Problèmes géométriques

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כל מה שלמדנו מתחבר כאן לגאומטריה: ∣z1−z2∣|z_1 - z_2| הוא מרחק, כפל ב-cis α\text{cis}\,\alpha הוא סיבוב, ופתרונות של zn=wz^n = w הם מצולע. שאלות הבגרות בנויות בדיוק על החיבורים האלה.

מקום גאומטרי: מעגל

אילו נקודות zz מקיימות ∣z−(2+i)∣=2|z - (2 + i)| = 2? ∣z−z0∣|z - z_0| הוא המרחק של zz מ-z0z_0. אלה כל הנקודות שהמרחק שלהן מ-2+i2 + i הוא 22: מעגל.

∣z−z0∣=r|z - z_0| = r

כל הנקודות האלה יוצרות מעגל שמרכזו z0z_0 והרדיוס שלו rr.

הסימן של המרכז.

∣z+3−i∣=2⇒z0=3−i\begin{aligned}|z + 3 - i| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= 3 - i\end{aligned}
∣z−(−3+i)∣=2⇒z0=−3+i\begin{aligned}|z - (-3 + i)| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= -3 + i\end{aligned}

כותבים קודם בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|: המרכז הוא מה שמחסרים.

מקום גאומטרי: האנך האמצעי

אילו נקודות zz מקיימות ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|? אלה הנקודות שנמצאות באותו מרחק מ-00 ומ-2+2i2 + 2i: האנך האמצעי של הקטע ביניהן.

האם z=2iz = 2i נמצא על הישרה ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|?

Voir la réponse et le corrigé

כן. ∣2i∣=2|2i| = 2, ו-∣2i−2−2i∣=∣−2∣=2|2i - 2 - 2i| = |-2| = 2. המרחקים שווים. (וגם x+y=0+2=2x + y = 0 + 2 = 2.)

סיבוב סביב הראשית

כפל ב-r cis αr\,\text{cis}\,\alpha מסובב ב-α\alpha ומותח פי rr. כדי לסובב נקודה zz ב-60∘60^\circ סביב הראשית, כופלים אותה ב-cis 60∘\text{cis}\,60^\circ. בשאלות על משולש שווה צלעות זה הכלי: הקדקוד השלישי הוא סיבוב של השני ב-60∘60^\circ.

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים

בסדרה הנדסית כל איבר הוא הקודם כפול qq. כש-q=r cis αq = r\,\text{cis}\,\alpha, כל צעד הוא סיבוב ב-α\alpha ומתיחה פי rr. האיברים יוצרים ספירלה, ממש כמו החזקות של zz.

zn=z1qn−1z_n = z_1 q^{n-1}

Le terme général (איבר הכללי)

Sn=z1(qn−1)q−1S_n = \frac{z_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים ראשונים, כש-q≠1q \ne 1

∣zn∣=∣z1∣⋅∣q∣n−1|z_n| = |z_1| \cdot |q|^{n-1}

הערכים המוחלטים: סדרה הנדסית ממשית

כש-qn=1q^n = 1, הסכום מתאפס

הסדרה 1,i,−1,−i,…1, i, -1, -i, \ldots (q=iq = i). מה הסכום של שמונה האיברים הראשונים?

S8=1⋅(i8−1)i−1S_8 = \frac{1 \cdot (i^8 - 1)}{i - 1}
i8=1⇒S8=0\begin{aligned}i^8 &= 1 \Rightarrow S_8 \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

Exercices

Exercice 1

ראשית הצירים נמצאת על המעגל ∣z−(3+4i)∣=5|z - (3 + 4i)| = 5.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∣0−(3+4i)∣=∣3+4i∣=5\begin{aligned}|0 - (3 + 4i)| &= |3 + 4i| \\ &= 5\end{aligned}

מציבים z=0z = 0

המרחק של 00 מהמרכז 3+4i3 + 4i שווה בדיוק לרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו המרכז של המעגל ∣z+2−i∣=3|z + 2 - i| = 3?

  1. (−2,1)(-2, 1)
  2. (2,1)(2, 1)
  3. (−2,−1)(-2, -1)
  4. (2,−1)(2, -1)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (−2,1)(-2, 1)

Corrigé :

∣z−(−2+i)∣=3|z - (-2 + i)| = 3

כותבים בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|

z+2−i=z−(−2+i)z + 2 - i = z - (-2 + i): המרכז הוא −2+i-2 + i.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הרדיוס של המעגל ∣2z−6i∣=8|2z - 6i| = 8?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

∣2(z−3i)∣=2∣z−3i∣=8\begin{aligned}|2(z - 3i)| &= 2|z - 3i| \\ &= 8\end{aligned}

מוציאים את 22 מהערך המוחלט

∣z−3i∣=4|z - 3i| = 4

קודם מחלקים ב-22: המקדם של zz חייב להיות 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

המקום הגאומטרי ∣z−2∣=∣z−4i∣|z - 2| = |z - 4i| הוא ישר. באיזו נקודה (0,y)(0, y) הוא חותך את הציר המדומה? מצאו את yy.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

(x−2)2+y2=x2+(y−4)2(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 4)^2

מציבים z=x+yiz = x + yi

−4x+4=−8y+16⇒x−2y=−3\begin{aligned}-4x + 4 &= -8y + 16 \Rightarrow x - 2y \\ &= -3\end{aligned}
x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

בודקים: (0,1.5)(0, 1.5) רחוקה 2.52.5 גם מ-(2,0)(2, 0) וגם מ-(0,4)(0, 4).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מסובבים את z=4+2iz = 4 + 2i ב-90∘90^\circ נגד כיוון השעון סביב הראשית. מהו החלק הממשי של התמונה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

iz=i(4+2i)=4i−2\begin{aligned}iz &= i(4 + 2i) \\ &= 4i - 2\end{aligned}

סיבוב ב-90∘90^\circ הוא כפל ב-ii

סיבוב ב-90∘90^\circ שולח (a,b)(a, b) ל-(−b,a)(-b, a).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במה צריך לכפול את zz כדי לסובב אותו ב-60∘60^\circ סביב הראשית, בלי לשנות את המרחק שלו ממנה?

  1. 60i60i
  2. 6060
  3. 2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ
  4. cis 60∘\text{cis}\,60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D cis 60∘\text{cis}\,60^\circ

Corrigé :

z⋅cis 60∘=r cis(θ+60∘)z \cdot \text{cis}\,60^\circ = r\,\text{cis}(\theta + 60^\circ)

2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ מסובב, אבל גם מכפיל את המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודות 3+i3 + i, −1+3i-1 + 3i, −3−i-3 - i, 1−3i1 - 3i הן קדקודים של ריבוע. מהו השטח שלו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

a=∣(3+i)−(−1+3i)∣=∣4−2i∣=20\begin{aligned}a &= |(3 + i) - (-1 + 3i)| \\ &= |4 - 2i| \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלע

S=a2=20\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 20\end{aligned}

או דרך האלכסונים: כל אחד באורך 2∣3+i∣=2102|3 + i| = 2\sqrt{10}, ו-d22=20\frac{d^2}{2} = 20.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בסדרה הנדסית z1=2z_1 = 2 ו-q=iq = i. מהו z5z_5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

z5=2⋅i4=2\begin{aligned}z_5 &= 2 \cdot i^4 \\ &= 2\end{aligned}

ארבעה סיבובים של 90∘90^\circ הם סיבוב שלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בסדרה הנדסית z1=1+iz_1 = 1 + i ו-q=1+iq = 1 + i. מהו החלק הממשי של z3z_3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

z3=z1q2=(1+i)3\begin{aligned}z_3 &= z_1 q^2 \\ &= (1 + i)^3\end{aligned}
(1+i)2=2i⇒(1+i)3=2i(1+i)=−2+2i\begin{aligned}(1 + i)^2 &= 2i \Rightarrow (1 + i)^3 \\ &= 2i(1 + i) \\ &= -2 + 2i\end{aligned}

z3=z1q2z_3 = z_1 q^{2}, לא z1q3z_1 q^3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בסדרה הנדסית z1=1z_1 = 1 ו-q=cis 45∘q = \text{cis}\,45^\circ. מהו סכום שמונת האיברים הראשונים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

q8=cis 360∘=1\begin{aligned}q^8 &= \text{cis}\,360^\circ \\ &= 1\end{aligned}
S8=q8−1q−1=0\begin{aligned}S_8 &= \frac{q^8 - 1}{q - 1} \\ &= 0\end{aligned}

שמונת האיברים הם קדקודים של מתומן משוכלל: הם הפתרונות של z8=1z^8 = 1, והסכום שלהם 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הנקודות שמקיימות ∣z∣=2|z| = 2 וגם Re(z)=1\mathrm{Re}(z) = 1 הן שתי נקודות. מהו הארגומנט הקטן מבין השניים (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

1+y2=4⇒y=±3\begin{aligned}1 + y^2 &= 4 \Rightarrow y \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
1−i3=2 cis 300∘1 - i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,300^\circ

החיתוך של המעגל ∣z∣=2|z| = 2 עם הישר x=1x = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הנקודות zz, iziz, −z-z ו-−iz-iz (כאשר z≠0z \ne 0) הן קדקודים של:

  1. מעוין שאינו ריבוע
  2. מלבן שאינו ריבוע
  3. ריבוע
  4. דלתון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C ריבוע

Corrigé :

∣z∣=∣iz∣=∣−z∣=∣−iz∣\begin{aligned}|z| &= |iz| \\ &= |-z| \\ &= |-iz|\end{aligned}

כולן על מעגל אחד

90∘90^\circ

וביניהן סיבובים של 90∘90^\circ

ארבעה קדקודים במרווחים של 90∘90^\circ על מעגל: מצולע משוכלל עם ארבע צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe