Racines n-ièmes et polygones réguliers · Les nombres complexes · Kita יב

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

למשוואה $z^3 = 8$ יש פתרון ממשי אחד: $z = 2$ . אבל במספרים המרוכבים יש לה שלושה פתרונות. איפה מסתתרים השניים האחרים?

נחפש $z = \rho\,\text{cis}\,\alpha$ . לפי דה-מואבר $z^3 = \rho^3\,\text{cis}\,3\alpha$ , וזה צריך להיות שווה ל- $8 = 8\,\text{cis}\,0^\circ$ . האורך: $\rho^3 = 8$ , ולכן $\rho = 2$ . והזווית: $3\alpha$ צריכה להיות $0^\circ$ , או $360^\circ$ , או $720^\circ$ — כל זווית שהיא סיבוב שלם.

\begin{aligned}z^n &= R\,\text{cis}\,\varphi \quad \Longrightarrow \quad z_k \\ &= \sqrt[n]{R}\,\text{cis}\,\frac{\varphi + 360^\circ k}{n} \\ \quad k &= 0 \\ 1 \\ \ldots \\ n - 1\end{aligned}

למשוואה יש בדיוק $n$ פתרונות.

Activité interactive

פותרים $z^4 = -16$

z^4 = -16

לחצו «להתחיל». שלושה צעדים: הצגה קוטבית של אגף ימין, הנוסחה, ורשימת הפתרונות.

אגף ימין

-16 = 16\,\text{cis}\,180^\circ

$-16$ יושב על החלק השלילי של הציר הממשי.

האורך

\begin{aligned}\rho &= \sqrt[4]{16} \\ &= 2\end{aligned}

כל הפתרונות במרחק $2$ מהראשית.

הזוויות

\begin{aligned}\alpha_k &= \frac{180^\circ + 360^\circ k}{4} \\ &= 45^\circ + 90^\circ k\end{aligned}

מוסיפים $360^\circ k$ לפני שמחלקים.

הפתרונות

2\,\text{cis}\,45^\circ, \ 2\,\text{cis}\,135^\circ, \ 2\,\text{cis}\,225^\circ, \ 2\,\text{cis}\,315^\circ

$k = 0, 1, 2, 3$ .

אלגברית

\pm\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}

$2\cos 45^\circ = \sqrt{2}$ : ארבעת הקדקודים של ריבוע.

הדרך זהה לכל משוואה $z^n = w$ : כותבים את $w$ בהצגה קוטבית, מוציאים שורש מהאורך, ומחלקים את הזווית אחרי שמוסיפים $360^\circ k$ .

Faire l'activité sur elev

התכונות של הפתרונות

|z_k| = \sqrt[n]{R}

כולם על מעגל אחד, שמרכזו בראשית

\alpha_{k+1} - \alpha_k = \frac{360^\circ}{n}

במרווחים שווים: מצולע משוכלל

z_0 + z_1 + \ldots + z_{n-1} = 0

הסכום שלהם הוא אפס (כש- $n \ge 2$ )

השטח של המצולע. המצולע מתחלק ל- $n$ משולשים שווים, שלכל אחד שתי צלעות $\rho$ וזווית $\frac{360^\circ}{n}$ ביניהן: $S = n \cdot \frac{1}{2}\rho^2 \sin\frac{360^\circ}{n}$ . למשושה של $z^6 = 64$ : $S = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}$ .

מה הסכום של כל הפתרונות של $z^5 = 32$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$0$ . החצים מתפזרים באופן שווה סביב הראשית ומבטלים זה את זה. אין צורך לחשב אף פתרון.

הפתרונות שנעלמים.

\begin{aligned}z^3 &= 8i \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,30^\circ\end{aligned}

z_k = 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)

מי שמחלק את הזווית בלי להוסיף $360^\circ k$ מוצא פתרון אחד במקום $n$ .

Exercices

Exercice 1

כמה פתרונות יש למשוואה $z^6 = 5i$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}z^n &= w \\ \ w \ne 0 \Rightarrow n\end{aligned}

למשוואה $z^n = w$ יש תמיד $n$ פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הערך המוחלט של הפתרונות של $z^4 = 81$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}\rho &= \sqrt[4]{81} \\ &= 3\end{aligned}

לכל הפתרונות אותו ערך מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהם הארגומנטים של הפתרונות של $z^3 = 8i$ ?

$30^\circ, 150^\circ, 270^\circ$
$0^\circ, 120^\circ, 240^\circ$
$90^\circ, 210^\circ, 330^\circ$
$30^\circ$ בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $30^\circ, 150^\circ, 270^\circ$

Corrigé :

8i = 8\,\text{cis}\,90^\circ

\begin{aligned}\alpha_k &= \frac{90^\circ + 360^\circ k}{3} \\ &= 30^\circ + 120^\circ k\end{aligned}

$90^\circ$ היא הזווית של $8i$ , לא של הפתרונות: מחלקים אותה ב- $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

אחד הפתרונות של $z^3 = 8i$ נמצא על הציר המדומה. מהו החלק המדומה שלו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

\begin{aligned}z_2 &= 2\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -2i\end{aligned}

$k = 2$

\begin{aligned}(-2i)^3 &= -8i^3 \\ &= 8i \ \checkmark\end{aligned}

זה הפתרון $-2i$ , לא $2i$ : בדקו, $(2i)^3 = -8i$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהי הזווית בין שני פתרונות סמוכים של $z^9 = 3 - 4i$ (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ

הזווית בין פתרונות סמוכים תלויה רק ב- $n$ , לא ב- $w$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הארגומנט הקטן ביותר (במעלות, בין $0^\circ$ ל- $360^\circ$ ) של פתרון של $z^5 = -32$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

-32 = 32\,\text{cis}\,180^\circ

\alpha_k = 36^\circ + 72^\circ k

k = 0 \Rightarrow 36^\circ

הפתרון הממשי, $-2$ , הוא $2\,\text{cis}\,180^\circ$ : הוא $k = 2$ , לא הראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו החלק הממשי של הפתרון הממשי של $z^3 = -27$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

(-3)^3 = -27

\begin{aligned}z_1 &= 3\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -3\end{aligned}

$\alpha_k = 60^\circ + 120^\circ k$

לשני הפתרונות האחרים יש חלק מדומה שונה מאפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כמה מהפתרונות של $z^4 = -16$ נמצאים מימין לציר המדומה (חלק ממשי חיובי)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

\begin{aligned}\alpha_k &= 45^\circ \\ 135^\circ \\ 225^\circ \\ 315^\circ\end{aligned}

45^\circ , 315^\circ

חלק ממשי חיובי

ציירו את הריבוע: שני קדקודים מימין, ושניים משמאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הפתרונות של $z^4 = 16$ הם קדקודים של ריבוע. מהו השטח שלו?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\rho = 2

\begin{aligned}S &= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 90^\circ \\ &= 8\end{aligned}

ארבעה משולשים ישרי זווית

הקדקודים הם $2, 2i, -2, -2i$ : האלכסונים באורך $4$ , ו- $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הפתרונות של $z^6 = 64$ הם קדקודים של משושה משוכלל. מהו השטח שלו? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10.39

Corrigé :

\rho = 2

\begin{aligned}S &= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

\approx 10.39

המשושה מתחלק לשישה משולשים שווי צלעות שצלעם $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מהו החלק הממשי של סכום כל הפתרונות של $z^7 = 1 + i$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

z_0 + z_1 + \ldots + z_6 = 0

הסכום של כל הפתרונות של $z^n = w$ הוא $0$ לכל $n \ge 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הפתרונות של $z^n = w$ (כאשר $w \ne 0$ ו- $n \ge 3$ ) הם תמיד קדקודים של מצולע משוכלל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}|z_k| &= \sqrt[n]{|w|} \\ \quad \Delta\alpha &= \frac{360^\circ}{n}\end{aligned}

כולם על מעגל אחד ובמרווחים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

התכונות של הפתרונות

Exercices

La suite se pratique sur elev