elev

חוקיותSuites et régularitésPatterns and sequences

בחרו תת-נושא
  1. חוקיותSuites et régularitésPatterns and sequences
  2. ביטויים אלגברייםExpressions algébriquesAlgebraic expressions
  3. כינוס איברים ופתיחת סוגרייםRéduire et développerCollecting terms and opening brackets
  4. שוויון בין ביטוייםExpressions égalesEquivalent expressions

הרבה דברים במתמטיקה בנויים לפי : כלל שחוזר על עצמו שוב ושוב. בפרק הזה נבנה צורות מגפרורים. המטרה: לדעת כמה גפרורים יש במבנה רחוק, למשל במבנה 50 — בלי לצייר אותו.

מבנים מגפרורים

מסתכלים על מבנה 1, מבנה 2 ומבנה 3. שואלים: מה נוסף בכל פעם? ומה היה שם כבר בהתחלה? לחצו על הכפתור וראו את המבנים נבנים.

ריבועים מגפרורים: מוצאים את החוק
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: ריבוע אחד. סופרים את הגפרורים: 4.
בכל מבנה נוספים 3 גפרורים — ריבוע אחד. גפרור אחד כחול היה שם מההתחלה. לכן במבנה מספר nn יש 3n+13n + 1 גפרורים: שלוש פעמים מספר המבנה, ועוד אחד.
שאלהכמה גפרורים יש במבנה 7 של הריבועים?

מה זה משתנה

בחוק 3n+13n + 1 האות nn היא מספר המבנה. היא יכולה להיות 1, 2, 7 או 50. אות שעומדת במקום מספר שמשתנה נקראת . כך כותבים חוק אחד לכל המבנים יחד.

n=1  →  3⋅1+1=4n=2  →  3⋅2+1=7n=10  →  3⋅10+1=31\begin{aligned}n &= 1 \;\to\; 3 \cdot 1 + 1 \\ &= 4 \qquad n \\ &= 2 \;\to\; 3 \cdot 2 + 1 \\ &= 7 \qquad n \\ &= 10 \;\to\; 3 \cdot 10 + 1 \\ &= 31\end{aligned}
מצאתם חוק? בדקו אותו על מבנה 1 ועל מבנה 2 לפני שקופצים רחוק. אם החוק לא נותן את מה שסופרים בציור — החוק שגוי.
שלב 1: בסיס קבוע של 1 ועוד 1 קבוצות של 3 — 3⋅1+1=43 \cdot 1 + 1 = 4 ריבועים.
עברו שלב-שלב. כאן כל ריבוע קטן מייצג גפרור אחד: הריבוע הכתום קבוע, ובכל שלב מצטרפת קבוצה מקווקוות של 3. לכן בשלב nn יש 3n+13n + 1.

לא תמיד «ועוד 1»

עכשיו בונים שתי קומות של ריבועים. בכל מבנה נוספים 5 גפרורים. אבל בהתחלה יש 2 גפרורים, לא 1. המספר שמוסיפים בסוף החוק תלוי בציור.

שתי קומות: חוק עם התחלה אחרת
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: טור אחד. סופרים את הגפרורים: 7.
בכל מבנה נוספים 5 גפרורים, ובהתחלה יש 2. החוק הוא 5n+25n + 2. מבנה 9 הוא התשובה לשאלה ההפוכה: 5⋅9+2=475 \cdot 9 + 2 = 47.
שאלההאם יכול להיות מבנה של שתי קומות עם 60 גפרורים בדיוק?

עכשיו אתם מוצאים את החוק

בתים מגפרורים
בונים שורה של בתים צמודים מגפרורים. במבנה 1 יש 6 גפרורים, במבנה 2 יש 11, ובמבנה 3 יש 16. מהו החוק למבנה מספר nn?
  1. מה בודקים קודם?
בודקים את חוק הבתים בציור
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: בית אחד. סופרים את הגפרורים: 6.
בציור רואים את החוק שמצאתם: גפרור כחול אחד, ועוד חבילה של 5 גפרורים לכל בית. 5n+15n + 1.
שאלהלפי החוק 5n+15n + 1, איזה מבנה של בתים יש בו 76 גפרורים?

סדרות של מספרים

אותה שיטה עובדת גם בלי גפרורים. בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots כל גדול מהקודם ב-3. האיבר הראשון הוא 5. בציור השני שלמטה: התחלה כחולה של 2, ועוד חבילה של 3 לכל מקום.

5182113144+3+3+3…
בכל צעד מוסיפים 3 — החץ מראה את הקפיצה.
התחלה123
11 נקודות באיבר ה-3
3×3+2=113 \times 3 + 2 = 11
הכלל3n+23n + 2— איבר מספר nn מכיל 3 כפול nn ועוד 2
5,8,11,14,17, …
האיבר ה-50 מכיל 152 נקודות — בלי לספור, ובלי לצייר.
מספר החבילות הכתומות שווה תמיד למקום של האיבר בסדרה. לכן האיבר במקום nn הוא 3n+23n + 2.
5,  8,  11,  14,  …⟶3n+25,\; 8,\; 11,\; 14,\; \ldots \quad\longrightarrow\quad 3n + 2
האם 29 נמצא בסדרה? ו-30?
5,  8,  11,  14,  …3n+25,\; 8,\; 11,\; 14,\; \ldots \qquad 3n + 2
הולכים אחורה בחוק: קודם מורידים את 2, ואחר כך מחלקים ב-3.
4 שלבים
מספר נמצא בסדרה רק אם המקום שלו יוצא מספר שלם וחיובי.

לא כל סדרה עולה בקפיצות שוות

2,  5,  8,  112,\; 5,\; 8,\; 11
מוסיפים 3 בכל צעד — הפרש קבוע. יש חוק כמו 3n−13n - 1.
1,  3,  9,  271,\; 3,\; 9,\; 27
כופלים ב-3 בכל צעד — מנה קבועה.
9,  11,  14,  189,\; 11,\; 14,\; 18
מוסיפים 2, אחר כך 3, אחר כך 4 — ההפרש גדל.

שתי טעויות שחוזרות הרבה

3⋅50=1503 \cdot 50 = 150
3⋅50+2=1523 \cdot 50 + 2 = 152

שכחו את ההתחלה. החוק הוא 3n+23n + 2, ולא רק 3n3n.

5+3⋅50=1555 + 3 \cdot 50 = 155
5+3⋅49=1525 + 3 \cdot 49 = 152

בלבלו בין מקום לבין מספר צעדים. מהאיבר הראשון עד האיבר ה-50 יש רק 49 צעדים.

סדרה א — קל: לספור ולהמשיך

5182113144?5+3+3+3?
לפניכם סדרה. מהו האיבר הבא?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 4?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של משולשים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 5?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. השלימו את מספר הגפרורים במבנים 4 ו-5.
מבנה 1: 44 · מבנה 2: 77 · מבנה 3: 1010 · מבנה 4: · מבנה 5:
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים צמודים מגפרורים. איזה משפט מתאר את החוקיות?
בציור: בתים צמודים מגפרורים. איזה משפט מתאר את החוקיות?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של שתי קומות של ריבועים. כמה גפרורים יש במבנה 4?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
טענהבציור: בתים מגפרורים. בכל מבנה נוספים 6 גפרורים, כי לכל בית יש 6 גפרורים.
בציור: בתים מגפרורים. בכל מבנה נוספים 6 גפרורים, כי לכל בית יש 6 גפרורים.
סדרו את השלבים למציאת חוק של מבנים מגפרורים.

לחצו על השלבים לפי הסדר הנכון

71132193254?5+6+6+6?
לפניכם סדרה. מהו האיבר הבא?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 6?
5182113144+3+3+3…
החוק של הסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots הוא 3n+23n + 2. השלימו.
האיבר ה-4: · האיבר ה-10:
מיינו את הסדרות.

לכל כרטיס, בחרו את הקטגוריה שלו

20,17,14,1120, 17, 14, 11
6 נותרו
5182113144+3+3+3…
טענהבסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots האיבר ה-6 הוא 20.
בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots האיבר ה-6 הוא 20.
113293274…
לפניכם סדרה. מהי החוקיות?
לפניכם סדרה. מהי החוקיות?

סדרה ב — בינוני: לקפוץ בעזרת החוק

5182113144+3+3+3…?50
בסדרה שבציור — מהו האיבר ה-50?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בונים משולשים בשורה מגפרורים. המשולש הראשון דורש 3 גפרורים, וכל משולש נוסף שנצמד אליו דורש עוד 2 בלבד. כמה גפרורים יש במבנה העשירי?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 10?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
בציור: בתים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 20 יש 61 גפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 21?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 20 יש 61 גפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 19?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
טענהבציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 10 יש פי 2 גפרורים ממבנה 5.
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 10 יש פי 2 גפרורים ממבנה 5.
5182113144+3+3+3…?50
טענהבסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots (החוק 3n+23n + 2) האיבר ה-50 הוא 150.
בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots (החוק 3n+23n + 2) האיבר ה-50 הוא 150.
התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

לחצו על פריט מימין, ואז על בן-הזוג שלו משמאל

התאימו כל סדרה של מספרי גפרורים לחוק שלה.

לחצו על פריט מימין, ואז על בן-הזוג שלו משמאל

מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים (5n+25n + 2). חישבו כמה גפרורים יש במבנה 8 ובמבנה 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

שורה אחת שגויה — לחצו עליה

61102143184…?25
לפניכם סדרה. מהו האיבר ה-25?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. השלימו את החישוב של מבנה 7.
3⋅3 \cdot ++ ==

סדרה ג — מאתגר: שאלות הפוכות ושאלות «האם אפשר?»

מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים (3n+13n + 1). באיזה מבנה יש 88 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים מגפרורים. באיזה מבנה יש 126 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים (5n+25n + 2). באיזה מבנה יש 60 גפרורים? אם אין מבנה כזה, רשמו 0.
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים (3n+13n + 1). באיזה מבנה יש 100 גפרורים? אם אין מבנה כזה, רשמו 0.
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
טענהבציור: משולשים מגפרורים (2n+12n + 1). אפשר לבנות מבנה עם 50 גפרורים בדיוק.
בציור: משולשים מגפרורים (2n+12n + 1). אפשר לבנות מבנה עם 50 גפרורים בדיוק.
בסדרה עם הפרש קבוע, האיבר ה-8 הוא 35, וכל איבר גדול מהקודם ב-4. מהו האיבר ה-12?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
דנה בונה מבנה nn של ריבועים (3n+13n + 1) וגם מבנה nn של משולשים (2n+12n + 1), עם אותו nn. בציור: מבני הריבועים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים של שני המבנים יחד?
דנה בונה מבנה nn של ריבועים (3n+13n + 1) וגם מבנה nn של משולשים (2n+12n + 1), עם אותו nn. בציור: מבני הריבועים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים של שני המבנים יחד?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
אותה דנה: מבנה nn של ריבועים ומבנה nn של משולשים, עם אותו nn, צריכים יחד 57 גפרורים. מהו nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. באיזה מבנה יש 102 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
טענהבציור: בתים מגפרורים (5n+15n + 1). בכל מבנה, מספר הגפרורים מסתיים בספרה 1 או בספרה 6.
בציור: בתים מגפרורים (5n+15n + 1). בכל מבנה, מספר הגפרורים מסתיים בספרה 1 או בספרה 6.
91112143184?5
לפניכם הסדרה 9, 11, 14, 18. לפי אותה חוקיות — מהו האיבר הבא?
12114.5217319.54+2.5+2.5+2.5…
סדרה שהאיבר הראשון בה הוא 12, וכל איבר גדול מקודמו ב-2.5. האם 29.5 הוא איבר בסדרה? אם כן — באיזה מקום? (אם לא, רשמו 0)
316273144155306317?8
בסדרה 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, …3,\ 6,\ 7,\ 14,\ 15,\ 30,\ 31,\ \ldots מבצעים לסירוגין שתי פעולות: פעם מכפילים ב-2, ופעם מוסיפים 1. מהו האיבר הבא?
בטבלה, לכל מספר ראשון nn מתאים מספר שני: ל-1 מתאים 2, ל-2 מתאים 8, ל-3 מתאים 18, ול-4 מתאים 32. איזה ביטוי מתאר את הקשר?
בטבלה, לכל מספר ראשון nn מתאים מספר שני: ל-1 מתאים 2, ל-2 מתאים 8, ל-3 מתאים 18, ול-4 מתאים 32. איזה ביטוי מתאר את הקשר?