x + 8 - 2x \\ &= 2x + 8\end{aligned}

פותחים ומכנסים

2(x + 8) = 2x + 16

$4(x + 2) - 2x$ לא נראה כמו $2x + 8$ , אבל אחרי פישוט הוא אותו ביטוי. $10x$ מחבר איברים שאינם דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

התאימו לכל ביטוי את הביטוי ששווה לו.

$3(x - 2)$
$3(2 - x)$
$3x - 2x$
$3 \cdot x \cdot x$

$3x - 6$
$3x^2$
$6 - 3x$
$x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3(x - 2)$ — $3x - 6$ · $3(2 - x)$ — $6 - 3x$ · $3x - 2x$ — $x$ · $x$ — $3x^2$

הפתרון:

3(2 - x) = 6 - 3x

הסדר בתוך הסוגריים קובע את הסימנים

3 \cdot x \cdot x = 3x^2

$x$ כפול $x$ הוא $x^2$

$3(x - 2)$ ו- $3(2 - x)$ נראים דומים, אבל הם לא שווים: ב- $x = 0$ יוצא $-6$ ו- $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

הביטויים $10 - (x + 3)$ ו- $7 - x$ שווים לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

10 - (x + 3) = 10 - x - 3

מחסירים את כל מה שבסוגריים

= 7 - x

מינוס לפני סוגריים מחסיר גם את $x$ וגם את $x$ . מי שכותב $3$ מקבל ביטוי אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר: מקרה או שוויון

תרגיל 29

דנה הציבה $x = 5$ בביטוי $3x - 4$ ובביטוי $x + 6$ . בשניהם יצא $11$ . מה נכון?

אי אפשר לדעת בלי להציב את כל המספרים
הביטויים שווים, כי יצאה אותה תוצאה
הביטויים לא שווים: כש- $x = 0$ יוצא $-4$ ו- $6$
הביטויים שווים לכל $x$ שגדול מ- $4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הביטויים לא שווים: כש- $x = 0$ יוצא $-4$ ו- $6$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 5: \quad 11 \\ &= 11\end{aligned}

תוצאה משותפת

x = 0: \quad -4 \ne 6

דוגמה נגדית

x = 6: \quad 14 \ne 12

גם מעל $4$ הם שונים

הפיתוי הוא לקבוע שוויון מתוצאה אחת. ולא צריך להציב את כל המספרים: דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להראות שהם לא שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

מצאו את המספר $x$ שבו $5x - 3$ ו- $2x + 9$ נותנים אותה תוצאה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 4: \quad 5 \cdot 4 - 3 \\ &= 17 \\ \quad 2 \cdot 4 + 9 &= 17\end{aligned}

אותה תוצאה

x = 0: \quad -3 \ne 9

יש מספר אחד בלבד עם אותה תוצאה. לכן הביטויים לא שווים — ב- $4$ זה מקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

השוויון $90 - (40 + 15) = 90 - 40 + 15$ נכון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}90 - (40 + 15) &= 90 - 55 \\ &= 35\end{aligned}

\begin{aligned}90 - 40 + 15 &= 50 + 15 \\ &= 65\end{aligned}

הסוגריים אומרים להחסיר גם את $15$ . בלי סוגריים ה- $15$ מתווסף במקום להיות מוחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

איזה ביטוי שווה ל- $90 - (40 + 15)$ ?

$90 + 40 - 15$
$90 - 40 + 15$
$90 - 40 - 15$
$(90 - 40) + 15$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $90 - 40 - 15$

הפתרון:

90 - (40 + 15) = 35

90 - 40 - 15 = 35

מחסירים את $40$ וגם את $15$ . $15$ שם את הסוגריים במקום אחר ונותן $65$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

השלימו את המספרים החסרים כך שכל שוויון יהיה נכון.

$60 - (25 + 10) = 60 - 25 -$ ____ , $48 - (20 - 6) = 48 - 20 +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $60 - (25 + 10) = 60 - 25 -$ 10 , $48 - (20 - 6) = 48 - 20 +$ 6

הפתרון:

\begin{aligned}60 - 35 &= 25 \\ &= 60 - 25 - 10\end{aligned}

\begin{aligned}48 - 14 &= 34 \\ &= 48 - 20 + 6\end{aligned}

בשוויון השני: מחסירים $20 - 6$ , כלומר מחסירים $20$ ומוסיפים $6$ . הסימן שבסוגריים מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

הביטויים $3(a + b)$ ו- $3a + b$ שווים לכל $a$ ולכל $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3(a + b) = 3a + 3b

\begin{aligned}a &= 0 \\ \; b &= 1: \quad 3 \ne 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

עם שתי אותיות, דוגמה נגדית היא זוג מספרים. ה- $3$ מוכפל גם ב- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

איזה ביטוי שווה ל- $2(a + 3b) - a$ ?

$7ab$
$a + 3b$
$3a + 6b$
$a + 6b$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $a + 6b$

הפתרון:

2(a + 3b) - a = 2a + 6b - a

פותחים סוגריים

= a + 6b

מכנסים את איברי $a$

$6b$ מגיע מ- $2 \cdot 3b$ . $3a + 6b$ מחבר את $a$ במקום להחסיר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

מיינו את הביטויים: שווה ל- $4a + 2b$ או לא שווה.

שווה ל- $4a + 2b$
לא שווה

$2(2a + b)$
$2(a + 2b)$
$2b + 4a$
$4(a + 2b)$
$4(a + b) - 2b$
$6ab$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2(2a + b)$ — שווה ל- $4a + 2b$ · $2b + 4a$ — שווה ל- $4a + 2b$ · $4(a + 2b)$ — לא שווה · $6ab$ — לא שווה · $4(a + b) - 2b$ — שווה ל- $4a + 2b$ · $2(a + 2b)$ — לא שווה

הפתרון:

\begin{aligned}4(a + b) - 2b &= 4a + 4b - 2b \\ &= 4a + 2b\end{aligned}

2(a + 2b) = 2a + 4b

המספרים התחלפו בין האותיות

$2(a + 2b)$ נותן $2a + 4b$ : אותם מספרים, אבל ליד האותיות הלא נכונות. $6ab$ מחבר איברים שאינם דומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

מלבן

ריבוע

למלבן יש צלעות $x + 4$ ו- $x$ . לריבוע יש צלע $x + 2$ . היקף המלבן שווה להיקף הריבוע לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2(x + 4) + 2x = 4x + 8

היקף המלבן

4(x + 2) = 4x + 8

היקף הריבוע

אחרי פישוט, שני ההיקפים נותנים אותו ביטוי, ולכן הם שווים לכל $x$ — בלי להציב אף מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

מלבן

למלבן יש צלעות $x + 5$ ו- $x + 1$ . איזה ביטוי שווה להיקף שלו?

$4x + 12$
$4x + 6$
$2x + 6$
$x^2 + 6x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4x + 12$

הפתרון:

2(x + 5) + 2(x + 1) = 2x + 10 + 2x + 2

כל צלע פעמיים

= 4x + 12

$2x + 6$ סופר כל צלע פעם אחת בלבד. $x^2 + 6x + 5$ הוא השטח, לא ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

השלימו את המספרים החסרים כך שכל שוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $) - x = 3x + 20$ , $2(3x - 1) +$ ____ $= 6x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4(x +$ 5 $) - x = 3x + 20$ , $2(3x - 1) +$ 7 $= 6x + 5$

הפתרון:

\begin{aligned}4(x + 5) - x &= 4x + 20 - x \\ &= 3x + 20\end{aligned}

$4$ כפול החסר צריך לתת $20$

6x - 2 + 7 = 6x + 5

צריך להשלים מ- $-2$ ל- $5$

קודם מפשטים את מה שידוע, ורק אז משווים. בשוויון השני $5$ הוא טעות: ה- $-2$ שמהסוגריים עוד לא קוזז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 40

השלימו את המספרים החסרים כך שהשוויון יהיה נכון לכל $x$ .

$x$ ____ $x + 2) \cdot 3 = 12x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 4 $x + 2) \cdot 3 = 12x +$ 6

הפתרון:

4x \cdot 3 = 12x

מה כפול $3$ נותן $3$ ?

2 \cdot 3 = 6

את המספר החסר השני קובע ה- $2$ שבסוגריים, לא ה- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

יוסי אומר: « $2(x + 1)$ ו- $2x + 1$ שווים לכל $x$ ». איזה נימוק מראה שהוא טועה?

הביטויים נראים שונים, ולכן הם לא שווים
כש- $x = 1$ שני הביטויים גדולים מ- $0$
כש- $x = 0$ : $2(0 + 1) = 2$ , אבל $2 \cdot 0 + 1 = 1$
כש- $x = 5$ : $2(5 + 1) = 12$ וגם $2 \cdot 5 + 1 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כש- $x = 0$ : $2(0 + 1) = 2$ , אבל $2 \cdot 0 + 1 = 1$

הפתרון:

x = 0: \quad 2 \ne 1

דוגמה נגדית

«נראים שונים» אינו נימוק: גם $2(x + 3)$ ו- $2x + 6$ נראים שונים, והם שווים. וכש- $x = 5$ יוצא $11$ , לא $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 42

שני ביטויים לא שווים יכולים לתת אותה תוצאה בשני מספרים שונים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0: \quad 0^2 \\ &= 0 \\ &= 2 \cdot 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 2: \quad 2^2 \\ &= 4 \\ &= 2 \cdot 2\end{aligned}

x = 3: \quad 9 \ne 6

ובכל זאת הם לא שווים

$x^2$ ו- $2x$ מסכימים ב- $0$ וב- $0$ . אפילו שתי תוצאות משותפות לא הופכות אותם לשווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת