elev

כפל וחילוק חזקותProduit et quotient de puissancesMultiplying and dividing powers

בחרו תת-נושא
  1. כפל וחילוק חזקותProduit et quotient de puissancesMultiplying and dividing powers
  2. חזקה של חזקה ושל מכפלהPuissance d’une puissance et d’un produitPower of a power and of a product
  3. חזקת אפס ומעריך שליליExposant zéro et négatifZero and negative exponents
  4. תרגולEntraînementPractice

היא קיצור לכפל חוזר: 232^3 פירושו 2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2. וכל חוקי החזקות נובעים מהעובדה הזאת בלבד — הם דרכים לספור כמה פעמים מופיע הבסיס.

כפל — מחברים מעריכים

an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n+m}

אם ב-232^3 יש שלושה 2, וב-222^2 יש עוד שניים — יחד יש חמישה. לא צריך לזכור את החוק, צריך רק לספור.

חילוק — מחסרים מעריכים

an:am=anam=an−m\begin{aligned}a^n : a^m &= \frac{a^n}{a^m} \\ &= a^{n-m}\end{aligned}

כל בסיס במכנה מבטל בסיס במונה. מה שנשאר הוא בדיוק ההפרש בין המעריכים.

החוק
an⋅am=an+ma^n \cdot a^m = a^{n+m}
ולמה זה עובד
23⋅22=(2⋅2⋅2)⏟3⋅(2⋅2)⏟2=25\begin{aligned}2^3 \cdot 2^2 &= \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2)}_{2} \\ &= 2^5\end{aligned}
סופרים כמה פעמים מופיע ה-2 בסך הכול: שלוש ועוד שתיים.
עברו בין שני החוקים וראו את הפירוק המלא. שימו לב שאין כאן שום כלל חדש — רק ספירה.

התנאי שבלעדיו שום חוק לא עובד.

23⋅52=1052^3 \cdot 5^2 = 10^5
23⋅52 — אי אפשר לאחד2^3 \cdot 5^2 \text{ — אי אפשר לאחד}

החוקים חלים רק כאשר ה זהה. עם בסיסים שונים אין מה לספור יחד, ואין קיצור.

עכשיו נתרגל.

שאלהכמה זה a5⋅a3a^5 \cdot a^3?
שאלהוכמה a7a4\frac{a^7}{a^4}?
23⋅24=2?2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{?}
52⋅56=5?5^{2} \cdot 5^{6} = 5^{?}
35⋅32=3?3^{5} \cdot 3^{2} = 3^{?}
104⋅103=10?10^{4} \cdot 10^{3} = 10^{?}
27:23=2?2^{7} : 2^{3} = 2^{?}
56:52=5?5^{6} : 5^{2} = 5^{?}
38:35=3?3^{8} : 3^{5} = 3^{?}
105:104=10?10^{5} : 10^{4} = 10^{?}
23⋅22=?2^3 \cdot 2^2 = ?
האם אפשר לאחד את 23⋅522^3 \cdot 5^2 לחזקה אחת?
האם אפשר לאחד את 23⋅522^3 \cdot 5^2 לחזקה אחת?