Des pourcentages sur des soirées inégales · Tableaux · Psychométriques

Des pourcentages par colonne, et une ligne d'effectifs sous le tableau. Le geste qui décide : un pourcentage ne devient un nombre de personnes qu'une fois multiplié par l'effectif de sa colonne. Deux colonnes de tailles différentes ne se comparent, ne s'additionnent et ne se moyennent jamais par leurs seuls pourcentages.

Pendant un festival de musique de cinq soirées, au bord du lac de Tibériade, les organisateurs ont interrogé chaque soir une partie des spectateurs sur la façon dont ils étaient venus. Chaque spectateur interrogé a déclaré un seul moyen : la navette depuis Tibériade, la voiture, le vélo ou la marche. Dans les quatre premières lignes, chaque case donne le pourcentage des spectateurs interrogés le soir de la colonne qui sont venus par le moyen de la ligne : chaque colonne totalise donc $100\;\%$ . La dernière ligne donne le nombre de spectateurs interrogés ce soir-là. La colonne grisée porte sur les cinq soirées réunies. Personne n'a été interrogé deux fois.

Comment les spectateurs sont venus au festival, soir par soir

Moyen de venue	Dimanche	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Ensemble du festival
Navette (%)	36	34	36	32	40	36
Voiture (%)	28	44	32	15	18	25
Vélo (%)	12	10	8	8	11	10
À pied (%)	24	12	24	45	31	29
Spectateurs interrogés	400	600	200	700	$1\,000$	$2\,900$

La colonne grisée regroupe les spectateurs interrogés des cinq soirées. La dernière ligne est un nombre de personnes, et non un pourcentage.

Par exemple : le lundi, $600$ spectateurs ont été interrogés, et $44\;\%$ d'entre eux, soit $264$ personnes, sont venus en voiture.

Chaque question se traite seule : une donnée qu'elle ajoute ne vaut que pour elle.

Exercices

Exercice 1

On dira qu'une soirée est équilibrée si, ce soir-là, l'écart entre les deux moyens de venue les plus utilisés est strictement inférieur à $10$ points. Combien des cinq soirées sont équilibrées ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $3$

Corrigé :

{\text{dimanche} : 36 - 28 = 8}

Dimanche : la navette, puis la voiture. Équilibrée.

{\text{lundi} : 44 - 34 = 10}

Lundi : la voiture, puis la navette. L'écart vaut exactement $10$ , ce qui n'est pas inférieur à $10$ . Non équilibrée.

{\text{mardi} : 36 - 32 = 4}

Mardi : la navette, puis la voiture. Équilibrée.

{\text{mercredi} : 45 - 32 = 13}

Mercredi : la marche passe en tête, devant la navette. Non équilibrée.

{\text{jeudi} : 40 - 31 = 9}

Jeudi : la navette, puis la marche — la voiture n'est que troisième. Équilibrée.

$3$ soirées : dimanche, mardi et jeudi. La définition vise les deux premiers moyens de chaque soirée, qu'il faut rechercher colonne par colonne. Comparer toujours la navette et la voiture, parce qu'elles mènent le dimanche, donne $2$ : le jeudi tombe à tort, avec un écart de $22$ . L'option $4$ compte en plus le lundi, dont l'écart est pile de $10$ , alors que « strictement inférieur » exclut la borne. Et $5$ ajoute encore la colonne grisée, qui n'est pas une soirée.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Complétez : dans chacune des soirées où plus de $600$ spectateurs ont été interrogés, la part des spectateurs venus ___ est plus élevée que dans chacune des autres soirées, et la part des spectateurs venus ___ y est plus basse que dans chacune des autres soirées.

à pied ; en voiture
en navette ; en voiture
à pied ; en vélo
en navette ; en vélo

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A à pied ; en voiture

Corrigé :

{\text{plus de } 600 : \text{mercredi } (700), \ \text{jeudi } (1\,000)}

On partage d'abord les colonnes par la dernière ligne. Le lundi, avec exactement $600$ interrogés, reste du côté des autres soirées.

{\min(45,\, 31) = 31 > 24 = \max(24,\, 12,\, 24)}

À pied : la plus basse des deux grandes soirées dépasse la plus haute des trois autres.

{\max(15,\, 18) = 18 < 28 = \min(28,\, 44,\, 32)}

En voiture : la plus haute des grandes soirées reste sous la plus basse des autres.

{\text{navette} : 32 < 36 \qquad \text{vélo} : 11 > 8}

La navette du mercredi ( $32$ ) est sous celle du dimanche, et le vélo du jeudi ( $11$ ) dépasse celui du mardi : aucun des deux ne remplit la condition partout.

à pied ; en voiture. « Chacune… chacune » oblige à comparer le minimum d'un groupe au maximum de l'autre, et non les moyennes. La navette fait en moyenne $36$ dans les grandes soirées contre environ $35{,}3$ dans les autres, et le vélo $9{,}5$ contre $10$ : c'est ce qui rend tentantes les trois options qui les nomment. Et qui range le lundi ( $600$ interrogés) parmi les grandes soirées ne trouve plus aucun moyen qui convienne, puisque la marche y tombe à $12\;\%$ et la voiture y monte à $44\;\%$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Combien de fois plus de spectateurs interrogés sont venus à pied le dimanche que le lundi ?

$\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{3}{2}$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{4}{3}$

Corrigé :

{0{,}24 \times 400 = 96}

Dimanche : $24\;\%$ des $400$ interrogés.

{0{,}12 \times 600 = 72}

Lundi : $12\;\%$ des $600$ interrogés.

{\frac{96}{72} = \frac{4}{3}}

On compare des personnes, et plus des pourcentages.

$\dfrac{4}{3}$ fois. Le pourcentage du dimanche est le double de celui du lundi, d'où l'option $2$ : elle compare des parts de deux groupes de tailles différentes. $\dfrac{3}{2}$ ne compare que les effectifs ( $600$ contre $400$ ), et $\dfrac{3}{4}$ fait le bon calcul à l'envers.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

On réunit les soirées où au plus $600$ spectateurs ont été interrogés. Quel pourcentage de leurs spectateurs interrogés est venu à pied ?

$20\;\%$
$23\;\%$
$29\;\%$
$18\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18\;\%$

Corrigé :

{400 + 600 + 200 = 1\,200}

Dimanche, lundi et mardi : $1\,200$ spectateurs interrogés en tout.

{0{,}24 \times 400 + 0{,}12 \times 600 + 0{,}24 \times 200 = 96 + 72 + 48 = 216}

Les marcheurs, soirée par soirée, en nombre de personnes.

{\frac{216}{1\,200} = 0{,}18}

Soit $18\;\%$ .

{0{,}29 \times 2\,900 - 0{,}45 \times 700 - 0{,}31 \times 1\,000 = 841 - 315 - 310 = 216}

Même résultat par la colonne grisée : on retire du total les marcheurs du mercredi et du jeudi.

$18\;\%$ . Le pourcentage de plusieurs soirées réunies est une moyenne pondérée par les effectifs, et le lundi, la plus peuplée des trois soirées, est aussi celle où l'on marche le moins. La moyenne simple des trois cases donne $20\;\%$ . $29\;\%$ est la case grisée, qui porte sur les cinq soirées. $23\;\%$ vient de la même erreur faite depuis la colonne grisée : $5 \times 29$ , moins $45$ et $31$ , le tout divisé par $3$ , comme si la colonne grisée était la moyenne simple des soirées — ce qu'elle n'est pas.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Le jeudi, $60\;\%$ des spectateurs interrogés habitaient à moins de $3$ km du site. Au minimum, combien de ces spectateurs proches ne sont pas venus à pied ?

$290$
$0$
$414$
$310$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $290$

Corrigé :

{0{,}60 \times 1\,000 = 600}

Les proches : $60\;\%$ des $1\,000$ interrogés du jeudi.

{0{,}31 \times 1\,000 = 310}

Les marcheurs du jeudi.

{600 - 310 = 290}

Au mieux, les $310$ marcheurs sont tous des proches : il reste au moins $290$ proches venus autrement.

$290$ . Le tableau ne dit pas qui, parmi les interrogés, habite près du site : pour un minimum, on se place dans le cas le plus favorable à la marche, où chaque marcheur est un proche. Répondre $0$ , c'est oublier qu'il y a moins de marcheurs ( $310$ ) que de proches ( $600$ ). $310$ confond le nombre cherché avec les marcheurs eux-mêmes. $414$ suppose que les proches marchent dans la même proportion que les autres ( $60\;\%$ de $69\;\%$ de $1\,000$ ) : c'est une valeur possible, pas un minimum.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Combien de spectateurs interrogés sont venus en navette, le mercredi et le jeudi réunis ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 624

Corrigé :

{32\;\% \times 700 = 224}

Mercredi.

{40\;\% \times 1\,000 = 400}

Jeudi.

{224 + 400 = 624}

Les deux soirées.

$624$ personnes. Additionner les pourcentages ( $72\;\%$ ) ne donne rien d'utile : ils portent sur deux bases différentes.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Quel pourcentage des spectateurs interrogés le mardi et le mercredi réunis est venu en voiture ?

$47\;\%$
environ $18{,}8\;\%$
environ $15\;\%$
$23{,}5\;\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B environ $18{,}8\;\%$

Corrigé :

{32\;\% \times 200 = 64 \qquad 15\;\% \times 700 = 105}

Les automobilistes de chaque soir.

{\dfrac{64 + 105}{200 + 700} = \dfrac{169}{900} \approx 18{,}8\;\%}

Sur les deux soirées.

Environ $18{,}8\;\%$ . $23{,}5\;\%$ est la moyenne des deux pourcentages, qui donne au mardi ( $200$ personnes) autant de poids qu'au mercredi ( $700$ ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Le lundi, plus de spectateurs interrogés sont venus en voiture que le jeudi.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

{44\;\% \times 600 = 264}

Lundi.

{18\;\% \times 1\,000 = 180}

Jeudi.

Vrai : $264$ contre $180$ . Ici la plus forte part l'emporte malgré la plus petite base, mais seul le calcul le montre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Le dimanche, combien de spectateurs interrogés de plus sont venus en navette qu'à pied ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

{36\;\% - 24\;\% = 12 \text{ points}}

Même soirée : même base, les pourcentages se soustraient.

{12\;\% \times 400 = 48}

En personnes.

$48$ personnes. Dans une même colonne, la base est commune : on peut soustraire les pourcentages, puis convertir une seule fois. Répondre $12$ , c'est s'arrêter aux points.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Le jeudi, les spectateurs interrogés venus en voiture étaient en moyenne $3$ par voiture. Combien de voitures cela représente-t-il ?

$540$
$333$
$6$
$60$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60$

Corrigé :

{18\;\% \times 1\,000 = 180}

Les automobilistes du jeudi.

{\dfrac{180}{3} = 60}

Trois par voiture.

$60$ voitures. $6$ divise le pourcentage au lieu d'un nombre de personnes ; $540$ multiplie au lieu de diviser.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev