הנדסת המרחב — תיבה וקובייה · Géométrie dans l'espace · Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ח׳⁩ (élèves de ⁨ז׳⁩)

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לגוף יש שני גדלים שאינם עולים יחד באותו קצב: הנפח, כמה הוא מכיל, ושטח הפנים, כמה נייר צריך כדי לעטוף אותו. המבחן שואל את שניהם על אותו גוף, ומוסיף גוף שנבנה משניים — כי שם ההבדל ביניהם הופך מכריע.

שתי הנוסחאות

\begin{aligned}V &= a \cdot b \cdot c \\ \qquad S &= 2(ab + bc + ac)\end{aligned}

תיבה — נפח ושטח פנים

לתיבה שש פאות, בשלושה זוגות זהים: הקדמית והאחורית, העליונה והתחתונה, הימנית והשמאלית. לכן כל מכפלה מופיעה פעמיים. בקובייה כולן שוות, ולכן $S = 6a^{2}$ ו- $V = a^{3}$ .

Activité interactive

מאיפה בא ה- $2$ שבנוסחה

אותה תיבה — הפעם סופרים שטח, לא נפח. מידותיה $4$ , $2$ ו- $2$ .

הפאה שלפנים והפאה שמאחור: כל אחת $a \cdot c$ . שתיהן יחד — $2 \cdot a \cdot c$ .

הפאה העליונה והתחתונה: כל אחת $a \cdot b$ . עוד $2 \cdot a \cdot b$ .

הפאה הימנית והשמאלית: כל אחת $b \cdot c$ . עוד $2 \cdot b \cdot c$ .

שלושת הזוגות יחד הם כל העטיפה. זה, ורק זה, מקור ה- $2$ שבנוסחה.

הפאה שמאחור, המצוירת בקו מקווקו, אינה נראית — אבל היא שם, וזהה לזו שמולה. שלושה זוגות, שלוש מכפלות, ולכן $S = 2(ab + bc + ac)$ .

Faire l'activité sur elev

Activité interactive

תיבה $2 \times 2 \times 4$

\begin{aligned}a &= 4 \\ \quad b &= 2 \\ \quad c &= 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». אותו גוף — שני גדלים שונים.

נפח

\begin{aligned}V &= 4 \cdot 2 \cdot 2 \\ &= 16\end{aligned}

כמה קוביות של $1$ סמ״ק נכנסות: $16$ סמ״ק.

זוג 1

\begin{aligned}ab &= 4 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

הפאה העליונה (והתחתונה).

זוג 2

\begin{aligned}ac &= 4 \cdot 2 \\ &= 8\end{aligned}

הפאה הקדמית (והאחורית).

זוג 3

\begin{aligned}bc &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

הפאה הימנית (והשמאלית) — ריבוע.

שטח פנים

\begin{aligned}S &= 2(8 + 8 + 4) \\ &= 40\end{aligned}

כל פאה פעמיים: $40$ סמ״ר.

$16$ סמ״ק ו- $40$ סמ״ר — שני מספרים שונים, ושתי יחידות שונות, לאותה תיבה.

Faire l'activité sur elev

המלכודת הראשונה: לבלבל בין היחידות, ולכן בין הגדלים.

V = 40

V = 16

נפח בסמ״ק, שטח פנים בסמ״ר — ו- $40$ הוא שטח הפנים, לא הנפח.

S = ab + bc + ac

S = 2(ab + bc + ac)

כל פאה מופיעה פעמיים

הדבקה: הנפח מתחבר, שטח הפנים לא

כשמדביקים שני גופים פאה אל פאה, הנפח הוא סכום הנפחים — החומר לא נעלם. שטח הפנים קטן מסכום השניים, כי שתי הפאות שנדבקו זו לזו נעלמות מבחוץ: אחת מכל גוף.

Activité interactive

שתי קוביות נפגשות — ספרו את הפאות שנשארות בחוץ

שתי קוביות נפרדות, שמקצוע כל אחת $5$ ס״מ. לכל אחת $6$ פאות — $12$ בסך הכול.

אלה שתי הפאות שייגעו זו בזו: אחת מכל קובייה. השנייה מצוירת בקו מקווקו כי היא בצדה הנסתר של הקובייה הימנית.

מקרבים ומדביקים.

שתי הפאות האדומות כלואות עכשיו בפנים. בחוץ נשארו $10$ פאות, לא $11$ .

הנפח התחבר במלואו; שטח הפנים איבד $2$ פאות.

המסיח שהמבחן מציע הוא $275$ — התשובה של מי שהחסיר פאה אחת. הפאות שנעלמות הן תמיד שתיים: אחת מכל גוף.

Faire l'activité sur elev

שתי קוביות שמקצוען $5$

מדביקים פאה אל פאה.

\begin{aligned}V &= 125 + 125 \\ &= 250\end{aligned}

הנפח מתחבר

\begin{aligned}S &= 150 + 150 - 2 \times 25 \\ &= 250\end{aligned}

שתי פאות נעלמו

בהדבקה נעלמות שתי פאות, לא אחת. מי שמחסיר פאה אחת מקבל תשובה שנראית סבירה ואינה נכונה — וזה בדיוק המסיח שמופיע.

מדביקים שתי תיבות $2 \times 3 \times 4$ ס״מ, פאה $3 \times 4$ אל פאה $3 \times 4$ . בכמה קטן שטח הפנים לעומת סכום שטחי השתיים?

Voir la réponse et le corrigé

ב- $24$ סמ״ר. הפאה המודבקת שטחה $3 \times 4 = 12$ סמ״ר, ונעלמות שתיים כאלה: $2 \times 12 = 24$ . מי שמחסיר $12$ בלבד נותן את התשובה שהמסיח מחכה לה.

חיתוך: הנפח קטן, שטח הפנים לא בהכרח

כשחותכים קובייה קטנה מפינה של תיבה, הנפח קטן — ברור. אבל שטח הפנים אינו משתנה: שלוש הפאות שנעלמו מהפינה מוחלפות בשלוש פאות חדשות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה שנוצרה. זו ההפתעה שהמבחן בונה עליה שאלה שלמה.

Activité interactive

מוציאים קובייה מפינה — שימו לב לשני המספרים

קובייה $3 \times 3 \times 3$ : נפחה $27$ , שטח פניה $54$ . שני המספרים כתובים למטה — עקבו אחריהם.

זו הקובייה הקטנה שנוציא, בפינה הקדמית העליונה.

שלוש הפאות האדומות הן מה שיוצא מהעטיפה — הן היו בחוץ, ולא יהיו.

מוציאים. שלוש הפאות הירוקות שנחשפו בגומה הן מה שנכנס — באותו גודל בדיוק, אחת מול כל אדומה.

הנפח ירד ב- $1$ . שטח הפנים לא זז: שלוש יצאו, שלוש נכנסו.

אותה תופעה כמו גזירת ריבוע מפינת מלבן במישור: ההיקף נשמר, כי שני הקטעים שנעלמו הוחלפו בשני קטעים באותו אורך. כאן זה שטח הפנים.

Faire l'activité sur elev

מתיבה חותכים קובייה מפינה. מה קורה לנפח ולשטח הפנים?

Voir la réponse et le corrigé

הנפח קטן, ושטח הפנים נשאר שווה. כל פאה שנעלמה מבחוץ הוחלפה בפאה חדשה זהה בתוך הגומה. אותה תופעה כמו גזירת פינה ממלבן במישור — שם ההיקף נשמר, כאן שטח הפנים.

היחס בין שטח פנים לנפח

המבחן מגדיר לפעמים מדד: שטח הפנים חלקי הנפח. לקובייה הוא $\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a}$ — כלומר ככל שהקובייה גדולה יותר, המדד קטן. הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים, ולכן גופים גדולים ״חסכוניים״ יותר בעטיפה.

לשתי קוביות, שמקצועותיהן $2$ ו- $4$ . איזו מהן «חסכונית» יותר בעטיפה ביחס לתכולתה?

Voir la réponse et le corrigé

זו שמקצועה $4$ . המדד שלה הוא $\frac{6}{4} = 1.5$ , ואילו של הקטנה $\frac{6}{2} = 3$ — פי שניים יותר עטיפה לכל יחידת נפח. זו הסיבה שקופסאות גדולות משתלמות יותר לאריזה, ושגוף קטן מתקרר מהר יותר.

\frac{6}{a}

המדד לקובייה

a = 1 \Rightarrow 6

הגדול ביותר

a = 6 \Rightarrow 1

שטח פנים שווה לנפח

a > 6 \Rightarrow < 1

הנפח עובר את השטח

Exercices

Exercice 1

אורך

6

, רוחב

3

, גובה

2

מהו נפחה של תיבה שאורכה $6$ , רוחבה $3$ וגובהה $2$ ס״מ? (בסמ״ק)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

6 \cdot 3 \cdot 2 = 36

מכפלת שלוש המידות

$36$ סמ״ק. שטח הפנים של אותה תיבה הוא $72$ סמ״ר — מספר אחר, ויחידה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

אורך

6

, רוחב

3

, גובה

2

מהו שטח הפנים של אותה תיבה — $6 \times 3 \times 2$ ס״מ? (בסמ״ר)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

2(18 + 6 + 12)

שלושת הזוגות

2 \times 36 = 72

$72$ סמ״ר. מי שכותב $36$ שכח להכפיל ב- $2$ — כל פאה מופיעה פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מדביקים שתי קוביות שמקצוען $5$ ס״מ, פאה אל פאה. מהו שטח הפנים של הגוף שהתקבל?

$150$ סמ״ר
$250$ סמ״ר
$300$ סמ״ר
$275$ סמ״ר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $250$ סמ״ר

Corrigé :

150 + 150 - 2 \times 25

שתי פאות נעלמות

= 250

$250$ סמ״ר. $275$ היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת בלבד; $300$ של מי שלא החסיר כלום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מהו נפחו של אותו גוף — שתי קוביות שמקצוען $5$ ס״מ, מודבקות? (בסמ״ק)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 250

Corrigé :

125 + 125 = 250

החומר אינו נעלם

$250$ סמ״ק. הנפח מתחבר במלואו — רק שטח הפנים מפסיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

מקובייה שמקצועה $4$ ס״מ מוציאים קובייה קטנה שמקצועה $1$ ס״מ מאחת הפינות. מהו נפח הגוף שנשאר? (בסמ״ק)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 63

Corrigé :

4^{3} = 64

הנפח לפני

64 - 1 = 63

פחות הקובייה שיצאה

$63$ סמ״ק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

ובאותו גוף — מה קרה לשטח הפנים?

קטן ל- $93$ סמ״ר
גדל ל- $99$ סמ״ר
נשאר $96$ סמ״ר
קטן ל- $95$ סמ״ר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נשאר $96$ סמ״ר

Corrigé :

\begin{aligned}S &= 6 \times 16 \\ &= 96\end{aligned}

לפני

-3 + 3 = 0

שלוש יצאו, שלוש נכנסו

נשאר $96$ סמ״ר. שלוש הפאות שנעלמו מהפינה הוחלפו בשלוש פאות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

לאיזו קובייה שטח הפנים והנפח שווים במספרם?

לאף קובייה
שמקצועה $6$
שמקצועה $1$
שמקצועה $3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שמקצועה $6$

Corrigé :

6a^{2} = a^{3}

a = 6

מחלקים ב- $a^{2}$

שמקצועה $6$ : $216$ סמ״ר ו- $216$ סמ״ק. מתחת ל- $6$ שטח הפנים גדול יותר, מעליו הנפח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהו היחס בין שטח הפנים לנפח, בקובייה שמקצועה $3$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a}

המדד

\frac{6}{3} = 2

$2$ . ככל שהקובייה גדלה המדד קטן: הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מדביקים שתי תיבות $2 \times 3 \times 4$ ס״מ, פאה $3 \times 4$ אל פאה $3 \times 4$ . מהו שטח הפנים של הגוף?

$104$ סמ״ר
$68$ סמ״ר
$80$ סמ״ר
$92$ סמ״ר

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $80$ סמ״ר

Corrigé :

52 + 52 = 104

שתי התיבות בנפרד

104 - 2 \times 12 = 80

שתי פאות $3 \times 4$ נעלמות

$80$ סמ״ר. $92$ היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת; $104$ של מי שלא החסיר כלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שתי התיבות מודבקות בפאות של 3 על 4 ס״מ.

ומהו נפחו של אותו גוף מודבק? (בסמ״ק)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

24 + 24 = 48

הנפחים מתחברים

$48$ סמ״ק. שימו לב להבדל: הנפח הוכפל בדיוק, שטח הפנים לא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שטח הפנים של קובייה הוא $96$ סמ״ר. מהו אורך מקצועה? (בס״מ)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

6a^{2} = 96

\begin{aligned}a^{2} &= 16 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים ב- $6$ , ואז שורש

$4$ ס״מ. הדרך אחורה: קודם מחלקים ב- $6$ כדי לקבל פאה אחת, ורק אז מוציאים שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

אורך

10

, רוחב

2

, גובה

3

נפחה של תיבה $10 \times 2 \times 3$ ס״מ הוא $60$ סמ״ק. מהו שטח פניה? (בסמ״ר)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 112

Corrigé :

2(20 + 6 + 30)

שלושת הזוגות

2 \times 56 = 112

$112$ סמ״ר. הנפח שנתון בשאלה אינו עוזר לחשב את שטח הפנים — הוא רק מפתה להשתמש בו.

Vérifier la réponse sur elev

שתי הנוסחאות

הדבקה: הנפח מתחבר, שטח הפנים לא

חיתוך: הנפח קטן, שטח הפנים לא בהכרח

היחס בין שטח פנים לנפח

Exercices

La suite se pratique sur elev