Le nombre i

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נסו לפתור את המשוואה x2=−1x^2 = -1. אין מספר ממשי שמקיים אותה: ריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אפס או חיובי, ולכן הוא לא יכול לצאת −1-1. המתמטיקאים לא ויתרו. הם הוסיפו מספר חדש, ובנו סביבו עולם שלם של מספרים.

i2=−1i^2 = -1

ii הוא המספר שהריבוע שלו שווה ל-−1-1. האות ii באה מהמילה imaginary: מדומה.

מהו (−i)2(-i)^2?

Voir la réponse et le corrigé

(−i)2=(−1)2⋅i2=1⋅(−1)=−1(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1. גם −i-i פותר את המשוואה x2=−1x^2 = -1: למשוואה יש שני פתרונות, ii ו-−i-i.

עכשיו אפשר להוציא שורש גם ממספר שלילי. למשל −9=3i\sqrt{-9} = 3i, כי (3i)2=9⋅i2=−9(3i)^2 = 9 \cdot i^2 = -9. ולכן גם למשוואה x2=−9x^2 = -9 יש שני פתרונות: x=3ix = 3i ו-x=−3ix = -3i.

החזקות של ii חוזרות על עצמן

i1=ii^1 = i

ההתחלה

i2=−1i^2 = -1

ההגדרה

i3=i2⋅i=−i\begin{aligned}i^3 &= i^2 \cdot i \\ &= -i\end{aligned}

כופלים שוב ב-ii

i4=i2⋅i2=1\begin{aligned}i^4 &= i^2 \cdot i^2 \\ &= 1\end{aligned}

וחוזרים ל-11

כדי לחשב ini^n, מחלקים את nn ב-4 ומסתכלים על השארית. שארית 00 נותנת 11, שארית 11 נותנת ii, שארית 22 נותנת −1-1, ושארית 33 נותנת −i-i. למשל i27i^{27}: 27=4⋅6+327 = 4 \cdot 6 + 3, ולכן i27=i3=−ii^{27} = i^3 = -i.

כמה זה i+i2+i3+i4i + i^2 + i^3 + i^4?

Voir la réponse et le corrigé

i+(−1)+(−i)+1=0i + (-1) + (-i) + 1 = 0. ארבע חזקות רצופות של ii מסתכמות תמיד ב-00 — נשתמש בזה בסכומים ארוכים.

מספר מרוכב: חלק ממשי וחלק מדומה

z=a+biab∈R\begin{aligned}z &= a + bi \qquad a \\ b \in \mathbb{R}\end{aligned}

זו ההצגה האלגברית של מספר מרוכב.

Re(z)=a\mathrm{Re}(z) = a

החלק הממשי: המספר שעומד לבד

Im(z)=b\mathrm{Im}(z) = b

החלק המדומה: המקדם של ii, בלי ה-ii

מזהים את שני החלקים

בכל מספר כותבים קודם את הצורה a+bia + bi, ורק אז קוראים את aa ואת bb.

z=3−5i⇒Re(z)=3 Im(z)=−5\begin{aligned}z &= 3 - 5i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 3 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -5\end{aligned}

הסימן שייך לחלק המדומה

z=4i⇒Re(z)=0 Im(z)=4\begin{aligned}z &= 4i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 4\end{aligned}

מספר מדומה טהור

z=7⇒Re(z)=7 Im(z)=0\begin{aligned}z &= 7 \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 7 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 0\end{aligned}

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב

הטעויות של המתחילים.

Im(3−4i)=−4i\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4i
Im(3−4i)=−4\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4

החלק המדומה הוא מספר ממשי: המקדם של ii, בלי ii.

−4⋅−9=36=6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}
−4⋅−9=2i⋅3i=−6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= 2i \cdot 3i \\ &= -6\end{aligned}

הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} נכון רק למספרים חיוביים. קודם מוציאים את ii, ואחר כך כופלים.

מתי שני מספרים מרוכבים שווים

שני מספרים מרוכבים שווים רק כשהחלקים הממשיים שלהם שווים, וגם החלקים המדומים שלהם שווים. משוואה אחת בין מספרים מרוכבים נותנת לכן שתי משוואות בין מספרים ממשיים.

מוצאים שני נעלמים ממשוואה אחת

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר x,yx, y ממשיים.

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את החלקים הממשיים

3=y−1⇒y=4\begin{aligned}3 &= y - 1 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

משווים את החלקים המדומים

Exercices

Exercice 1

מהו i2i^2?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

i2=−1i^2 = -1

זו ההגדרה של ii

i2i^2 הוא מספר ממשי, −1-1, ולא ii ולא −i-i.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהם הפתרונות של המשוואה x2=−16x^2 = -16?

  1. x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i
  2. x=4x = 4 ו-x=−4x = -4
  3. x=16ix = 16i
  4. אין פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i

Corrigé :

x2=−16=16⋅(−1)=16i2\begin{aligned}x^2 &= -16 \\ &= 16 \cdot (-1) \\ &= 16i^2\end{aligned}

כותבים את −1-1 בתור i2i^2

x=±4ix = \pm 4i

בודקים: (4i)2=16⋅(−1)=−16(4i)^2 = 16 \cdot (-1) = -16

42=164^2 = 16, לא −16-16. ובמספרים המרוכבים יש פתרונות: שניים, צמודים זה לזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

חשבו את i23i^{23}.

  1. −i-i
  2. ii
  3. −1-1
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −i-i

Corrigé :

23=4⋅5+323 = 4 \cdot 5 + 3

מחלקים ב-4: השארית היא 33

i23=i3=−i\begin{aligned}i^{23} &= i^{3} \\ &= -i\end{aligned}

מה שקובע הוא השארית בחלוקה ב-4, ולא האם 2323 זוגי או אי-זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חשבו את i100i^{100}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

100=4⋅25100 = 4 \cdot 25

השארית בחלוקה ב-4 היא 00

i100=(i4)25=125=1\begin{aligned}i^{100} &= (i^4)^{25} \\ &= 1^{25} \\ &= 1\end{aligned}

כל חזקה שהמעריך שלה מתחלק ב-4 שווה ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

מהו החלק המדומה של z=7−2iz = 7 - 2i?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

z=7+(−2)iz = 7 + (-2)i

כותבים בצורה a+bia + bi

Im(z)=−2\mathrm{Im}(z) = -2

התשובה היא −2-2, בלי ii, ועם הסימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו החלק הממשי של z=6i−5z = 6i - 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -5

Corrigé :

z=−5+6iz = -5 + 6i

מסדרים: קודם החלק הממשי

Re(z)=−5\mathrm{Re}(z) = -5

הסדר שבו המספר כתוב לא משנה: החלק הממשי הוא מה שעומד בלי ii.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חשבו: i+i2+i3+…+i10i + i^2 + i^3 + \ldots + i^{10}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

(i+i2+i3+i4)+(i5+…+i8)=0+0(i + i^2 + i^3 + i^4) + (i^5 + \ldots + i^8) = 0 + 0

כל ארבעה איברים רצופים מסתכמים ב-00

i9+i10=i+(−1)=−1+i\begin{aligned}i^9 + i^{10} &= i + (-1) \\ &= -1 + i\end{aligned}

נשארים שני איברים

Re=−1\mathrm{Re} = -1

במקום לחשב עשרה איברים, מקבצים אותם ברביעיות: רק השארית נשארת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר xx ו-yy ממשיים. מצאו את x+yx + y.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

החלקים הממשיים שווים

y−1=3⇒y=4\begin{aligned}y - 1 &= 3 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

החלקים המדומים שווים

x+y=7x + y = 7

משוואה אחת בין מספרים מרוכבים היא שתי משוואות: אחת לכל חלק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

חשבו: −4⋅−25\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-25}.

  1. 10i10i
  2. −10-10
  3. 1010
  4. −10i-10i
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B −10-10

Corrigé :

−4=2i−25=5i\begin{aligned}\sqrt{-4} &= 2i \\ \quad \sqrt{-25} &= 5i\end{aligned}

קודם מוציאים את ii מכל שורש

2i⋅5i=10i2=−10\begin{aligned}2i \cdot 5i &= 10i^2 \\ &= -10\end{aligned}

(−4)(−25)=100=10\sqrt{(-4)(-25)} = \sqrt{100} = 10 זו הטעות: הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} לא עובד כששני המספרים שליליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

7=7+0i7 = 7 + 0i

החלק המדומה שלו הוא 00

המספרים הממשיים הם המספרים המרוכבים שהחלק המדומה שלהם הוא 00.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו המספר z=(m−3)+(m+1)iz = (m - 3) + (m + 1)i הוא מדומה טהור.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

Re(z)=m−3=0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= m - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מדומה טהור: החלק הממשי הוא 00

m=3⇒z=4i\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow z \\ &= 4i\end{aligned}

בודקים: החלק המדומה 4≠04 \ne 0

מדומה טהור פירושו חלק ממשי 00 וחלק מדומה שונה מ-00. אם גם החלק המדומה היה 00, היה יוצא המספר 00.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe