Périmètre du cercle et aire du disque

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מעגל אינו מצולע: אי אפשר לחתוך אותו למשולשים ולקבל נוסחת שטח. לכן הוא דורש מספר משלו — π\pi.

מאיפה בא פאי

π\pi הוא היחס בין ההיקף לקוטר. הוא זהה בכל מעגל בעולם, קטן או ענק. מסמנים PP להיקף ו-dd לקוטר:

π=Pd≈3.14\pi = \frac{P}{d} \approx 3.14

שתי הנוסחאות

P=2πrP = 2\pi r

היקף — הקו מסביב. נמדד ביחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

שטח — הפנים המלאים. נמדד ביחידות רבועות.

איך לא להתבלבל: בשטח יש ריבוע — ולכן היחידות בריבוע. בהיקף אין ריבוע ואין יחידות רבועות. שתי החזקות הולכות יחד, תמיד.

רדיוס וקוטר

הרדיוס הולך מהמרכז אל הקצה. הקוטר עובר דרך המרכז, מקצה לקצה, והוא פי שניים מהרדיוס.

d=2rd = 2r

רוב הטעויות בפרק הן בלבול בין רדיוס לקוטר. לפני כל חישוב שאלו: מה נתון — רדיוס או קוטר?

שתי הטעויות של המעגל.

S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

S=(3.14⋅5)2S = (3.14 \cdot 5)^2
S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

החזקה חלה רק על הרדיוס, לא על כל המכפלה. סדר פעולות: קודם חזקה, אחר כך כפל.

חצי עיגול, רבע עיגול, טבעת

בחלק של עיגול, השטח הוא אותו חלק מהשטח המלא. חצי עיגול — חצי מ-πr2\pi r^2.

ההיקף הוא לא רק חלק מהקשת. מוסיפים לו את הקטעים הישרים שסוגרים את הצורה.

לצורה שאין לה נוסחה — משלימים ומחסרים, בדיוק כמו במצולעים.

מה היקף רבע עיגול שרדיוסו 4? (השאירו את π\pi בתשובה)

Voir la réponse et le corrigé

2π+82\pi + 8: הקשת היא רבע מההיקף המלא 8π8\pi, כלומר 2π2\pi, ועוד שני רדיוסים — 4 ו-4 — שסוגרים את הצורה.

מהו שטח מעגל שרדיוסו 4? (עם פאי)

Voir la réponse et le corrigé

16π16\pi — הרדיוס בריבוע כפול פאי. לא הקוטר!

היקף מעגל הוא 10π10\pi. מהו הרדיוס?

Voir la réponse et le corrigé

5. ההיקף 2πr2\pi r — מחלקים ב-2π2\pi.

Exercices

Exercice 1

מהו היקף מעגל שרדיוסו 5? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 31.4

Corrigé :

P=2⋅3.14⋅5P = 2 \cdot 3.14 \cdot 5

On remplace (מציבים)

=31.4= 31.4

On calcule

ביחידות אורך — אין ריבוע בנוסחה, אין ריבוע ביחידה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו שטח עיגול שרדיוסו 5? (עם π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 78.5

Corrigé :

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

קודם החזקה

=3.14⋅25=78.5= 3.14 \cdot 25 = 78.5

ואז הכפל

ביחידות רבועות — יש ריבוע בנוסחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

קוטר מעגל הוא 12. מהו הרדיוס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

r=122=6\begin{aligned}r &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר הוא פי שניים מהרדיוס

בכל נוסחת מעגל מציבים רדיוס — ולכן ההמרה הזאת קודמת לכול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

10

מהו שטח עיגול שקוטרו 10? (עם π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 78.5

Corrigé :

r=10:2=5\begin{aligned}r &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

קודם מהקוטר לרדיוס

S=3.14⋅25=78.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

ואז הנוסחה

הצבת הקוטר במקום הרדיוס מכפילה את התשובה פי ארבע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

30

הקוטר של פיצה הוא 30 ס״מ. מה שטחה, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 706.5

Corrigé :

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס: חצי מהקוטר

S=3.14⋅152=3.14⋅225=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 3.14 \cdot 225 \\ &= 706.5\end{aligned}

קודם החזקה, אחר כך הכפל

עם הקוטר במקום הרדיוס יוצא 3.14⋅900=28263.14 \cdot 900 = 2826 — פי ארבעה יותר מדי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

8

הקטע המודגש עובר דרך המרכז, ואורכו 8 ס״מ. מה היקף המעגל?

  1. 16π16\pi ס״מ
  2. 64π64\pi ס״מ
  3. 8π8\pi ס״מ
  4. 16π16\pi סמ״ר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 8π8\pi ס״מ

Corrigé :

r=8:2=4\begin{aligned}r &= 8 : 2 \\ &= 4\end{aligned}

הקטע הוא קוטר

P=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}

נוסחת ההיקף

16π16\pi יוצא כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס. וסמ״ר הן יחידות של שטח, לא של היקף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהו π\pi?

  1. היחס בין הרדיוס לקוטר
  2. היחס בין השטח לרדיוס
  3. מספר שרירותי
  4. היחס בין ההיקף לקוטר
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D היחס בין ההיקף לקוטר

Corrigé :

π=Pd\pi = \frac{P}{d}

ההגדרה

והוא זהה בכל מעגל בעולם — קטן או ענק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מעגל שרדיוסו 6. מהו שטחו? (כתבו בלי פאי)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

r2=36r^2 = 36

השטח 36π36\pi

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

מעגל שקוטרו 10. מהו היקפו? (בלי פאי)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

P=dπ=10π\begin{aligned}P &= d\pi \\ &= 10\pi\end{aligned}

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי — או פעמיים הרדיוס כפול פאי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

?

שטח מעגל 49π49\pi. מהו הרדיוס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

r2=49  r=7\begin{aligned}r^2 &= 49 \ \\ \ r &= 7\end{aligned}

מחלקים בפאי כדי לבודד את r2r^2, ורק אחר כך מוציאים שורש. שני שלבים, בסדר הזה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

4

חצי מעגל שרדיוסו 4 — מהו שטחו? (בלי פאי)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

16π2=8π\frac{16\pi}{2} = 8\pi

מחשבים את העיגול השלם ואז חוצים. שימו לב שהתשובה נשארת עם פאי — לא כל שאלה דורשת מספר עשרוני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

r3r

פי כמה גדל שטח מעגל כשמכפילים את הרדיוס פי 3?

  1. פי 9
  2. פי 3
  3. פי 27
  4. פי 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A פי 9

Corrigé :

(3r)2=9r2(3r)^2 = 9r^2

השטח תלוי בריבוע הרדיוס — הכפלה פי 3 מרובעת לפי 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מה מחשבים בכל מקרה — את ההיקף או את השטח?

  • היקף
  • שטח
  • כמה בצק צריך לפיצה עגולה
  • כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה
  • כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת
  • כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה
  • כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה
  • כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה — היקף · כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה — שטח · כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה — היקף · כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול — שטח · כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת — היקף · כמה בצק צריך לפיצה עגולה — שטח

Corrigé :

P=2πrP = 2\pi r

הקו מסביב — גדר, סרט, ריצה. יחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

הפנים המלאים — דשא, צבע, בצק. יחידות רבועות.

שאלו: האם הולכים לאורך הקצה, או מכסים את כל הפנים? רק השני הוא שטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

אם מכפילים את הרדיוס של עיגול פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

r=3:S=9π\begin{aligned}r &= 3: \quad S \\ &= 9\pi\end{aligned}

עיגול קטן

r=6:S=36π\begin{aligned}r &= 6: \quad S \\ &= 36\pi\end{aligned}

רדיוס כפול

36π:9π=436\pi : 9\pi = 4

השטח גדל פי 4

ברדיוס כפול, ההיקף גדל פי 2, אבל השטח גדל פי 4: הרדיוס בנוסחה בריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

3

לעיגול שרדיוסו 3 ס״מ: התאימו לכל גודל את הערך שלו (עם π=3.14\pi = 3.14)

  • הרדיוס rr
  • הקוטר dd
  • ההיקף PP
  • השטח SS
  • 18.84 ס״מ
  • 28.26 סמ״ר
  • 3 ס״מ
  • 6 ס״מ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הרדיוס rr — 3 ס״מ · הקוטר dd — 6 ס״מ · ההיקף PP — 18.84 ס״מ · השטח SS — 28.26 סמ״ר

Corrigé :

d=2⋅3=6\begin{aligned}d &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר: פי שניים מהרדיוס

P=2⋅3.14⋅3=18.84\begin{aligned}P &= 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \\ &= 18.84\end{aligned}

ההיקף: ביחידות אורך

S=3.14⋅32=3.14⋅9=28.26\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 3^2 \\ &= 3.14 \cdot 9 \\ &= 28.26\end{aligned}

השטח: קודם החזקה, ויחידות רבועות

רק לשטח יש יחידות רבועות. מי שמחשב 3.14⋅623.14 \cdot 6^2 הציב קוטר במקום רדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

10

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2
S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2 → S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

Corrigé :

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

10

רבע עיגול שרדיוסו 10 ס״מ. מה שטחו, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 78.5

Corrigé :

S=3.14⋅102=314\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 10^2 \\ &= 314\end{aligned}

העיגול השלם

314:4=78.5314 : 4 = 78.5

רבע ממנו

חלק של עיגול מקבל את אותו חלק מהשטח: רבע עיגול — רבע מ-πr2\pi r^2. הרדיוס נשאר 10; לא מחלקים אותו ב-4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

5

מה היקף חצי עיגול שרדיוסו 5 ס״מ — כולל הקוטר שסוגר אותו? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25.7

Corrigé :

2⋅3.14⋅5=31.42 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4

היקף המעגל השלם

31.4:2=15.731.4 : 2 = 15.7

חצי — זו הקשת

15.7+10=25.715.7 + 10 = 25.7

ועוד הקוטר, 10

הקשת היא רק חצי מההיקף. בלי הקוטר הצורה לא סגורה — ו-15.7 היא הטעות הנפוצה ביותר בחצי עיגול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

53

טבעת נוצרת בין שני מעגלים בעלי אותו מרכז: רדיוס הגדול 5 ס״מ, ורדיוס הקטן 3 ס״מ. שטח הטבעת הוא מספר כפול π\pi (בסמ״ר). מהו המספר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

π⋅52=25π\pi \cdot 5^2 = 25\pi

העיגול הגדול

π⋅32=9π\pi \cdot 3^2 = 9\pi

החור

25π−9π=16π25\pi - 9\pi = 16\pi

מחסרים שטחים

מחסרים שטחים, לא רדיוסים. π⋅(5−3)2=4π\pi \cdot (5 - 3)^2 = 4\pi היא הטעות: עיגול שרדיוסו 2 קטן בהרבה מהטבעת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

30

פיצה עגולה שקוטרה 30 ס״מ נחתכת ל-8 משולשים שווים מהמרכז. מה שטח משולש אחד, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14, ועגלו לעשירית)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 88.3

Corrigé :

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס

S=3.14⋅152=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 706.5\end{aligned}

הפיצה כולה

706.5:8≈88.3706.5 : 8 \approx 88.3

משולש אחד

ה«משולש» של הפיצה הוא בעצם גזרה — שמינית מהעיגול. הטעות הנפוצה: להציב את הקוטר, 30, ולקבל פי 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

10060

מסלול ריצה בנוי משני קטעים ישרים באורך 100 מ׳ כל אחד, ומשני חצאי מעגל בקצוות שקוטרם 60 מ׳. מה אורך הקפה אחת של המסלול, במטרים? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 388.4

Corrigé :

100+100=200100 + 100 = 200

שני הישרים

3.14⋅60=188.43.14 \cdot 60 = 188.4

שני חצאי מעגל = מעגל שלם אחד

200+188.4=388.4200 + 188.4 = 388.4

שני חצאי המעגל יחד הם מעגל שלם — היקפו πd\pi d. שוכחים לפעמים את אחד הישרים, או סופרים רק חצי מעגל אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

402020

מה נותן יותר פיצה: פיצה אחת שקוטרה 40 ס״מ, או שתי פיצות שקוטר כל אחת מהן 20 ס״מ?

  1. שתי הקטנות — יש שתיים
  2. בדיוק אותו דבר
  3. הפיצה הגדולה — פי 4 משתי הקטנות יחד
  4. הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד

Corrigé :

π⋅202=400π\pi \cdot 20^2 = 400\pi

הגדולה, רדיוס 20

2⋅π⋅102=200π2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi

שתי הקטנות, רדיוס 10

400π:200π=2400\pi : 200\pi = 2

קוטר כפול — שטח פי 4. לכן הגדולה שווה לארבע קטנות, ושתי קטנות הן רק חצי ממנה. «בדיוק אותו דבר» חושב שהשטח גדל כמו הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

1010

בריבוע שצלעו 10 ס״מ מצויר רבע עיגול: מרכזו בקודקוד של הריבוע, ורדיוסו כצלע הריבוע. מה שטח החלק האפור — הריבוע פחות רבע העיגול, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21.5

Corrigé :

10⋅10=10010 \cdot 10 = 100

הריבוע

3.14⋅1024=78.5\frac{3.14 \cdot 10^2}{4} = 78.5

רבע העיגול

100−78.5=21.5100 - 78.5 = 21.5

מחסרים

הצורה האפורה אין לה נוסחה — משלימים לריבוע ומחסרים את רבע העיגול. השאלה לבדוק: האם רבע העיגול באמת נכנס כולו בתוך הריבוע? כן, כי הרדיוס שווה לצלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

8

מעגל שקוטרו 8. מחשבים את ההיקף ואת השטח — שורה אחת שגויה, מצאו אותה

d=8 ⇒ r=4\begin{aligned}d &= 8 \ \Rightarrow \ r \\ &= 4\end{aligned}
P=2πr=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}
S=πr2=π⋅82=64π\begin{aligned}S &= \pi r^2 \\ &= \pi \cdot 8^2 \\ &= 64\pi\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S=πr2=π⋅82=64πS = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi → S=π⋅42=16πS = \pi \cdot 4^2 = 16\pi

Corrigé :

S=π⋅42=16π\begin{aligned}S &= \pi \cdot 4^2 \\ &= 16\pi\end{aligned}

מציבים את הרדיוס, 4

בשורה השלישית הוצב הקוטר במקום הרדיוס — והתשובה יצאה פי 4. את הרדיוס כבר חישבו בשורה הראשונה; צריך רק להשתמש בו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

?

היקף שולחן עגול הוא 314 ס״מ. מהו קוטר השולחן, בס״מ? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 100

Corrigé :

P=π⋅dP = \pi \cdot d

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי

d=314:3.14=100\begin{aligned}d &= 314 : 3.14 \\ &= 100\end{aligned}

הולכים אחורה

מחלקים ב-π\pi ומקבלים את הקוטר. מי שמחלק ב-2π2\pi מקבל 50 — שזה הרדיוס, לא הקוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

36

כשמכפילים את הרדיוס של מעגל פי 2, גם ההיקף שלו גדל פי 2.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

2π⋅3=6π2\pi \cdot 3 = 6\pi

רדיוס 3

2π⋅6=12π2\pi \cdot 6 = 12\pi

רדיוס 6 — פי 2

ההיקף תלוי ברדיוס עצמו, בלי ריבוע — ולכן גדל פי 2. השטח, לעומתו, גדל פי 4: π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi לעומת 9π9\pi.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe