Le plan de Gauss

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

למספר מרוכב יש שני מספרים ממשיים: החלק הממשי והחלק המדומה. שני מספרים הם בדיוק מה שצריך כדי לסמן נקודה במישור. כך כל מספר מרוכב מקבל מקום, ואפשר לראות את החשבון.

המישור הזה נקרא מישור גאוס. המספרים הממשיים יושבים על הציר האופקי, והמספרים המדומים הטהורים על הציר האנכי.

באיזה רביע נמצא המספר −2+5i-2 + 5i?

Voir la réponse et le corrigé

החלק הממשי שלילי (שמאלה) והחלק המדומה חיובי (למעלה): ברביע השני.

הערך המוחלט: המרחק מראשית הצירים

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2\begin{aligned}|z| &= |a + bi| \\ &= \sqrt{a^2 + b^2}\end{aligned}

הערך המוחלט של zz (נקרא גם המודול) הוא המרחק של הנקודה מראשית הצירים.

∣z∣2=z⋅zˉ|z|^2 = z \cdot \bar{z}

הקשר לצמוד

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|

ערך מוחלט של מכפלה

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}

וגם של מנה

חשבו ערך מוחלט של מכפלה בלי לכפול. ∣(3+4i)(1−i)∣=∣3+4i∣⋅∣1−i∣=52|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5\sqrt{2}. כך חוסכים את פתיחת הסוגריים.

הצמוד הוא שיקוף

החיבור הוא מקבילית

המרחק בין שני מספרים

d=∣z1−z2∣d = |z_1 - z_2|

המרחק בין הנקודות של z1z_1 ושל z2z_2 במישור הוא הערך המוחלט של ההפרש.

מרחק בין שתי נקודות

מה המרחק בין z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ל-z2=2−iz_2 = 2 - i?

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i

מחסרים

∣3+4i∣=9+16=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

זה בדיוק המרחק בין (5,3)(5, 3) ל-(2,−1)(2, -1)

הטעות של הערך המוחלט.

∣3−4i∣=32−42|3 - 4i| = \sqrt{3^2 - 4^2}
∣3−4i∣=32+(−4)2=5\begin{aligned}|3 - 4i| &= \sqrt{3^2 + (-4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את החלק המדומה, בלי ii ועם הסימן: הריבוע תמיד חיובי.

Exercices

Exercice 1

באיזה רביע נמצא המספר z=−3−2iz = -3 - 2i?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. הראשון
  4. השני
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A השלישי

Corrigé :

Re(z)=−3<0 Im(z)=−2<0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= -3 < 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -2 < 0\end{aligned}

שמאלה ולמטה

שני החלקים שליליים: הרביע השלישי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

חשבו את ∣6−8i∣|6 - 8i|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

∣6−8i∣=36+64=100\begin{aligned}|6 - 8i| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100}\end{aligned}
=10= 10

מעלים בריבוע את −8-8, לא את −8i-8i: (−8)2=64(-8)^2 = 64.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את ∣5i∣|5i|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

5i=0+5i5i = 0 + 5i

הנקודה (0,5)(0, 5)

∣5i∣=0+25=5\begin{aligned}|5i| &= \sqrt{0 + 25} \\ &= 5\end{aligned}

מספר מדומה טהור יושב על הציר המדומה, והמרחק שלו מהראשית הוא 55.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מה המרחק בין הנקודות שמייצגות את z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ואת z2=2−iz_2 = 2 - i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i
∣3+4i∣=5|3 + 4i| = 5

המרחק הוא ∣z1−z2∣|z_1 - z_2|: מחסרים, ואז לוקחים ערך מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

חשבו את ∣(3+4i)(1−i)∣|(3 + 4i)(1 - i)|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.07

Corrigé :

∣3+4i∣⋅∣1−i∣=5⋅2|3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5 \cdot \sqrt{2}

ערך מוחלט של מכפלה

52≈7.075\sqrt{2} \approx 7.07

אין צורך לכפול את המספרים: כופלים את הערכים המוחלטים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

חשבו את ∣6+8i1+i3∣\left|\frac{6 + 8i}{1 + i\sqrt{3}}\right|.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

∣6+8i∣=10∣1+i3∣=1+3=2\begin{aligned}|6 + 8i| &= 10 \\ \quad |1 + i\sqrt{3}| &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}
102=5\frac{10}{2} = 5

הערך המוחלט של מנה הוא מנת הערכים המוחלטים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה AA מייצגת את zz. איזו פעולה מעבירה את AA לשיקוף שלה בציר הממשי?

  1. zˉ\bar{z}
  2. −zˉ-\bar{z}
  3. −z-z
  4. iziz
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A zˉ\bar{z}

Corrigé :

a+bi↦a−bia + bi \mapsto a - bi

החלק הממשי נשאר, המדומה מחליף סימן

zˉ\bar{z} משקף בציר הממשי; −zˉ-\bar{z} משקף בציר המדומה; −z-z משקף בראשית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון z1=3+iz_1 = 3 + i ו-z2=1+3iz_2 = 1 + 3i. הנקודות OO, z1z_1, z1+z2z_1 + z_2, z2z_2 הן קדקודים של מקבילית. מהו אורך האלכסון שיוצא מ-OO? עגלו לשתי ספרות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.66

Corrigé :

z1+z2=4+4iz_1 + z_2 = 4 + 4i

האלכסון מ-OO הוא הסכום

∣4+4i∣=32=42≈5.66\begin{aligned}|4 + 4i| &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

האלכסון השני של המקבילית הוא ∣z1−z2∣=∣2−2i∣=22|z_1 - z_2| = |2 - 2i| = 2\sqrt{2}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתון ∣z∣=3|z| = 3. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

z⋅zˉ=∣z∣2z \cdot \bar{z} = |z|^2
=32=9= 3^2 = 9

אין צורך לדעת את zz עצמו: מספיק הערך המוחלט שלו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אם ∣z1∣=∣z2∣|z_1| = |z_2|, אז z1=z2z_1 = z_2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∣3+4i∣=∣5∣=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= |5| \\ &= 5\end{aligned}

דוגמה נגדית: 3+4i≠53 + 4i \ne 5

כל הנקודות שהמרחק שלהן מהראשית הוא 55 נמצאות על מעגל: יש אינסוף מספרים עם אותו ערך מוחלט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתון z=a+6iz = a + 6i, כאשר a>0a > 0, ו-∣z∣=10|z| = 10. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

a2+36=10\sqrt{a^2 + 36} = 10
a2=64⇒a=8\begin{aligned}a^2 &= 64 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a>0a > 0

בלי התנאי a>0a > 0 היו שני פתרונות, 88 ו-−8-8: שתי נקודות סימטריות לציר המדומה.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe