Racines carrées et équations

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במספרים הממשיים, למשוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית אין פתרון. במספרים המרוכבים יש לה תמיד פתרונות: מוציאים שורש מהמספר השלילי בעזרת ii, וממשיכים עם הנוסחה הרגילה.

משוואה ריבועית עם דיסקרימיננטה שלילית

פותרים z2+2z+5=0z^2 + 2z + 5 = 0.

Δ=22−4⋅1⋅5=−16\begin{aligned}\Delta &= 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 \\ &= -16\end{aligned}

הדיסקרימיננטה שלילית

−16=4i\sqrt{-16} = 4i

השורש של מספר שלילי

z1,2=−2±4i2=−1±2i\begin{aligned}z_{1,2} &= \frac{-2 \pm 4i}{2} \\ &= -1 \pm 2i\end{aligned}

נוסחת השורשים, כרגיל

כשכל המקדמים ממשיים, הפתרונות המרוכבים באים בזוגות של צמודים. אם 3+i3 + i פותר את המשוואה, גם 3−i3 - i פותר אותה. נוסחאות וייטה עדיין נכונות: הסכום הוא −ba-\frac{b}{a} והמכפלה היא ca\frac{c}{a}.

בנו משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים שאחד הפתרונות שלה הוא 3+i3 + i.

Voir la réponse et le corrigé

הפתרון השני הוא 3−i3 - i. הסכום הוא 66 והמכפלה (3+i)(3−i)=10(3 + i)(3 - i) = 10, ולכן z2−6z+10=0z^2 - 6z + 10 = 0.

שורש ריבועי של מספר מרוכב

מחפשים מספר z=x+yiz = x + yi שהריבוע שלו שווה למספר נתון. פותחים את (x+yi)2(x + yi)^2, משווים חלק ממשי לחלק ממשי וחלק מדומה לחלק מדומה, ומקבלים שתי משוואות ממשיות.

משוואות עם zz ועם zˉ\bar{z}

כשבמשוואה מופיעים גם zz וגם zˉ\bar{z} (או ∣z∣|z|), הנוסחה לא עוזרת. מציבים z=x+yiz = x + yi, מכנסים את שני החלקים, ומשווים.

משוואה עם צמוד

פותרים 2z+zˉ=6−2i2z + \bar{z} = 6 - 2i.

2(x+yi)+(x−yi)=6−2i2(x + yi) + (x - yi) = 6 - 2i

מציבים z=x+yiz = x + yi ו-zˉ=x−yi\bar{z} = x - yi

3x+yi=6−2i3x + yi = 6 - 2i

מכנסים

3x=6y=−2\begin{aligned}3x &= 6 \\ \quad y &= -2\end{aligned}

משווים חלקים

z=2−2iz = 2 - 2i

גם מקדמים מרוכבים

משוואה ריבועית עם מקדמים מרוכבים

פותרים z2−(2+2i)z+4i=0z^2 - (2 + 2i)z + 4i = 0.

Δ=(2+2i)2−16i=8i−16i=−8i\begin{aligned}\Delta &= (2 + 2i)^2 - 16i \\ &= 8i - 16i \\ &= -8i\end{aligned}

הדיסקרימיננטה היא מספר מרוכב

−8i=±(2−2i)\sqrt{-8i} = \pm(2 - 2i)

שורש ריבועי של מספר מרוכב, כמו למעלה: (2−2i)2=−8i(2 - 2i)^2 = -8i

z=(2+2i)±(2−2i)2z = \frac{(2 + 2i) \pm (2 - 2i)}{2}

נוסחת השורשים

z1=2z2=2i\begin{aligned}z_1 &= 2 \\ \quad z_2 &= 2i\end{aligned}

כאן הפתרונות לא צמודים: המקדמים לא ממשיים

הזוג הצמוד לא תמיד מגיע.

z1=2⇒z2=zˉ1=2\begin{aligned}z_1 &= 2 \Rightarrow z_2 \\ &= \bar{z}_1 \\ &= 2\end{aligned}
z1=2 z2=2i\begin{aligned}z_1 &= 2 \\ \ z_2 &= 2i\end{aligned}

הכלל «הפתרונות צמודים» נכון רק כשכל המקדמים ממשיים.

Exercices

Exercice 1

מהם הפתרונות של z2+9=0z^2 + 9 = 0?

  1. z=±3z = \pm 3
  2. z=3iz = 3i בלבד
  3. z=±3iz = \pm 3i
  4. אין פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C z=±3iz = \pm 3i

Corrigé :

z2=−9z^2 = -9
z=±−9=±3i\begin{aligned}z &= \pm\sqrt{-9} \\ &= \pm 3i\end{aligned}

כמו כל משוואה ריבועית, יש שני פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

פתרו את z2−4z+13=0z^2 - 4z + 13 = 0. מהו החלק המדומה של הפתרון שהחלק המדומה שלו חיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

Δ=16−52=−36\begin{aligned}\Delta &= 16 - 52 \\ &= -36\end{aligned}
z=4±6i2=2±3i\begin{aligned}z &= \frac{4 \pm 6i}{2} \\ &= 2 \pm 3i\end{aligned}

זכרו לחלק ב-2a2a את שני החלקים: 42\frac{4}{2} וגם 6i2\frac{6i}{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי מכפלת הפתרונות של z2+2z+5=0z^2 + 2z + 5 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

z1z2=ca=5\begin{aligned}z_1 z_2 &= \frac{c}{a} \\ &= 5\end{aligned}

וייטה

(−1+2i)(−1−2i)=1+4=5\begin{aligned}(-1 + 2i)(-1 - 2i) &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה

נוסחאות וייטה עובדות גם כשהפתרונות מרוכבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

למשוואה z2+bz+10=0z^2 + bz + 10 = 0 (עם bb ממשי) יש פתרון 3+i3 + i. מצאו את bb.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -6

Corrigé :

z2=3−iz_2 = 3 - i

מקדמים ממשיים: הפתרון השני הוא הצמוד

z1+z2=6=−b\begin{aligned}z_1 + z_2 &= 6 \\ &= -b\end{aligned}

וייטה

b=−6b = -6

הסכום הוא −ba-\frac{b}{a}: אל תשכחו את המינוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהם השורשים הריבועיים של 8−6i8 - 6i?

  1. ±(3+i)\pm(3 + i)
  2. ±(1−3i)\pm(1 - 3i)
  3. ±(22−i6)\pm(2\sqrt{2} - i\sqrt{6})
  4. ±(3−i)\pm(3 - i)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D ±(3−i)\pm(3 - i)

Corrigé :

x2−y2=82xy=−6\begin{aligned}x^2 - y^2 &= 8 \\ \quad 2xy &= -6\end{aligned}

משווים חלקים

x2+y2=∣8−6i∣=10\begin{aligned}x^2 + y^2 &= |8 - 6i| \\ &= 10\end{aligned}
x2=9⇒x=±3 y=∓1\begin{aligned}x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm 3 \\ \ y &= \mp 1\end{aligned}

xy<0xy < 0: הסימנים הפוכים

(3−i)2=9−6i−1=8−6i ✓\begin{aligned}(3 - i)^2 &= 9 - 6i - 1 \\ &= 8 - 6i \ \checkmark\end{aligned}

2xy=−62xy = -6 שלילי, ולכן ל-xx ול-yy יש סימנים הפוכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו: 3z−zˉ=4+8i3z - \bar{z} = 4 + 8i.

  1. z=2+4iz = 2 + 4i
  2. z=1+4iz = 1 + 4i
  3. z=2−2iz = 2 - 2i
  4. z=2+2iz = 2 + 2i
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D z=2+2iz = 2 + 2i

Corrigé :

3(x+yi)−(x−yi)=2x+4yi3(x + yi) - (x - yi) = 2x + 4yi

מציבים ומכנסים

2x=4 4y=8\begin{aligned}2x &= 4 \\ \ 4y &= 8\end{aligned}

משווים

z=2+2iz = 2 + 2i

−zˉ=−x+yi-\bar{z} = -x + yi: המינוס הופך את הסימן של שני החלקים של zˉ\bar{z}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו: z+∣z∣=2+8iz + |z| = 2 + 8i. מהו החלק הממשי של zz?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -15

Corrigé :

x+x2+y2=2y=8\begin{aligned}x + \sqrt{x^2 + y^2} &= 2 \\ \quad y &= 8\end{aligned}

∣z∣|z| ממשי, ולכן הוא שייך לחלק הממשי

x2+64=2−x\sqrt{x^2 + 64} = 2 - x
x2+64=4−4x+x2⇒x=−15\begin{aligned}x^2 + 64 &= 4 - 4x + x^2 \Rightarrow x \\ &= -15\end{aligned}

מעלים בריבוע

225+64=17=2−(−15) ✓\begin{aligned}\sqrt{225 + 64} &= 17 \\ &= 2 - (-15) \ \checkmark\end{aligned}

בודקים: אגף ימין לא שלילי

∣z∣|z| הוא מספר ממשי. אחרי העלאה בריבוע בודקים תמיד את הפתרון במשוואה המקורית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

פתרו: z⋅zˉ+2z=7+4iz \cdot \bar{z} + 2z = 7 + 4i. מצאו את סכום החלקים הממשיים של כל הפתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

x2+y2+2x+2yi=7+4ix^2 + y^2 + 2x + 2yi = 7 + 4i

zzˉ=x2+y2z\bar{z} = x^2 + y^2

2y=4⇒y=2\begin{aligned}2y &= 4 \Rightarrow y \\ &= 2\end{aligned}

החלק המדומה

x2+4+2x=7⇒x2+2x−3=0\begin{aligned}x^2 + 4 + 2x &= 7 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

החלק הממשי

x=1x=−3\begin{aligned}x &= 1 \quad \\ \quad x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות: 1+2i1 + 2i ו-−3+2i-3 + 2i

1+(−3)=−21 + (-3) = -2

למשוואה יש שני פתרונות. מי שעוצר אחרי הראשון מפסיד חצי מהנקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מהם הפתרונות של z2−(2+2i)z+4i=0z^2 - (2 + 2i)z + 4i = 0?

  1. −2-2 ו-−2i-2i
  2. 22 ו-2i2i
  3. 2+2i2 + 2i ו-00
  4. 1+i1 + i ו-1−i1 - i
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 22 ו-2i2i

Corrigé :

Δ=(2+2i)2−16i=−8i\begin{aligned}\Delta &= (2 + 2i)^2 - 16i \\ &= -8i\end{aligned}
−8i=±(2−2i)\sqrt{-8i} = \pm(2 - 2i)
z=(2+2i)±(2−2i)2=2 2i\begin{aligned}z &= \frac{(2 + 2i) \pm (2 - 2i)}{2} \\ &= 2 \\ \ 2i\end{aligned}

בדיקה מהירה בוייטה: 2+2i2 + 2i הוא הסכום, ו-2⋅2i=4i2 \cdot 2i = 4i היא המכפלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אם z1z_1 פותר משוואה ריבועית שכל המקדמים שלה ממשיים, אז גם zˉ1\bar{z}_1 פותר אותה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

az2+bz+c‾=azˉ2+bzˉ+c\overline{az^2 + bz + c} = a\bar{z}^2 + b\bar{z} + c

הצמוד של מספר ממשי הוא המספר עצמו

לכן הפתרונות הלא ממשיים של משוואה כזו באים תמיד בזוגות של צמודים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פתרו: z2=−5+12iz^2 = -5 + 12i. מהו החלק הממשי של הפתרון שהחלק הממשי שלו חיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x2−y2=−52xy=12\begin{aligned}x^2 - y^2 &= -5 \\ \quad 2xy &= 12\end{aligned}
x2+y2=∣−5+12i∣=13\begin{aligned}x^2 + y^2 &= |-5 + 12i| \\ &= 13\end{aligned}
2x2=8⇒x=±2 y=±3\begin{aligned}2x^2 &= 8 \Rightarrow x \\ &= \pm 2 \\ \ y &= \pm 3\end{aligned}
z=±(2+3i)z = \pm(2 + 3i)

בדיקה: 4+12i−9=−5+12i4 + 12i - 9 = -5 + 12i

המשוואה x2+y2=∣w∣x^2 + y^2 = |w| חוסכת פתרון של משוואה ממעלה רביעית.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe