Puissance d’une puissance et d’un produit

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חזקה של חזקה — כופלים מעריכים

בלי סוגריים — מחברים: a3⋅a4=a7a^3 \cdot a^4 = a^7. עם סוגריים — כופלים: (a3)4=a12(a^3)^4 = a^{12}.

חזקה של מכפלה

כמה זה (3a2)3(3a^2)^3?

Voir la réponse et le corrigé

27a627a^6 — 33=273^3 = 27 ו-2⋅3=62 \cdot 3 = 6.

חזקה של שבר

טעויות נפוצות

החוק שלא קיים, ושתי טעויות של סוגריים.

(a+b)n=an+bn(a + b)^n = a^n + b^n
(a+b)n≠an+bn(a + b)^n \neq a^n + b^n

החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד, לעולם לא על חיבור. בדיקה מהירה: (2+3)2=25(2+3)^2 = 25, אבל 22+32=132^2 + 3^2 = 13.

(2x)3=2x3(2x)^3 = 2x^3
(2x)3=8x3(2x)^3 = 8x^3

החזקה חלה על כל מה שבסוגריים, כולל המקדם. רק בלי סוגריים — 2x32x^3 — החזקה שייכת ל-xx בלבד.

(−3)2=−9(-3)^2 = -9
(−3)2=9(-3)^2 = 9

בסוגריים גם המינוס מוכפל: (−3)(−3)=9(-3)(-3) = 9. אבל −32=−9-3^2 = -9, כי בלי סוגריים החזקה שייכת רק ל-3.

Exercices

Exercice 1

(23)2=2?(2^{3})^{2} = 2^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(23)2=23⋅23⋯(2^{3})^{2} = 2^{3} \cdot 2^{3} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

3×2=63 \times 2 = 6

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

(52)3=5?(5^{2})^{3} = 5^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(52)3=52⋅52⋯(5^{2})^{3} = 5^{2} \cdot 5^{2} \cdots

זו מכפלה של 3 עותקים

2×3=62 \times 3 = 6

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

(34)2=3?(3^{4})^{2} = 3^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(34)2=34⋅34⋯(3^{4})^{2} = 3^{4} \cdot 3^{4} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

4×2=84 \times 2 = 8

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

(102)4=10?(10^{2})^{4} = 10^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(102)4=102⋅102⋯(10^{2})^{4} = 10^{2} \cdot 10^{2} \cdots

זו מכפלה של 4 עותקים

2×4=82 \times 4 = 8

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

(25)3=2?(2^{5})^{3} = 2^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

(25)3=25⋅25⋯(2^{5})^{3} = 2^{5} \cdot 2^{5} \cdots

זו מכפלה של 3 עותקים

5×3=155 \times 3 = 15

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

(72)2=7?(7^{2})^{2} = 7^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(72)2=72⋅72⋯(7^{2})^{2} = 7^{2} \cdot 7^{2} \cdots

זו מכפלה של 2 עותקים

2×2=42 \times 2 = 4

ולכן המעריכים מוכפלים

בכפל חזקות מחברים מעריכים; בחזקה של חזקה מכפילים. הסוגריים הם ההבדל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מה ההבדל בין 23⋅222^3 \cdot 2^2 לבין (23)2(2^3)^2?

  1. בשני אי אפשר לפשט
  2. הם זהים
  3. בראשון מחברים מעריכים, בשני מכפילים
  4. בראשון מכפילים, בשני מחברים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C בראשון מחברים מעריכים, בשני מכפילים

Corrigé :

23⋅22=252^3 \cdot 2^2 = 2^5

כפל — מחברים

(23)2=26(2^3)^2 = 2^6

חזקה של חזקה — מכפילים

32 מול 64. הסוגריים משנים את התוצאה, ולכן הם השאלה הראשונה שכדאי לשאול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

האם (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2?

  1. כן, תמיד
  2. כן, אם aa ו-bb חיוביים
  3. כן, אם a=ba = b
  4. לא
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא

Corrigé :

(2+3)2=52=25\begin{aligned}(2+3)^2 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

החישוב הנכון

22+32=4+9=13\begin{aligned}2^2 + 3^2 &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

ומה שהיה מתקבל אילו החוק היה קיים

החזקה מתחלקת על כפל וחילוק בלבד. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי לפסול את הכלל. החזקה אינה מתחלקת על חיבור

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

(2⋅5)3=?(2 \cdot 5)^3 = ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1000

Corrigé :

(2⋅5)3=23⋅53=8⋅125\begin{aligned}(2 \cdot 5)^3 &= 2^3 \cdot 5^3 \\ &= 8 \cdot 125\end{aligned}

החזקה מתחלקת על הכפל

103=100010^3 = 1000

או פשוט לחשב את הסוגריים קודם

שתי דרכים, אותה תשובה. כאן דווקא מהיר יותר לחשב את הסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה זה (23)2(2^3)^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

(23)2=23⋅2=26\begin{aligned}(2^{3})^{2} &= 2^{3 \cdot 2} \\ &= 2^{6}\end{aligned}

יש סוגריים — כופלים מעריכים

26=642^{6} = 64

הטעות הנפוצה: 23+2=322^{3+2} = 32. זה היה נכון ל-23⋅222^3 \cdot 2^2, בלי סוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פשטו: (x4)3⋅x2(x^4)^3 \cdot x^2

  1. x14x^{14}
  2. x24x^{24}
  3. x9x^{9}
  4. x12x^{12}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x14x^{14}

Corrigé :

(x4)3=x12(x^{4})^{3} = x^{12}

סוגריים — כופלים

x12⋅x2=x14x^{12} \cdot x^{2} = x^{14}

כפל — מחברים

x9x^9 בא מחיבור של הכול, ו-x24x^{24} מכפל של הכול. כל פעולה והחוק שלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

חשבו: (34)235\frac{(3^4)^2}{3^5}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 27

Corrigé :

(34)2=38(3^{4})^{2} = 3^{8}
3835=33=27\begin{aligned}\frac{3^{8}}{3^{5}} &= 3^{3} \\ &= 27\end{aligned}

שני חוקים ברצף: קודם הסוגריים, אחר כך החילוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פשטו: (−2a3)2(-2a^3)^2

  1. 4a54a^{5}
  2. 4a64a^{6}
  3. −4a6-4a^{6}
  4. −2a6-2a^{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4a64a^{6}

Corrigé :

(−2)2=4(-2)^{2} = 4

מינוס כפול מינוס

(a3)2=a6(a^{3})^{2} = a^{6}

החזקה חלה גם על המינוס: חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

חשבו ורשמו כמספר עשרוני: (34)2\left(\frac{3}{4}\right)^2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5625

Corrigé :

(34)2=916\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}

מונה ומכנה בנפרד

=0.5625= 0.5625

שבר קטן מ-1 בחזקה נעשה קטן יותר: 916<34\frac{9}{16} < \frac{3}{4}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

(a2)3=(a3)2(a^2)^3 = (a^3)^2

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(a2)3=a6(a^{2})^{3} = a^{6}
(a3)2=a6(a^{3})^{2} = a^{6}

בכפל הסדר לא משנה: 2⋅3=3⋅22 \cdot 3 = 3 \cdot 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

(23)2=23⋅3(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 3}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(23)2=23⋅2=26=64\begin{aligned}(2^{3})^{2} &= 2^{3 \cdot 2} \\ &= 2^{6} \\ &= 64\end{aligned}
23⋅3=29=512\begin{aligned}2^{3 \cdot 3} &= 2^{9} \\ &= 512\end{aligned}

כופלים את המעריך הפנימי במעריך החיצוני — 3 ב-2, לא 3 בעצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתון: (xn)3⋅x2=x20(x^{n})^{3} \cdot x^{2} = x^{20}. מהו nn?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

3n+2=203n + 2 = 20

כופלים, ואז מחברים

3n=18⇒n=6\begin{aligned}3n &= 18 \Rightarrow n \\ &= 6\end{aligned}

בדיקה: (x6)3⋅x2=x18⋅x2=x20(x^6)^3 \cdot x^2 = x^{18} \cdot x^2 = x^{20} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

חשבו: (2⋅5)454\frac{(2 \cdot 5)^{4}}{5^{4}}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

(2⋅5)4=24⋅54(2 \cdot 5)^{4} = 2^{4} \cdot 5^{4}

החזקה מתחלקת

24⋅5454=24=16\begin{aligned}\frac{2^{4} \cdot 5^{4}}{5^{4}} &= 2^{4} \\ &= 16\end{aligned}

545^4 מצטמצם

אפשר גם: 10454=10000625=16\frac{10^4}{5^4} = \frac{10000}{625} = 16. החוק מקצר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

45=2?4^{5} = 2^{?}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

4=224 = 2^{2}

כותבים את 4 כחזקה של 2

45=(22)5=210\begin{aligned}4^{5} &= (2^{2})^{5} \\ &= 2^{10}\end{aligned}

כדי להשוות חזקות עם בסיסים שונים, מביאים אותן לאותו בסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתון: 82⋅43=2n8^{2} \cdot 4^{3} = 2^{n}. מהו nn?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

82=(23)2=26\begin{aligned}8^{2} &= (2^{3})^{2} \\ &= 2^{6}\end{aligned}
43=(22)3=26\begin{aligned}4^{3} &= (2^{2})^{3} \\ &= 2^{6}\end{aligned}
26⋅26=2122^{6} \cdot 2^{6} = 2^{12}

בדיקה: 64⋅64=4096=21264 \cdot 64 = 4096 = 2^{12} ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

Rangez (סדרו) du plus petit au plus grand

  • (23)5(2^{3})^{5}
  • 282^{8}
  • 343^{4}
  • 454^{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 343^{4} · 282^{8} · 454^{5} · (23)5(2^{3})^{5}

Corrigé :

81<256<1024<3276881 < 256 < 1024 < 32768

הכי קל להשוות כשכותבים בבסיס 2: 282^8, 45=2104^5 = 2^{10}, (23)5=215(2^3)^5 = 2^{15}. ו-34=813^4 = 81.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

(3x2)3⋅x(3x^{2})^{3} \cdot x
=3x6⋅x= 3x^{6} \cdot x
=3x7= 3x^{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : =3x6⋅x= 3x^{6} \cdot x → =27x6⋅x= 27x^{6} \cdot x

Corrigé :

(3x2)3=33⋅x6=27x6\begin{aligned}(3x^{2})^{3} &= 3^{3} \cdot x^{6} \\ &= 27x^{6}\end{aligned}
27x6⋅x=27x727x^{6} \cdot x = 27x^{7}

שכחו להעלות בחזקה את המקדם 3. החזקה חלה על כל מה שבסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe