La bissectrice

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פגשנו את חוצה הזווית בקצרה. עכשיו ניתן לו יחידה משלו — כי ממנו נובעות שתי טענות יפות, ושתיהן מוכחות בשורה אחת של חשבון.

ההגדרה

חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מהקודקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

שתי מילים חשובות: קרן — היא יוצאת מהקודקוד, לא חותכת אותו מהצד; ושוות — לא «בערך באמצע», אלא שווה בדיוק.

80:2=4080 : 2 = 40

מהזווית אל החלק — מחלקים ב-2.

40⋅2=8040 \cdot 2 = 80

ומהחלק אל הזווית — כופלים ב-2.

הכיוון השני הוא זה שמפספסים: כששואלים «חוצה זווית יוצר זווית של 24°24° — מהי הזווית כולה?», התשובה היא 48°48°, ולא 12°12°.

ואפשר לייצר חוצה זווית בלי שום כלי: מקפלים את הדף כך ששוק אחת תיפול בדיוק על השנייה. קו הקיפול הוא החוצה — והוא מדויק, כי הקיפול מבטיח חפיפה.

טענה 1: חוצי זוויות צמודות מאונכים זה לזה

ניקח שתי זוויות צמודות — שתיים שיושבות יחד על ישר, ולכן סכומן 180°180°. נעביר חוצה זווית לכל אחת. מסתבר ששני החוצים תמיד מאונכים, בלי קשר לזוויות עצמן.

נסו עם זוג אחר: 160°160° ו-20°20°. מה יצא בין החוצים?

Voir la réponse et le corrigé

90°90° שוב: 80+10=9080 + 10 = 90. וזה לא צירוף מקרים — זה מה שהחשבון למעלה הוכיח לכל זוג אפשרי.

טענה 2: חוצה אחת מהזוויות הקודקודיות חוצה גם את השנייה

שני ישרים נחתכים ויוצרים שני זוגות של זוויות קודקודיות. נעביר חוצה זווית לאחת מהן, ונאריך אותו מעבר לקודקוד. הטענה: ההמשך הזה חוצה בדיוק גם את הזווית שמולה.

וחוצה של זווית שטוחה

מקרה אחרון, והוא בעצם הגדרה נוספת לניצבות: זווית שטוחה היא 180°180°, ולכן חוצה שלה יוצר שתי זוויות של 90°90° — כלומר הוא מאונך לשתי הקרניים.

180:2=90°180 : 2 = 90°

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. מהי הזווית כולה?

Voir la réponse et le corrigé

48°48°. כופלים ב-2, לא מחלקים. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק — המילה «חוצה» מושכת לחלק, גם כשהנתון הוא כבר החצי.

שלוש הטעויות של חוצה הזווית.

24:2=1224 : 2 = 12
24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

כשנתון החלק ומבקשים את הזווית — כופלים. לקרוא תמיד מה בדיוק נתון.

חוצה≈באמצע\text{חוצה} \approx \text{באמצע}
חוצה=שווה בדיוק\text{חוצה} = \text{שווה בדיוק}

«בערך באמצע» אינו חוצה. שתי הזוויות חייבות להיות שוות בדיוק.

חוצה חוצה גם את הצלע\text{חוצה חוצה גם את הצלע}
חוצה חוצה את הזווית\text{חוצה חוצה את הזווית}

חוצה זווית מחלק זווית, לא קטע. קטע שחוצה צלע הוא דבר אחר לגמרי, ויילמד בכיתה ח.

עכשיו נתרגל — ובעיקר נשים לב מה נתון ומה מבקשים.

Exercices

Exercice 1

??80°

חוצה זווית מחלק זווית של 80°80°. כמה מעלות בכל חלק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

80:2=4080 : 2 = 40

שני חלקים שווים

נתונה הזווית, מבקשים את החלק — ולכן מחלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

24°?

חוצה זווית יוצר זווית של 24°24°. כמה מעלות בזווית כולה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

24⋅2=4824 \cdot 2 = 48

הזווית היא פעמיים החלק

הכיוון ההפוך של השאלה הקודמת — וזו בדיוק המלכודת של הפרק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Complétez (השלימו)

חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של ____ מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא ____ מעלות

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : חוצה של זווית בת 120°120° יוצר שתי זוויות של 60 מעלות. ואם חוצה זווית יוצר זווית של 35°35°, הזווית כולה היא 70 מעלות

Corrigé :

120:2=60120 : 2 = 60

מהזווית אל החלק — מחלקים

35⋅2=7035 \cdot 2 = 70

מהחלק אל הזווית — כופלים

שני הכיוונים באותה שאלה. בחלק השני המלכודת היא לחלק שוב ולקבל 17.517.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

?50°130°

שתי זוויות צמודות, 130°130° ו-50°50°. כמה מעלות בזווית שבין שני חוצי הזוויות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

130:2=65130 : 2 = 65

מחצית הראשונה

50:2=2550 : 2 = 25

מחצית השנייה

65+25=9065 + 25 = 90

יחד

והתשובה 90°90° אינה תלויה בזוויות עצמן — כל זוג צמודות ייתן אותו דבר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שתי זוויות צמודות, 160°160° ו-20°20°. כמה מעלות בין החוצים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

80+10=9080 + 10 = 90

שתי המחציות

שוב 90 — כי α+β2=1802\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180}{2}, תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

?80°100°

שתי זוויות צמודות הן 100°100° ו-80°80°. מה גודל הזווית שבין שני חוצי הזוויות?

  1. 50°50°
  2. 90°90°
  3. 180°180°
  4. 40°40°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 90°90°

Corrigé :

100:2=50100 : 2 = 50

מחצית הראשונה

80:2=4080 : 2 = 40

מחצית השנייה

50+40=9050 + 40 = 90

יחד

50°50° ו-40°40° הם רק החצאים. הזווית שבין החוצים בנויה משניהם יחד, ולכן היא תמיד 90°90°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

חוצי שתי זוויות צמודות מאונכים זה לזה, לכל זוג זוויות צמודות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

α2+β2=α+β2\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}

מוציאים חצי

=1802=90= \frac{180}{2} = 90

והתוצאה קבועה

ה-α\alpha נעלם מהחישוב — ולכן זו טענה כללית, לא מקרה פרטי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

??

כמה מעלות יוצר חוצה של זווית שטוחה עם כל אחת מקרניה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

180:2=90180 : 2 = 90

מחצית הזווית השטוחה

ולכן חוצה של זווית שטוחה הוא בדיוק אנך לקרניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ישר שחוצה אחת משתי זוויות קודקודיות חוצה גם את השנייה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

α2\frac{\alpha}{2}

כל מחצית

α2 קודקודית לה\frac{\alpha}{2} \ \text{קודקודית לה}

ומקבלת קודקודית שווה מעבר לקודקוד

שתי המחציות של הזווית שמולה יוצאות שוות — וזו בדיוק ההגדרה של חוצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

?150°

זווית של 150°150°. חוצה הזווית שלה יוצר עם הקרן שמעליה זווית. כמה מעלות בה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

150:2=75150 : 2 = 75

מחצית

החוצה יוצר את אותה זווית עם שתי הקרניים — זה מה ש«שווה» אומר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

64°?

זווית צמודה לזווית של 64°64°. חוצה הזווית של הצמודה יוצר עם הישר זווית. כמה מעלות בה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 58

Corrigé :

180−64=116180 - 64 = 116

קודם הזווית הצמודה

116:2=58116 : 2 = 58

ואז מחציתה

שני שלבים, ובסדר הזה. מי שחצה קודם את ה-64 ענה על שאלה אחרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מהו חוצה זווית?

  1. ישר שחוצה את הצלע שמול הזווית
  2. קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות
  3. קטע שמחבר שני קודקודים
  4. קו שעובר בערך באמצע הזווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B קרן מהקודקוד שמחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות

Corrigé :

α:2 , α:2\alpha : 2 \ , \ \alpha : 2

שני חלקים שווים בדיוק

שלוש מילים קובעות: קרן, מהקודקוד, ושוות בדיוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

חוצה זווית חילק זווית לשני חלקים. אחד מהם 37°37°. מהו השני?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 37

Corrigé :

3737

שני החלקים שווים

אין כאן חישוב — יש הגדרה. אם שני החלקים לא שווים, זה לא חוצה זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

חוצה זווית יוצר זווית של 30°30°. שורה אחת שגויה

הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°
החלק השני=30°\text{החלק השני} = 30°
הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הזווית כולה=15°\text{הזווית כולה} = 15° → הזווית כולה=60°\text{הזווית כולה} = 60°

Corrigé :

30⋅2=6030 \cdot 2 = 60

נתון החלק — ולכן כופלים

30:2=1530 : 2 = 15

והחציה הנוספת היא השורה השגויה

נתון החלק, ולכן כופלים. מי שחילק שוב קיבל רבע מהזווית האמיתית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

130°?ACOBD

הנקודות AA, OO ו-CC על ישר אחד. הקרן OBOB יוצאת מ-OO כך ש-∠AOB=130°\angle AOB = 130°, והקרן ODOD חוצה את ∠BOC\angle BOC. מה גודל ∠AOD\angle AOD, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 155

Corrigé :

∠BOC=180−130=50\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 130 \\ &= 50\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠BOD=50:2=25\begin{aligned}\angle BOD &= 50 : 2 \\ &= 25\end{aligned}

ODOD חוצה אותה

∠AOD=130+25=155\begin{aligned}\angle AOD &= 130 + 25 \\ &= 155\end{aligned}

חיבור זוויות מאותו קודקוד

שלושה כללים בשרשרת: צמודות, חוצה, חיבור. הטעות הנפוצה היא לחצות את 130°130° במקום את ∠BOC\angle BOC — לקרוא בדיוק איזו זווית נחצית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

2x+103x-15OABC

הקרן OBOB חוצה את ∠AOC\angle AOC. נתון ∠AOB=2x+10\angle AOB = 2x + 10 ו-∠BOC=3x−15\angle BOC = 3x - 15 (במעלות). מה גודל ∠AOC\angle AOC, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 120

Corrigé :

2x+10=3x−152x + 10 = 3x - 15

חוצה — שני החלקים שווים

x=25x = 25
2⋅25+10=602 \cdot 25 + 10 = 60

כל חלק

∠AOC=2⋅60=120\begin{aligned}\angle AOC &= 2 \cdot 60 \\ &= 120\end{aligned}

הזווית כולה

שלוש עצירות אפשריות, ורק האחרונה היא התשובה: x=25x = 25, חלק אחד 60°60°, והזווית כולה 120°120°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

70°?ACBDEO

הישרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה OO, ו-∠AOB=70°\angle AOB = 70°. הקרן OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB. מה גודל ∠EOC\angle EOC, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 145

Corrigé :

∠EOB=70:2=35\begin{aligned}\angle EOB &= 70 : 2 \\ &= 35\end{aligned}

OEOE חוצה את ∠AOB\angle AOB

∠BOC=180−70=110\begin{aligned}\angle BOC &= 180 - 70 \\ &= 110\end{aligned}

צמודה ל-∠AOB\angle AOB

∠EOC=35+110=145\begin{aligned}\angle EOC &= 35 + 110 \\ &= 145\end{aligned}

אפשר גם בצעד אחד: ∠AOC\angle AOC שטוחה, ולכן ∠EOC=180−35=145\angle EOC = 180 - 35 = 145. מי שמקבל 110110 שכח את החצי של 70°70° שבין OEOE ל-OBOB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

מה נכון לכל חוצה זווית, ומה לא?

  • נכון תמיד
  • לא נכון
  • הוא יוצא מקודקוד הזווית
  • חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר
  • חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180°
  • כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה
  • שתי הזוויות שהוא יוצר שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הוא יוצא מקודקוד הזווית — נכון תמיד · שתי הזוויות שהוא יוצר שוות — נכון תמיד · חוצה של זווית שטוחה מאונך לישר — נכון תמיד · כל חלק גדול פי 2 מהזווית כולה — לא נכון · חוצי שתי זוויות צמודות יוצרים זווית של 180°180° — לא נכון

Corrigé :

α:2\alpha : 2

כל חלק הוא חצי מהזווית, לא פי 2

1802=90\frac{180}{2} = 90

וחוצי צמודות יוצרים 90°90°, לא 180°180°

שתי הטעויות הן הכיוון ההפוך של «חוצה»: לכפול במקום לחלק, ולשכוח לחלק את ה-180180.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe