Aborder une question du bagrout · Les nombres complexes · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבחינה, השאלה על מספרים מרוכבים היא כמעט תמיד שאלה 3, והיא בנויה מסעיפים שנשענים זה על זה: פותרים משוואה $z^n = w$ , מזהים את המצולע שהפתרונות יוצרים, ואז מחשבים שטח, מסובבים, או מעלים בחזקה. נעבור על שאלה שלמה, סעיף אחרי סעיף.

Activité interactive

שאלה לדוגמה: $z^6 = -64$

z^6 = -64

לחצו «להתחיל». א. פתרו את המשוואה. ב. הראו שהפתרונות הם קדקודים של משושה משוכלל, וחשבו את שטחו. ג. $w$ הוא הפתרון ברביע הראשון: חשבו את $w^3$ .

א. אגף ימין

-64 = 64\,\text{cis}\,180^\circ

כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית. תמיד הצעד הראשון.

א. הנוסחה

\begin{aligned}z_k &= \sqrt[6]{64}\,\text{cis}\,\frac{180^\circ + 360^\circ k}{6} \\ &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k)\end{aligned}

$k = 0, 1, \ldots, 5$ : שישה פתרונות.

א. הרשימה

2\,\text{cis}\,30^\circ, \ 2\,\text{cis}\,90^\circ, \ 2\,\text{cis}\,150^\circ, \ 2\,\text{cis}\,210^\circ, \ 2\,\text{cis}\,270^\circ, \ 2\,\text{cis}\,330^\circ

כותבים את כל הפתרונות. אם מבקשים הצגה אלגברית: $\pm\sqrt{3} \pm i$ ו- $\pm 2i$ .

ב. המצולע

\begin{aligned}|z_k| &= 2 \\ \quad \alpha_{k+1} - \alpha_k &= 60^\circ\end{aligned}

כולם על המעגל $|z| = 2$ , והזוויות המרכזיות בין שכנים שוות: לכן גם הצלעות שוות, והמשושה משוכלל.

ב. השטח

\begin{aligned}S &= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שישה משולשים שווים עם קדקוד בראשית.

ג. הפתרון ברביע הראשון

\begin{aligned}w &= 2\,\text{cis}\,30^\circ \\ &= \sqrt{3} + i\end{aligned}

הזווית בין $0^\circ$ ל- $90^\circ$ .

ג. החזקה

\begin{aligned}w^3 &= 2^3\,\text{cis}\,90^\circ \\ &= 8i\end{aligned}

דה-מואבר. בדיקה: $(w^3)^2 = (8i)^2 = -64 \ \checkmark$

התבנית חוזרת בכל שנה: הצגה קוטבית של אגף ימין, הנוסחה עם $360^\circ k$ , רשימה מלאה, ורק אז גאומטריה.

Faire l'activité sur elev

איך כותבים בבחינה. זוויות כותבים במעלות ( $\text{cis}\,30^\circ$ ), ומשאירים ערכים מדויקים ( $\sqrt{3}$ , לא $1.73$ ). מצולע «משוכלל» מוכיחים בשני נימוקים: כל הקדקודים על מעגל אחד, וגם הזוויות המרכזיות שוות.

נקודות שהולכות לאיבוד בבחינה.

\begin{aligned}z^6 &= -64 \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,30^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}z_k &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k) \\ \ k &= 0 \\ \ldots \\ 5\end{aligned}

פתרון אחד במקום שישה: כל השאלה שאחריו נופלת.

\sqrt[6]{-64} = -2

\sqrt[6]{64} = 2

מוציאים שורש מהערך המוחלט של $w$ , שהוא תמיד חיובי.

Exercices

Exercice 1

נתונה המשוואה $z^4 = -4$ . א. מהי ההצגה הקוטבית של $-4$ ?

$-4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,180^\circ$
$4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,90^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $4\,\text{cis}\,180^\circ$

Corrigé :

-4 = 4\,\text{cis}\,180^\circ

החלק השלילי של הציר הממשי

בהצגה קוטבית $r$ תמיד חיובי: הסימן עובר לזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$z^4 = -4$ . ב. מהו הערך המוחלט של הפתרונות? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.41

Corrigé :

\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.41

$\sqrt[4]{4} = 4^{1/4} = 2^{1/2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$z^4 = -4$ . ג. מהו החלק הממשי של הפתרון שנמצא ברביע הראשון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

z_k = \sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)

\begin{aligned}z_0 &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ \\ &= 1 + i\end{aligned}

בדיקה: $(1 + i)^2 = 2i$ , ו- $(2i)^2 = -4 \ \checkmark$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

$z^4 = -4$ . ד. הפתרונות הם הקדקודים של:

טרפז
מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ריבוע

Corrigé :

\pm 1 \pm i

ארבעת הפתרונות

\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ

על מעגל אחד, במרווחים שווים

מצולע משוכלל עם ארבעה קדקודים הוא ריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$z^4 = -4$ . ה. מהו השטח של המצולע שהפתרונות יוצרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}a &= |(1 + i) - (-1 + i)| \\ &= 2\end{aligned}

הצלע

\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 4\end{aligned}

או בנוסחה: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \sin 90^\circ = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$z^4 = -4$ . ו. מהו ההיקף של המצולע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

4 \cdot 2 = 8

ארבע צלעות באורך $2$

הצלע היא המרחק בין שני קדקודים סמוכים, לא בין קדקודים נגדיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$z^4 = -4$ , ו- $w = 1 + i$ הוא הפתרון ברביע הראשון. ז. חשבו את $w^{10}$ . מהו החלק המדומה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

w^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,450^\circ

= 32\,\text{cis}\,90^\circ = 32i

$450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$

$(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$z^4 = -4$ . ח. מהו סכום ארבעת הפתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

(1 + i) + (-1 + i) + (-1 - i) + (1 - i) = 0

הסכום של כל הפתרונות של $z^n = w$ הוא תמיד $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$z^4 = -4$ . ט. כופלים כל פתרון ב- $\text{cis}\,45^\circ$ . הנקודות החדשות הן הפתרונות של $z^4 = c$ . מצאו את $c$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

(z \cdot \text{cis}\,45^\circ)^4 = z^4 \cdot \text{cis}\,180^\circ

= -4 \cdot (-1) = 4

הסיבוב ב- $45^\circ$ מעביר את הריבוע לקדקודים $\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}i$ : הפתרונות של $z^4 = 4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$z^4 = -4$ . י. כל הפתרונות נמצאים על המעגל $|z| = \sqrt{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}|z|^4 &= |-4| \\ &= 4 \Rightarrow |z| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

הערך המוחלט של כל פתרון הוא $\sqrt[4]{|w|}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev