elev

חזקה של חזקה ושל מכפלהPuissance d’une puissance et d’un produitPower of a power and of a product

בחרו תת-נושא
  1. כפל וחילוק חזקותProduit et quotient de puissancesMultiplying and dividing powers
  2. חזקה של חזקה ושל מכפלהPuissance d’une puissance et d’un produitPower of a power and of a product
  3. חזקת אפס ומעריך שליליExposant zéro et négatifZero and negative exponents
  4. תרגולEntraînementPractice

שלושת החוקים הבאים נובעים ישירות מהראשון. אף אחד מהם אינו רעיון חדש.

חזקה של חזקה

(an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n \cdot m}

(23)2(2^3)^2 פירושו 23⋅232^3 \cdot 2^3 — ולפי חוק הכפל, המעריכים מתחברים: 3+3=63 + 3 = 6. ו חוזר הוא כפל, ומכאן 3×23 \times 2.

זו נקודת הבלבול המרכזית של הפרק: בכפל חזקות מחברים מעריכים, ובחזקה של חזקה מכפילים אותם. השאלה שמפרידה ביניהם: האם יש סוגריים סביב החזקה?

חזקה של מכפלה ושל

(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

החזקה מתחלקת בין הגורמים. זה עובד כי בכפל מותר לסדר מחדש: כל ה-aa יחד וכל ה-bb יחד.

החוק
(an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n \cdot m}
ולמה זה עובד
(23)2=23⋅23=23+3=26\begin{aligned}(2^3)^2 &= 2^3 \cdot 2^3 \\ &= 2^{3+3} \\ &= 2^6\end{aligned}
חזקה של חזקה היא בעצם כפל חוזר — ולכן המעריכים מוכפלים.
שלושת החוקים, כל אחד עם הפירוק שלו. בכולם רואים את אותו רעיון: כתיבה מחדש של אותו כפל.

החוק שלא קיים — והוא הטעות הגדולה של הפרק.

(a+b)n=an+bn(a + b)^n = a^n + b^n
(a+b)n≠an+bn(a + b)^n \neq a^n + b^n

החזקה מתחלקת על כפל ו בלבד, לעולם לא על חיבור. בדיקה מהירה: (2+3)2=25(2+3)^2 = 25, אבל 22+32=132^2 + 3^2 = 13.

עכשיו נתרגל.

שאלהכמה זה (a3)4(a^3)^4?
שאלהמה ההבדל בין a3⋅a4a^3 \cdot a^4 ל-(a3)4(a^3)^4?
(23)2=2?(2^{3})^{2} = 2^{?}
(52)3=5?(5^{2})^{3} = 5^{?}
(34)2=3?(3^{4})^{2} = 3^{?}
(102)4=10?(10^{2})^{4} = 10^{?}
(25)3=2?(2^{5})^{3} = 2^{?}
(72)2=7?(7^{2})^{2} = 7^{?}
מה ההבדל בין 23⋅222^3 \cdot 2^2 לבין (23)2(2^3)^2?
מה ההבדל בין 23⋅222^3 \cdot 2^2 לבין (23)2(2^3)^2?
האם (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2?
האם (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2?
(2⋅5)3=?(2 \cdot 5)^3 = ?
כמה זה (23)2(2^3)^2?