מה קורה כשמגדילים את הצלעות · מלבן, ריבוע ותיבה · כיתה ז׳

מגדילים מלבן פי 2. השטח גדל פי 2? לא — הוא גדל פי 4. ובתיבה שכל מקצועותיה גדלו פי 2, הנפח גדל פי 8.

רק צלע אחת מוכפלת

נתחיל במקרה הפשוט. מלבן $6 \times 3$ , ונכפיל רק את האורך.

צלע אחת פי 2

מלבן $6 \times 3$ הופך ל- $12 \times 3$ .

6 \cdot 3 = 18

השטח המקורי

12 \cdot 3 = 36

והחדש

36 : 18 = 2

פי 2 — כי רק גורם אחד מבין השניים גדל

שתי הצלעות מוכפלות

ועכשיו הדבר האמיתי: מכפילים פי 2 את שתי הצלעות. כל אחת מהן היא גורם בכפל — ולכן כל אחת מהן תורמת פי 2 משלה.

שתי צלעות פי 2

מלבן $6 \times 3$ הופך ל- $12 \times 6$ .

6 \cdot 3 = 18

השטח המקורי

12 \cdot 6 = 72

והחדש

72 : 18 = 4

פי 4 — כי $2 \cdot 2 = 4$

הצלעות גדלו פי 2 ⟵ השטח גדל פי 2 כפול 2, כלומר פי 4

מגדילים ריבוע פי 3. פי כמה גדל שטחו?

להציג את התשובה והפתרון

פי 9. שתי הצלעות גדלו פי 3 כל אחת, ולכן $3 \cdot 3 = 9$ . ריבוע שצלעו 2 (שטח 4) הופך לריבוע שצלעו 6 (שטח 36) — ואכן פי 9.

וההיקף? הוא חיבור של אורכים, ולכן הוא גדל פי 2 בלבד — בדיוק כמו הצלע. זו אחת השאלות האהובות במבחן: «ההיקף הוכפל, מה קרה לשטח?»

ובנפח — פי שמונה

לנפח יש שלושה גורמים במקום שניים. אם כל שלושת המקצועות מוכפלים, כל אחד מהם תורם פי 2 משלו.

כל המקצועות פי 2

תיבה $4 \times 3 \times 2$ הופכת ל- $8 \times 6 \times 4$ .

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

הנפח המקורי

8 \cdot 6 \cdot 4 = 192

והחדש

192 : 24 = 8

פי 8 — כי $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

הכלל, בשורה אחת

\times k

אורך — צלע, היקף, מקצוע. כיוון אחד.

\times k^{2}

שטח — גם שטח מלבן וגם שטח פנים. שני כיוונים.

\times k^{3}

נפח. שלושה כיוונים.

והמפתח לזכור: החזקה היא מספר הכיוונים. אורך — כיוון אחד, ולכן $k$ . שטח — שניים, ולכן $k^2$ . נפח — שלושה, ולכן $k^3$ . אותו רעיון בדיוק כמו ביחידות המידה: סמ״ר וסמ״ק.

ושימו לב ששטח הפנים מתנהג כמו כל שטח אחר. הוא סכום של שש פאות, וכל פאה גדלה פי $k^2$ — ולכן גם הסכום. מספר הפאות לא השתנה.

שטח הפנים של אותה תיבה

מ- $4 \times 3 \times 2$ ל- $8 \times 6 \times 4$ .

2(12 + 8 + 6) = 52

שטח הפנים המקורי

2(48 + 32 + 24) = 208

והחדש

208 : 52 = 4

פי 4 — שטח, ולכן $k^2$

תיבה שכל מקצועותיה מוכפלים פי 3. פי כמה גדלים הנפח ושטח הפנים?

להציג את התשובה והפתרון

הנפח פי 27 ( $3^3$ ), ושטח הפנים פי 9 ( $3^2$ ). שתי תשובות שונות לאותה הגדלה — ולכן חשוב לקרוא מה בדיוק נשאל.

שלוש הטעויות של ההגדלה.

\text{צלעות} \times 2 \ \Rightarrow \ \text{שטח} \times 2

\text{צלעות} \times 2 \ \Rightarrow \ \text{שטח} \times 4

הטעות מספר אחת. בשטח שני גורמים גדלים, לא אחד.

\text{מקצועות} \times 2 \ \Rightarrow \ \text{נפח} \times 4

\text{מקצועות} \times 2 \ \Rightarrow \ \text{נפח} \times 8

עצרו בשניים. בנפח יש שלושה כיוונים.

\text{שטח פנים} \times 8

\text{שטח פנים} \times 4

שטח פנים הוא שטח, ולכן $k^2$ — גם כשהוא של גוף תלת-ממדי.

עכשיו נתרגל. בכל שאלה שאלו את עצמכם קודם: כמה כיוונים גדלו כאן?

תרגילים

תרגיל 1

מלבן $6 \times 3$ . מכפילים את שתי צלעותיו פי 2. פי כמה גדל השטח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

6 \cdot 3 = 18

המקורי

12 \cdot 6 = 72

החדש

72 : 18 = 4

פי 4

שני גורמים, כל אחד פי 2 — ולכן $2^2 = 4$ .

המקצוע גדל פי	שטח הפנים גדל פי	הנפח גדל פי
$2$	____	____
$3$	____	____
$5$	____	____

רק צלע אחת מוכפלת

שתי הצלעות מוכפלות

ובנפח — פי שמונה

הכלל, בשורה אחת

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev