La forme trigonométrique

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו תיארנו נקודה בעזרת שני מרחקים: כמה ימינה (aa) וכמה למעלה (bb). אפשר לתאר אותה גם אחרת: כמה רחוק היא מהראשית, ובאיזה כיוון. זה כמו להסביר דרך: «לך 2 קילומטרים, בכיוון צפון-מזרח».

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r cis θ\begin{aligned}z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r\,\text{cis}\,\theta\end{aligned}

ההצגה הקוטבית של zz. הסימון cis\text{cis} הוא קיצור של cos⁡+isin⁡\cos + i\sin.

a=rcos⁡θa = r\cos\theta

מקוטבית לאלגברית

b=rsin⁡θb = r\sin\theta
r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}

מאלגברית לקוטבית

tan⁡θ=ba\tan\theta = \frac{b}{a}

ובודקים את הרביע!

מאלגברית לקוטבית

נכתוב את z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} בהצגה קוטבית.

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הערך המוחלט

tan⁡θ=31=3\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{\sqrt{3}}{1} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

הנקודה ברביע הראשון

θ=60∘⇒z=2 cis 60∘\begin{aligned}\theta &= 60^\circ \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,60^\circ\end{aligned}

הזהירות של הרביע

תמיד מציירים קודם את הנקודה. הרביע קובע את הזווית: ברביע השני θ=180∘−α\theta = 180^\circ - \alpha, ברביע השלישי θ=180∘+α\theta = 180^\circ + \alpha, וברביע הרביעי θ=360∘−α\theta = 360^\circ - \alpha, כאשר α\alpha היא הזווית החדה שהמחשבון נותן.

1=cis 0∘1 = \text{cis}\,0^\circ
i=cis 90∘i = \text{cis}\,90^\circ
−1=cis 180∘-1 = \text{cis}\,180^\circ
−i=cis 270∘-i = \text{cis}\,270^\circ

כפל וחילוק: כאן ההצגה הקוטבית מנצחת

r1 cis θ1⋅r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1+θ2)r_1\,\text{cis}\,\theta_1 \cdot r_2\,\text{cis}\,\theta_2 = r_1 r_2\,\text{cis}(\theta_1 + \theta_2)

בכפל כופלים את הערכים המוחלטים ומחברים את הזוויות.

r1 cis θ1r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1−θ2)\frac{r_1\,\text{cis}\,\theta_1}{r_2\,\text{cis}\,\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\theta_1 - \theta_2)

בחילוק מחלקים ומחסרים.

כמה זה (2 cis 40∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,40^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ)?

Voir la réponse et le corrigé

6 cis 90∘=6i6\,\text{cis}\,90^\circ = 6i. כופלים 2⋅32 \cdot 3 ומחברים 40∘+50∘40^\circ + 50^\circ.

הצמוד וההופכי

zˉ=r cis(−θ)=r cis(360∘−θ)\begin{aligned}\bar{z} &= r\,\text{cis}(-\theta) \\ &= r\,\text{cis}(360^\circ - \theta)\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי הופך את הזווית

1z=1r cis(−θ)\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)

ההופכי: הופכים את האורך וגם את הזווית

כפל בהצגה קוטבית.

2 cis 30∘⋅3 cis 60∘=6 cis 1800∘2\,\text{cis}\,30^\circ \cdot 3\,\text{cis}\,60^\circ = 6\,\text{cis}\,1800^\circ
=6 cis 90∘= 6\,\text{cis}\,90^\circ

את הזוויות מחברים, לא כופלים.

Exercices

Exercice 1

מהו הארגומנט θ\theta (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ) של z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3}

רביע ראשון

θ=60∘\theta = 60^\circ

רביע ראשון: הזווית של המחשבון היא התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−2+2iz = -2 + 2i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 135

Corrigé :

tan⁡θ=−1\tan\theta = -1
θ=180∘−45∘=135∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ &= 135^\circ\end{aligned}

רביע שני

−45∘-45^\circ היא התשובה של המחשבון, אבל היא ברביע הרביעי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−3iz = -3i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 270

Corrigé :

−3i=3 cis 270∘-3i = 3\,\text{cis}\,270^\circ

הנקודה על החלק השלילי של הציר המדומה

אין צורך בטנגנס: הנקודה (0,−3)(0, -3) יושבת על ציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 240

Corrigé :

tan⁡θ=−3−1=3⇒α=60∘\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{-\sqrt{3}}{-1} \\ &= \sqrt{3} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}
θ=180∘+60∘=240∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ + 60^\circ \\ &= 240^\circ\end{aligned}

רביע שלישי

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3} גם ב-60∘60^\circ, אבל שני החלקים שליליים: הנקודה ברביע השלישי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו הערך המוחלט של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הסימנים לא משפיעים על הערך המוחלט: מעלים בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון z=4 cis 150∘z = 4\,\text{cis}\,150^\circ. מהו החלק הממשי של zz? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3.46

Corrigé :

a=4cos⁡150∘=4⋅(−32)=−23\begin{aligned}a &= 4\cos 150^\circ \\ &= 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -2\sqrt{3}\end{aligned}
≈−3.46\approx -3.46

150∘150^\circ ברביע השני: החלק הממשי שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: (2 cis 70∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,70^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ).

  1. 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ
  2. 6 cis 20∘6\,\text{cis}\,20^\circ
  3. 5 cis 120∘5\,\text{cis}\,120^\circ
  4. 6 cis 3500∘6\,\text{cis}\,3500^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ

Corrigé :

2⋅3=670∘+50∘=120∘\begin{aligned}2 \cdot 3 &= 6 \\ \quad 70^\circ + 50^\circ &= 120^\circ\end{aligned}

כופלים אורכים, מחברים זוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו 8 cis 200∘2 cis 50∘\frac{8\,\text{cis}\,200^\circ}{2\,\text{cis}\,50^\circ}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

=4 cis 150∘= 4\,\text{cis}\,150^\circ

מחלקים ומחסרים

4sin⁡150∘=4⋅12=2\begin{aligned}4\sin 150^\circ &= 4 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

בחילוק מחסרים את הזוויות: 200∘−50∘200^\circ - 50^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון z=2 cis 40∘z = 2\,\text{cis}\,40^\circ. מהו zˉ\bar{z}?

  1. 12 cis 40∘\frac{1}{2}\,\text{cis}\,40^\circ
  2. 2 cis 140∘2\,\text{cis}\,140^\circ
  3. −2 cis 40∘-2\,\text{cis}\,40^\circ
  4. 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ

Corrigé :

zˉ=2 cis(−40∘)=2 cis 320∘\begin{aligned}\bar{z} &= 2\,\text{cis}(-40^\circ) \\ &= 2\,\text{cis}\,320^\circ\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי שומר על האורך והופך את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון z=4 cis 60∘z = 4\,\text{cis}\,60^\circ. מהו 1z\frac{1}{z}?

  1. 14 cis 60∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,60^\circ
  2. 4 cis 300∘4\,\text{cis}\,300^\circ
  3. 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ
  4. −4 cis 60∘-4\,\text{cis}\,60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

Corrigé :

1 cis 0∘4 cis 60∘=14 cis(−60∘)\frac{1\,\text{cis}\,0^\circ}{4\,\text{cis}\,60^\circ} = \frac{1}{4}\,\text{cis}(-60^\circ)
=14 cis 300∘= \frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

ההופכי הופך גם את האורך וגם את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון z=3 cis 100∘z = 3\,\text{cis}\,100^\circ. באיזה רביע נמצא iziz?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. השני
  4. הראשון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A השלישי

Corrigé :

iz=3 cis 190∘iz = 3\,\text{cis}\,190^\circ

כפל ב-ii מוסיף 90∘90^\circ

180∘<190∘<270∘180^\circ < 190^\circ < 270^\circ

רביע שלישי

אין צורך לעבור להצגה אלגברית: מספיק לחבר את הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהו הארגומנט (במעלות) של (1+i)(1+i3)(1 + i)(1 + i\sqrt{3})?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 105

Corrigé :

1+i=2 cis 45∘1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
45∘+60∘=105∘45^\circ + 60^\circ = 105^\circ

בלי לפתוח סוגריים: הארגומנט של מכפלה הוא סכום הארגומנטים.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe