Les quatre opérations

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עם מספרים מרוכבים מחשבים כמו עם ביטויים אלגבריים: ii מתנהג כמו משתנה, וההבדל היחיד הוא שבכל מקום שמופיע i2i^2, מחליפים אותו ב-−1-1.

חיבור וחיסור: כל חלק לחוד

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה.

חיבור וחיסור

נתון z1=3+2iz_1 = 3 + 2i ו-z2=1−5iz_2 = 1 - 5i.

z1+z2=(3+1)+(2−5)i=4−3i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (3 + 1) + (2 - 5)i \\ &= 4 - 3i\end{aligned}

מחברים את החלקים הממשיים, ואז את החלקים המדומים

z1−z2=(3−1)+(2−(−5))i=2+7i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (3 - 1) + (2 - (-5))i \\ &= 2 + 7i\end{aligned}

בחיסור, המינוס עובר על שני החלקים של z2z_2

כפל: פותחים סוגריים, ו-i2=−1i^2 = -1

כפל של שני מספרים מרוכבים

מחשבים את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i).

=8−2i+12i−3i2= 8 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים: כל איבר כפול כל איבר

=8+10i−3⋅(−1)= 8 + 10i - 3 \cdot (-1)

מחליפים את i2i^2 ב-−1-1

=11+10i= 11 + 10i

מכנסים: ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה

כמה זה (1+i)2(1 + i)^2?

Voir la réponse et le corrigé

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. התוצאה היא מספר מדומה טהור.

המספר הצמוד

z=a+bi⟹zˉ=a−bi\begin{aligned}z &= a + bi \quad \Longrightarrow \quad \bar{z} \\ &= a - bi\end{aligned}

הצמוד של zz: אותו חלק ממשי, והחלק המדומה מחליף סימן.

הצמוד חשוב בגלל תכונה אחת: מספר כפול הצמוד שלו הוא תמיד מספר ממשי, ואפילו לא שלילי.

z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= (a + bi)(a - bi) \\ &= a^2 - b^2 i^2 \\ &= a^2 + b^2\end{aligned}
z+zˉ=2az + \bar{z} = 2a

גם הסכום ממשי

z−zˉ=2biz - \bar{z} = 2bi

וההפרש מדומה טהור

z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2

הצמוד של מכפלה הוא מכפלת הצמודים

חילוק: כופלים בצמוד של המכנה

אי אפשר להשאיר ii במכנה. כדי להיפטר ממנו, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה: המכנה הופך למספר ממשי, ואז מחלקים כל חלק לחוד.

ההופכי של ii. 1i=1⋅(−i)i⋅(−i)=−i1=−i\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{1} = -i. כדאי לזכור את זה: הוא מופיע הרבה.

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

(3+2i)2=9+4i2=5\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 4i^2 \\ &= 5\end{aligned}
(3+2i)2=9+12i−4=5+12i\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 12i - 4 \\ &= 5 + 12i\end{aligned}

ריבוע של סכום כולל את האיבר האמצעי 2ab2ab, גם במספרים מרוכבים.

4+6i2+3i=42+6i3i=4\begin{aligned}\frac{4 + 6i}{2 + 3i} &= \frac{4}{2} + \frac{6i}{3i} \\ &= 4\end{aligned}
4+6i2+3i=2\frac{4 + 6i}{2 + 3i} = 2

אי אפשר לחלק חלק בחלק. כאן במקרה 4+6i=2(2+3i)4 + 6i = 2(2 + 3i), ולכן התוצאה היא 22.

Exercices

Exercice 1

נתון z1=4−3iz_1 = 4 - 3i ו-z2=−1+7iz_2 = -1 + 7i. מהו החלק המדומה של z1+z2z_1 + z_2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

z1+z2=(4−1)+(−3+7)i=3+4i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (4 - 1) + (-3 + 7)i \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

חלק חלק

Im=4\mathrm{Im} = 4

מחברים את המקדמים של ii עם הסימנים שלהם: −3+7=4-3 + 7 = 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון z1=2+5iz_1 = 2 + 5i ו-z2=6−iz_2 = 6 - i. מהו החלק המדומה של z1−z2z_1 - z_2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

z1−z2=(2−6)+(5−(−1))i=−4+6i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (2 - 6) + (5 - (-1))i \\ &= -4 + 6i\end{aligned}

המינוס עובר על שני החלקים

Im=6\mathrm{Im} = 6

התשובה 44 שוכחת שחיסור של −i-i הוא חיבור של ii.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i). מהו החלק הממשי של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11

Corrigé :

8−2i+12i−3i28 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים

=8+10i+3=11+10i= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i

−3i2=+3-3i^2 = +3

התשובה 55 שוכחת ש-−3i2-3i^2 הוא פלוס 33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את (3−2i)2(3 - 2i)^2. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -12

Corrigé :

(3−2i)2=9−12i+4i2(3 - 2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2

נוסחת הכפל המקוצר

=9−12i−4=5−12i= 9 - 12i - 4 = 5 - 12i

האיבר האמצעי 2⋅3⋅(−2i)=−12i2 \cdot 3 \cdot (-2i) = -12i הוא החלק המדומה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתון z=5−2iz = 5 - 2i. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29

Corrigé :

zˉ=5+2i\bar{z} = 5 + 2i

הצמוד

z⋅zˉ=52+22=29\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= 5^2 + 2^2 \\ &= 29\end{aligned}

a2+b2a^2 + b^2

התוצאה ממשית, ושני הריבועים מתחברים: 25+425 + 4, לא 25−425 - 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו הצמוד של z=−4+iz = -4 + i?

  1. −4−i-4 - i
  2. 4+i4 + i
  3. −4+i-4 + i
  4. 4−i4 - i
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −4−i-4 - i

Corrigé :

zˉ=−4−i\bar{z} = -4 - i

רק החלק המדומה מחליף סימן

הצמוד לא נוגע בחלק הממשי: −4-4 נשאר −4-4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו את 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(5+5i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−5i5\frac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{15 - 5i}{5}

כופלים בצמוד של המכנה

=3−i= 3 - i

הדרך הבטוחה: כופלים בצמוד של המכנה, לא של המונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

חשבו את 103−i\frac{10}{3 - i}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

10(3+i)(3−i)(3+i)=30+10i10\frac{10(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{30 + 10i}{10}

המכנה: 9+1=109 + 1 = 10

=3+i= 3 + i

גם כשהמונה ממשי, כופלים בצמוד של המכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו את 1i\frac{1}{i}.

  1. −1-1
  2. 11
  3. ii
  4. −i-i
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D −i-i

Corrigé :

1i⋅−i−i=−i−i2=−i1\begin{aligned}\frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{1}\end{aligned}

הצמוד של ii הוא −i-i

=−i= -i

בודקים: i⋅(−i)=−i2=1i \cdot (-i) = -i^2 = 1

ההופכי של ii הוא −i-i, לא ii: i⋅i=−1i \cdot i = -1, ולא 11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון z=2+iz = 2 + i. חשבו את z2−4zz^2 - 4z. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

z2=4+4i+i2=3+4i\begin{aligned}z^2 &= 4 + 4i + i^2 \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

קודם הריבוע

4z=8+4i4z = 8 + 4i
z2−4z=−5+0i=−5\begin{aligned}z^2 - 4z &= -5 + 0i \\ &= -5\end{aligned}

החלק המדומה מתבטל

התוצאה היא מספר ממשי. זה לא מקרה: z=2+iz = 2 + i הוא פתרון של z2−4z+5=0z^2 - 4z + 5 = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

לכל מספר מרוכב zz, המספר z+zˉz + \bar{z} הוא מספר ממשי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

(a+bi)+(a−bi)=2a(a + bi) + (a - bi) = 2a

החלקים המדומים מתבטלים

הסכום שווה לפעמיים החלק הממשי של zz.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו (m+2i)(3−i)(m + 2i)(3 - i) הוא מספר ממשי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

(m+2i)(3−i)=3m−mi+6i−2i2(m + 2i)(3 - i) = 3m - mi + 6i - 2i^2

פותחים סוגריים

=(3m+2)+(6−m)i= (3m + 2) + (6 - m)i

מכנסים

6−m=0⇒m=6\begin{aligned}6 - m &= 0 \Rightarrow m \\ &= 6\end{aligned}

מספר ממשי: החלק המדומה הוא 00

מספר ממשי פירושו חלק מדומה 00. מכנסים קודם את כל האיברים עם ii.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe