L'équation d'une droite

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בחטיבת הביניים פגשתם את הישר y=mx+by=mx+b ואת הפרבולה y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c כפונקציות. בהנדסה אנליטית מסתכלים עליהם גם כקבוצות של נקודות במישור: נקודה נמצאת על הגרף אם ורק אם השיעורים שלה מקיימים את המשוואה. כך כל שאלה גאומטרית — מקביל, מאונך, חיתוך — הופכת לשאלה אלגברית.

הישר כפונקציה — ומתי ישר אינו פונקציה

פונקציה מתאימה לכל xx ערך yy אחד בלבד. הישר x=3x=3 הוא אוסף כל הנקודות ששיעור ה-xx שלהן הוא 33: (3,0)(3,0), (3,1)(3,1), (3,−5)(3,-5)... ל-x=3x=3 יש אינסוף ערכי yy, ולכן x=3x=3 אינו פונקציה. לעומתו, y=3y=3 הוא פונקציה קבועה — ישר אופקי ששיפועו 00.

y=mx+by=mx+b

ישר משופע או אופקי — פונקציה. mm השיפוע, bb נקודת החיתוך עם ציר yy.

y=ky=k

ישר מקביל לציר xx — פונקציה קבועה, השיפוע 00.

x=kx=k

ישר מקביל לציר yy — אינו פונקציה, ואין לו שיפוע.

האם הישר x=−2x=-2 הוא גרף של פונקציה? ומה לגבי הישר y=−2y=-2?

Voir la réponse et le corrigé

x=−2x=-2 — לא: לערך x=−2x=-2 מתאימים אינסוף ערכי yy. y=−2y=-2 — כן: פונקציה קבועה, ישר אופקי ששיפועו 00.

השיפוע — מה שרואים בין שתי נקודות

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

שיפוע הישר העובר דרך (x1,y1)(x_1,y_1) ו-(x2,y2)(x_2,y_2)

למה אי אפשר לחשב שיפוע בין הנקודות (4,1)(4,1) ו-(4,7)(4,7)?

Voir la réponse et le corrigé

כי המכנה x2−x1=4−4=0x_2-x_1=4-4=0, ואין חילוק באפס. שתי הנקודות על הישר האנכי x=4x=4 — ולישר אנכי אין שיפוע.

משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה

נניח שהישר עובר דרך (x1,y1)(x_1,y_1) ושיפועו mm. כל נקודה אחרת (x,y)(x,y) על הישר יוצרת עם (x1,y1)(x_1,y_1) את אותו שיפוע: y−y1x−x1=m\frac{y-y_1}{x-x_1}=m. מכפילים במכנה ומקבלים את הנוסחה:

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

ישר דרך שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(2,−1)A(2,-1) ו-B(5,8)B(5,8).

m=8−(−1)5−2=93=3\begin{aligned}m &= \frac{8-(-1)}{5-2} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

קודם השיפוע — הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx

y−(−1)=3(x−2)y-(-1) = 3(x-2)

מציבים את mm ואת הנקודה AA

y+1=3x−6⇒y=3x−7\begin{aligned}y + 1 &= 3x - 6 \Rightarrow y \\ &= 3x - 7\end{aligned}

פותחים סוגריים ומבודדים את yy

3⋅5−7=8 ✓3 \cdot 5 - 7 = 8 \ \checkmark

בדיקה: גם BB מקיימת את המשוואה

צורה מפורשת וצורה כללית

y=mx+by = mx + b

צורה מפורשת — yy מבודד. קוראים ממנה מיד את השיפוע ואת נקודת החיתוך עם ציר yy.

Ax+By+C=0Ax + By + C = 0

צורה כללית — כל האיברים באגף אחד. היא כוללת גם ישרים אנכיים: כאשר B=0B=0 נשאר Ax+C=0Ax+C=0, כלומר x=kx=k.

כדי לעבור מצורה כללית למפורשת (כש-B≠0B \neq 0) מבודדים את yy. המקדם של xx בצורה הכללית אינו השיפוע.

מהו שיפוע הישר 2x−3y+6=02x-3y+6=0, ובאיזו נקודה הוא חותך את ציר yy?

Voir la réponse et le corrigé

מבודדים: −3y=−2x−6-3y=-2x-6, ולכן y=23x+2y=\frac{2}{3}x+2. השיפוע 23\frac{2}{3} (ולא 22), ונקודת החיתוך עם ציר yy היא (0,2)(0,2).

גם הפרבולה היא אוסף נקודות

אותו עיקרון בדיוק: הנקודה (x0,y0)(x_0,y_0) נמצאת על הפרבולה y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c אם ורק אם y0=ax02+bx0+cy_0=ax_0^2+bx_0+c. מציבים את ה-xx ובודקים אם יוצא ה-yy.

האם הנקודה (−1,6)(-1,6) נמצאת על הפרבולה y=x2−3x+2y=x^2-3x+2?

Voir la réponse et le corrigé

כן. (−1)2−3(−1)+2=1+3+2=6(-1)^2-3(-1)+2=1+3+2=6 — יוצא בדיוק ה-yy של הנקודה.

שלוש הטעויות הנפוצות במשוואת ישר.

m=x2−x1y2−y1m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

השיפוע הוא הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx — לא להפך.

2x−3y+6=0⇒m=2\begin{aligned}2x - 3y + 6 &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}
m=23m = \frac{2}{3}

בצורה כללית המקדם של xx אינו השיפוע. קודם מבודדים את yy.

(3,1): y−1=2(x+3)(3,1): \ y - 1 = 2(x + 3)
y−1=2(x−3)y - 1 = 2(x - 3)

בנוסחה יש מינוס: מציבים x1=3x_1=3 ומקבלים x−3x-3.

Exercices

Exercice 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך הנקודות A(−2,5)A(-2,5) ו-B(4,−4)B(4,-4)? (כתבו כשבר עשרוני)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1.5

Corrigé :

m=−4−54−(−2)m = \frac{-4-5}{4-(-2)}

הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx, באותו סדר

m=−96=−1.5\begin{aligned}m &= \frac{-9}{6} \\ &= -1.5\end{aligned}

השיפוע שלילי — הישר יורד. הטעות הנפוצה: 4−24-2 במכנה במקום 4−(−2)4-(-2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהי משוואת הישר ששיפועו −2-2 והעובר דרך הנקודה (1,4)(1,4)?

  1. y=−2x+4y=-2x+4
  2. y=4x−2y=4x-2
  3. y=−2x+6y=-2x+6
  4. y=−2x+2y=-2x+2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=−2x+6y=-2x+6

Corrigé :

y−4=−2(x−1)y - 4 = -2(x - 1)

נוסחת ישר לפי שיפוע ונקודה

y=−2x+2+4=−2x+6\begin{aligned}y &= -2x + 2 + 4 \\ &= -2x + 6\end{aligned}

פותחים סוגריים ומבודדים את yy

הבחירה הנכונה: «y=−2x+6y=-2x+6». «y=−2x+4y=-2x+4» — מי שהציב את ה-yy של הנקודה במקום bb. «y=−2x+2y=-2x+2» — טעות סימן: x+1x+1 במקום x−1x-1. «y=4x−2y=4x-2» — החלפת תפקידים בין השיפוע לנקודה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ישר עובר דרך A(−1,−4)A(-1,-4) ו-B(3,8)B(3,8). באיזו נקודה הוא חותך את ציר yy? כתבו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

m=8−(−4)3−(−1)=124=3\begin{aligned}m &= \frac{8-(-4)}{3-(-1)} \\ &= \frac{12}{4} \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע

y−8=3(x−3)⇒y=3x−1\begin{aligned}y - 8 &= 3(x - 3) \Rightarrow y \\ &= 3x - 1\end{aligned}

מציבים את BB — אפשר גם את AA

x=0⇒y=−1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -1\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy: מציבים x=0x=0

נקודת החיתוך (0,−1)(0,-1). אל תתבלבלו: חיתוך עם ציר yy פירושו x=0x=0, לא y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מיינו: אילו מהמשוואות מתארות פונקציה?

  • פונקציה
  • לא פונקציה
  • 2x+5=02x+5=0
  • 3x−y=03x-y=0
  • x=3x=3
  • y=−x+1y=-x+1
  • y=3y=3
  • y=x2−4y=x^2-4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=3y=3 — פונקציה · x=3x=3 — לא פונקציה · y=−x+1y=-x+1 — פונקציה · 2x+5=02x+5=0 — לא פונקציה · y=x2−4y=x^2-4 — פונקציה · 3x−y=03x-y=0 — פונקציה

Corrigé :

2x+5=0⇒x=−2.5\begin{aligned}2x + 5 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2.5\end{aligned}

אין בה yy בכלל — זה ישר אנכי

3x−y=0⇒y=3x\begin{aligned}3x - y &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3x\end{aligned}

מבודדים את yy — פונקציה

רק ישרים מהצורה x=kx=k אינם פונקציות. הטעות: לחשוב ש-2x+5=02x+5=0 הוא «פונקציה בלי yy» — בפועל הוא הישר האנכי x=−2.5x=-2.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כתבו את הישר 4x+2y−10=04x+2y-10=0 בצורה מפורשת.

שיפוע הישר הוא ____, והוא חותך את ציר yy בנקודה שבה y=y= ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שיפוע הישר הוא -2, והוא חותך את ציר yy בנקודה שבה y=y= 5

Corrigé :

2y=−4x+102y = -4x + 10

מעבירים את 4x4x ואת −10-10 לאגף ימין

y=−2x+5y = -2x + 5

מחלקים ב-22 — את כל האיברים

m=−2m=-2, b=5b=5. הטעות הנפוצה: לקרוא את השיפוע 44 ישר מהצורה הכללית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

הנקודה (2,−3)(2,-3) נמצאת על הישר 5x+2y−4=05x+2y-4=0.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

5⋅2+2⋅(−3)−4=10−6−4=0\begin{aligned}5 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) - 4 &= 10 - 6 - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את שני השיעורים

יצא 00 — הנקודה מקיימת את המשוואה ולכן נכון. לא צריך לעבור לצורה מפורשת כדי לבדוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודה (3,p)(3,p) נמצאת על הפרבולה y=2x2−5x−1y=2x^2-5x-1. מהו pp?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

p=2⋅32−5⋅3−1p = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 1

מציבים x=3x=3

p=18−15−1=2\begin{aligned}p &= 18 - 15 - 1 \\ &= 2\end{aligned}

החזקה קודמת לכפל: 2⋅32=182 \cdot 3^2 = 18, לא 62=366^2=36.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מהי משוואת הישר העובר דרך (3,−2)(3,-2) ו-(3,5)(3,5)?

  1. y=7y=7
  2. x=3x=3
  3. y=3y=3
  4. y=x−5y=x-5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=3x=3

Corrigé :

x2−x1=3−3=0\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 3 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

המכנה של השיפוע מתאפס

x=3x = 3

לשתי הנקודות אותו xx — זה ישר אנכי

הבחירה הנכונה: «x=3x=3». «y=3y=3» — ישר אופקי, מחליף בין הצירים. «y=x−5y=x-5» — עובר דרך (3,−2)(3,-2) בלבד. «y=7y=7» — מי שחישב את הפרש ה-yy וכתב אותו כמשוואה. לישר אנכי אין שיפוע ואין לו צורה מפורשת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

סדרו את השלבים למציאת משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות.

  • בודקים שהנקודה השנייה מקיימת את המשוואה
  • מחשבים את השיפוע m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  • מציבים את mm ואת אחת הנקודות ב-y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1)
  • פותחים סוגריים ומבודדים את yy
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מחשבים את השיפוע m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} · מציבים את mm ואת אחת הנקודות ב-y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) · פותחים סוגריים ומבודדים את yy · בודקים שהנקודה השנייה מקיימת את המשוואה

Corrigé :

m ⇒ y−y1=m(x−x1) ⇒ y=mx+b\begin{aligned}m \ \Rightarrow \ y - y_1 &= m(x-x_1) \ \Rightarrow \ y \\ &= mx + b\end{aligned}

בלי שיפוע אי אפשר להציב בנוסחה

הבדיקה בסוף אינה קישוט: היא תופסת טעות סימן בשיפוע כבר כאן, לפני שהיא מתגלגלת לסעיף הבא.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

באיזו נקודה חותך הישר 3x−4y+12=03x-4y+12=0 את ציר xx? כתבו את שיעור ה-xx שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

y=0⇒3x+12=0\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 3x + 12 \\ &= 0\end{aligned}

על ציר xx שיעור ה-yy הוא 00

x=−4x = -4

נקודת החיתוך (−4,0)(-4,0). חיתוך עם ציר xx — מציבים y=0y=0; מי שהציב x=0x=0 מצא את החיתוך עם ציר yy, (0,3)(0,3).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe