La formule de Moivre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק הקודם ראינו שבכפל מחברים את הזוויות. מה קורה כשכופלים מספר בעצמו שוב ושוב? כל כפל מוסיף את אותה זווית θ\theta, ומכפיל שוב באותו אורך rr.

(r cis θ)n=rn cis(nθ)(r\,\text{cis}\,\theta)^n = r^n\,\text{cis}(n\theta)

משפט דה-מואבר: מעלים את האורך בחזקה, וכופלים את הזווית ב-nn.

חזקה גבוהה בלי לפתוח סוגריים

מחשבים את (1+i)8(1 + i)^8.

1+i=2 cis 45∘1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ

קודם עוברים להצגה קוטבית

(1+i)8=(2)8 cis(8⋅45∘)(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\,\text{cis}(8 \cdot 45^\circ)

דה-מואבר

=16 cis 360∘=16= 16\,\text{cis}\,360^\circ = 16

(2)8=24=16(\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16, ו-cis 360∘=1\text{cis}\,360^\circ = 1

זווית גדולה מ-360∘360^\circ? מורידים סיבובים שלמים. cis 1800∘=cis(1800∘−5⋅360∘)=cis 0∘=1\text{cis}\,1800^\circ = \text{cis}(1800^\circ - 5 \cdot 360^\circ) = \text{cis}\,0^\circ = 1. סיבוב שלם מחזיר את החץ למקומו.

כמה זה (cis 30∘)12(\text{cis}\,30^\circ)^{12}?

Voir la réponse et le corrigé

cis(12⋅30∘)=cis 360∘=1\text{cis}(12 \cdot 30^\circ) = \text{cis}\,360^\circ = 1. שתים-עשרה פעמים 30∘30^\circ הן סיבוב שלם.

מתי החזקה ממשית, ומתי מדומה טהורה?

nθ=0∘180∘360∘…\begin{aligned}n\theta &= 0^\circ \\ 180^\circ \\ 360^\circ \\ \ldots\end{aligned}

znz^n ממשי: החץ על הציר הממשי

nθ=90∘270∘450∘…\begin{aligned}n\theta &= 90^\circ \\ 270^\circ \\ 450^\circ \\ \ldots\end{aligned}

znz^n מדומה טהור: החץ על הציר המדומה

החזקה הקטנה ביותר שנותנת מספר ממשי

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (1+i)n(1 + i)^n ממשי?

(1+i)n=(2)n cis(45∘n)(1 + i)^n = (\sqrt{2})^n\,\text{cis}(45^\circ n)
45∘n=180∘k45^\circ n = 180^\circ k

הזווית צריכה להיות כפולה של 180∘180^\circ

n=4⇒(1+i)4=4 cis 180∘=−4\begin{aligned}n &= 4 \Rightarrow (1 + i)^4 \\ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

הכפולה הראשונה

גם חזקות שליליות

z−n=1zn=r−n cis(−nθ)\begin{aligned}z^{-n} &= \frac{1}{z^n} \\ &= r^{-n}\,\text{cis}(-n\theta)\end{aligned}

המשפט נכון גם למעריך שלילי.

הטעות הכי נפוצה.

(1+i)8=18+i8=2\begin{aligned}(1 + i)^8 &= 1^8 + i^8 \\ &= 2\end{aligned}
(1+i)8=16(1 + i)^8 = 16

חזקה לא מתפזרת על סכום. עוברים קודם להצגה קוטבית, ורק אז מעלים בחזקה.

Exercices

Exercice 1

חשבו את (1+i)8(1 + i)^8.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

(2 cis 45∘)8=16 cis 360∘(\sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ)^8 = 16\,\text{cis}\,360^\circ
=16= 16

(2)8=24(\sqrt{2})^8 = 2^4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את (1+i3)6(1 + i\sqrt{3})^6.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
26 cis 360∘=642^6\,\text{cis}\,360^\circ = 64

הזווית 6⋅60∘6 \cdot 60^\circ היא סיבוב שלם: התוצאה ממשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את (3+i)3(\sqrt{3} + i)^3. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

3+i=2 cis 30∘\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ
23 cis 90∘=8i2^3\,\text{cis}\,90^\circ = 8i

התוצאה מדומה טהורה: 3⋅30∘=90∘3 \cdot 30^\circ = 90^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את (cis 20∘)9(\text{cis}\,20^\circ)^9.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

cis(9⋅20∘)=cis 180∘=−1\begin{aligned}\text{cis}(9 \cdot 20^\circ) &= \text{cis}\,180^\circ \\ &= -1\end{aligned}

האורך הוא 11, ולכן גם כל החזקות על מעגל היחידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את (1−i)10(1 - i)^{10}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -32

Corrigé :

1−i=2 cis 315∘1 - i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,315^\circ

רביע רביעי

(2)10 cis 3150∘=32 cis 3150∘(\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,3150^\circ = 32\,\text{cis}\,3150^\circ
3150∘−8⋅360∘=270∘3150^\circ - 8 \cdot 360^\circ = 270^\circ

מורידים סיבובים שלמים

32 cis 270∘=−32i32\,\text{cis}\,270^\circ = -32i

הזווית של 1−i1 - i היא 315∘315^\circ (או −45∘-45^\circ), לא 45∘45^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (1+i)n(1 + i)^n הוא מספר ממשי חיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

45∘n=360∘k45^\circ n = 360^\circ k

ממשי חיובי: כפולה של 360∘360^\circ

n=8n = 8

n=4n = 4 נותן −4-4: ממשי, אבל שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (3+i)n(\sqrt{3} + i)^n הוא מדומה טהור?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

3+i=2 cis 30∘\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ
30∘n=90∘+180∘k30^\circ n = 90^\circ + 180^\circ k
n=3n = 3

מדומה טהור: הזווית היא 90∘90^\circ או 270∘270^\circ, ועוד סיבובים שלמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את (2 cis 15∘)4(2\,\text{cis}\,15^\circ)^4. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

24 cis 60∘=16 cis 60∘2^4\,\text{cis}\,60^\circ = 16\,\text{cis}\,60^\circ
16cos⁡60∘=816\cos 60^\circ = 8

האורך עולה בחזקה: 24=162^4 = 16, לא 2⋅42 \cdot 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את ∣(1+2i)6∣|(1 + 2i)^6|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 125

Corrigé :

∣1+2i∣=5|1 + 2i| = \sqrt{5}
∣(1+2i)6∣=(5)6=125\begin{aligned}|(1 + 2i)^6| &= (\sqrt{5})^6 \\ &= 125\end{aligned}

לערך המוחלט לא צריך את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

חשבו את (−1+i)4(-1 + i)^4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

−1+i=2 cis 135∘-1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,135^\circ
4 cis 540∘=4 cis 180∘=−4\begin{aligned}4\,\text{cis}\,540^\circ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

540∘540^\circ הם סיבוב שלם ועוד 180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון z=cis 100∘z = \text{cis}\,100^\circ. מהו הארגומנט של z5z^5 (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 140

Corrigé :

5⋅100∘=500∘5 \cdot 100^\circ = 500^\circ
500∘−360∘=140∘500^\circ - 360^\circ = 140^\circ

מורידים סיבובים שלמים עד שהזווית בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

לכל aa ו-bb ממשיים: (a+bi)2=a2+b2i2(a + bi)^2 = a^2 + b^2 i^2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(a+bi)2=a2+2abi−b2(a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2

חסר האיבר האמצעי

חזקה לא מתפזרת על סכום, גם לא במספרים מרוכבים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe