Les totaux font le travail · Tableaux · Psychométriques

Trois facteurs dans un seul tableau : deux sont empilés en lignes, le troisième court en colonnes, et des lignes de sous-total s'intercalent. Le total général n'est écrit nulle part dans la grille, seulement dans la description. Le geste qui décide : savoir quelles lignes additionner (jamais une ligne détaillée avec son sous-total), et se servir des totaux pour retrouver ce que le tableau cache.

Le parc de la Galilée a interrogé $800$ randonneurs à la sortie de ses sentiers. Chaque randonneur a indiqué le niveau du sentier qu'il a parcouru (facile, moyen ou difficile), s'il était déjà venu randonner dans le parc ou s'il venait pour la première fois, et la saison de sa visite. Le tableau donne les effectifs. Pour chaque niveau, une ligne en gras donne le total des deux lignes qui la précèdent ; la dernière colonne donne le total de chaque ligne sur les trois saisons.

Note : chaque randonneur n'apparaît que dans une seule case des lignes détaillées. Deux cases du tableau, marquées « ? », sont illisibles.

Enquête auprès des randonneurs du parc

Niveau du sentier — visite	Printemps	Été	Automne	Total
Facile — déjà venu	33	65	38	136
Facile — première fois	80	96	58	234
Facile — total	113	161	96	370
Moyen — déjà venu	35	29	44	108
Moyen — première fois	?	?	36	137
Moyen — total	89	76	80	245
Difficile — déjà venu	21	24	31	76
Difficile — première fois	37	8	64	109
Difficile — total	58	32	95	185

Les cases encadrées sont illisibles. Les lignes en gras sont des sous-totaux : un randonneur qui y figure est déjà compté dans une des deux lignes du dessus.

Par exemple : $65$ randonneurs déjà venus dans le parc ont parcouru un sentier facile en été.

Chaque question se traite seule : une donnée qu'elle ajoute ne vaut que pour elle.

Exercices

Exercice 1

Combien des randonneurs interrogés ont visité le parc en été sur un sentier dont le niveau n'est pas facile ?

$269$
$76$
$108$
$161$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $108$

Corrigé :

{76}

La ligne « Moyen — total », colonne Été.

{32}

La ligne « Difficile — total », colonne Été.

{76 + 32 = 108}

Les deux niveaux qui ne sont pas « facile ».

$108$ . « N'est pas facile » veut dire moyen ou difficile : on additionne deux sous-totaux de la colonne Été. $161$ est l'effectif du sentier facile, celui que la négation exclut : c'est la phrase lue sans le « ne … pas ». $269$ est tout l'été, négation ignorée ( $161 + 76 + 32$ ). $76$ ne garde qu'un des deux niveaux.

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Exercice 2

Quelle part des randonneurs interrogés venaient dans le parc pour la première fois ?

$60\;\%$
$30\;\%$
$150\;\%$
$40\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $60\;\%$

Corrigé :

{234 + 137 + 109 = 480}

Les trois lignes « première fois », colonne Total, et rien d'autre.

{\frac{480}{800} = 0{,}6}

Rapporté au total général, qui est dans la description.

{800 - 480 = 320}

Contrôle : les déjà venus sont $136 + 108 + 76 = 320$ .

$60\;\%$ . Le numérateur se lit dans trois lignes, le dénominateur ( $800$ ) n'est dans aucune case. $40\;\%$ est la part des randonneurs déjà venus, le complément. $30\;\%$ divise par $1\,600$ : c'est ce qu'on obtient en additionnant toute la colonne Total, sous-totaux compris, qui comptent chaque randonneur deux fois. $150\;\%$ compare les premières visites aux déjà venus ( $\frac{480}{320}$ ) : une partie divisée par une autre partie, et non par le tout.

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Exercice 3

Combien de randonneurs venus pour la première fois ont parcouru un sentier moyen en été ?

$101$
$54$
$76$
$47$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $47$

Corrigé :

{137 - 36 = 101}

Sur sa ligne, la case cherchée a une voisine illisible : on ne peut obtenir que la somme des deux cases « ? ».

{76 - 29 = 47}

On passe donc par la colonne Été : le sous-total « Moyen — total » moins les déjà venus.

{89 - 35 = 54 \qquad 54 + 47 + 36 = 137}

Contrôle : l'autre case illisible vaut $54$ , et la ligne retombe sur son total.

$47$ . Quand une ligne a deux trous, son total ne suffit plus ; il faut changer de dimension et utiliser le sous-total de la colonne. $101$ est la somme des deux cases « ? », obtenue en restant sur la ligne. $54$ est l'autre case illisible, celle du printemps. $76$ est le sous-total lui-même, lu à la place de la case.

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Exercice 4

On appelle groupe l'ensemble des randonneurs d'une même ligne détaillée (par exemple : « facile, déjà venus »), et étendue d'un groupe l'écart entre la plus grande et la plus petite de ses trois cases saisonnières. Lequel de ces groupes a la plus grande étendue ?

Sentier difficile, déjà venus
Sentier facile, première fois
Sentier moyen, première fois
Sentier difficile, première fois

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Sentier difficile, première fois

Corrigé :

{96 - 58 = 38}

Facile, première fois.

{54 - 36 = 18}

Moyen, première fois : il faut d'abord reconstruire les cases illisibles ( $89 - 35 = 54$ et $76 - 29 = 47$ ).

{31 - 21 = 10}

Difficile, déjà venus.

{64 - 8 = 56}

Difficile, première fois : le maximum.

Sentier difficile, première fois, avec $56$ . Ce groupe n'a ni le plus gros effectif ni la plus grande case du tableau, mais ses saisons sont les plus inégales. Sentier facile, première fois attire l'œil avec la case $96$ et le plus gros total ( $234$ ), mais son étendue n'est que $38$ . Sentier difficile, déjà venus est la ligne voisine du bon groupe : se tromper de ligne dans un bloc donne $10$ . Sentier moyen, première fois ne s'évalue qu'après reconstruction, et donne $18$ ; qui prend les « ? » pour des zéros croit y trouver $36$ , sans atteindre $56$ pour autant.

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Exercice 5

On apprend que, parmi les randonneurs venus pour la première fois sur un sentier moyen, $120$ ont dormi au gîte du parc. Au moins combien d'entre eux ont visité le parc au printemps ?

$17$
$54$
$37$
$84$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $37$

Corrigé :

{137}

Le groupe « moyen, première fois » compte $137$ randonneurs.

{76 - 29 = 47 \qquad 47 + 36 = 83}

Hors printemps, il compte $47$ randonneurs d'été (case reconstruite) et $36$ d'automne.

{120 - 83 = 37}

Au pire, tous ces $83$ randonneurs ont dormi au gîte ; les $37$ autres dormeurs sont forcément du printemps.

{37 \le 54}

Le printemps compte $54$ randonneurs de ce groupe : le cas est bien possible.

$37$ . Un « au moins » se traite par le pire cas : on remplit d'abord tout ce qui n'est pas le printemps, et seul le reste y est forcé. $84$ est le piège de la case illisible : $120 - 36$ , comme si l'été ne comptait personne. $17$ calcule ceux qui n'ont pas dormi au gîte ( $137 - 120$ ). $54$ est l'effectif du printemps, c'est-à-dire le maximum possible et non le minimum.

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Exercice 6

Combien de randonneurs interrogés ont visité le parc en automne ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 271

Corrigé :

{96 + 80 + 95 = 271}

Les trois sous-totaux de la colonne « Automne ».

$271$ randonneurs. Additionner toute la colonne, sous-totaux compris, donne $542$ : chaque randonneur est alors compté deux fois.

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Exercice 7

Parmi les randonneurs venus pour la première fois, plus de la moitié ont parcouru un sentier facile.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

{234 + 137 + 109 = 480}

Les randonneurs venus pour la première fois.

{\dfrac{234}{480} \approx 48{,}8\;\%}

Un peu moins de la moitié.

Faux, de peu. $234$ est la plus grosse ligne, mais l'univers est fait de trois lignes, et $234$ n'en atteint pas la moitié.

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Exercice 8

Quelle part des randonneurs déjà venus ont parcouru un sentier difficile ?

$41\;\%$
$23{,}75\;\%$
$9{,}5\;\%$
$76\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $23{,}75\;\%$

Corrigé :

{136 + 108 + 76 = 320}

L'univers : les déjà venus, trois lignes détaillées.

{\dfrac{76}{320} = 23{,}75\;\%}

Dont $76$ sur un sentier difficile.

$23{,}75\;\%$ . $9{,}5\;\%$ divise par les $800$ interrogés ; $41\;\%$ par les $185$ randonneurs du sentier difficile, la question inverse.

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Exercice 9

Combien de randonneurs venus pour la première fois ont visité le parc au printemps ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 171

Corrigé :

{89 - 35 = 54}

La case illisible du sentier moyen, retrouvée par sa colonne.

{80 + 54 + 37 = 171}

Les trois lignes « première fois ».

$171$ randonneurs. Sans reconstruire la case illisible, on trouve $117$ : un trou n'est pas un zéro.

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Exercice 10

Quelle saison a attiré le plus de randonneurs venus pour la première fois ?

L'été et l'automne, à égalité
L'été
Le printemps
L'automne

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Le printemps

Corrigé :

{\text{printemps} : 80 + 54 + 37 = 171}

Avec la case reconstruite.

{\text{été} : 96 + 47 + 8 = 151 \qquad \text{automne} : 58 + 36 + 64 = 158}

Les deux autres.

Le printemps. L'été attire le plus de randonneurs en tout ( $269$ ), mais pas de nouveaux venus : la question filtre une ligne sur deux.

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Exercices

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