סדרות ותבניות — לבדוק לפי הסדר

On elev Bar-Ilan, this lesson comes with:

  • Every exercise checked the moment it is answered
  • A hint exactly when it is needed
  • Progress tracking, chapter by chapter
Practise on elev Bar-Ilan

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Logical reasoning

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכל מבחן כניסה יש כמה שאלות של סדרות. הן נראות כמו חידות, אבל רובן שייכות לחמש משפחות בלבד. מי שבודק אותן לפי סדר קבוע פותר סדרה בחצי דקה; מי שמנחש — מתבלבל דווקא בקלות.

כרטיס שיטה: חמש שאלות, לפי הסדר

  1. 5,  8,  11,  145,\; 8,\; 11,\; 14

    1. הפרש קבוע? מוסיפים בכל פעם אותו מספר

  2. 2,  5,  11,  20,  322,\; 5,\; 11,\; 20,\; 32

    2. הפרשים שגדלים? כותבים שורת הפרשים מתחת, ובודקים אותה

  3. 3,  6,  12,  243,\; 6,\; 12,\; 24

    3. כפל? כל איבר פי מספר קבוע מהקודם

  4. 1,  50,  3,  45,  91,\; 50,\; 3,\; 45,\; 9

    4. שתי סדרות שזורות? מקומות אי-זוגיים לחוד, זוגיים לחוד

  5. 2,  6,  3,  9,  62,\; 6,\; 3,\; 9,\; 6

    5. שני כללים לסירוגין? חץ אחרי חץ, אותם שני כללים

  6. 1,  1,  2,  3,  51,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5

    ואם אף אחד לא עובד: כל איבר נבנה משני הקודמים

השלבים: (1) כותבים את ההפרשים בין כל שני איברים. (2) אם הם קבועים — סיימנו. (3) אם לא — מסתכלים עליהם כעל סדרה חדשה. (4) אם ההפרשים קופצים למעלה ולמטה — בודקים שזירה או שני כללים. (5) לפני שבוחרים תשובה, בודקים את הכלל על כל האיברים, לא רק על שניים.

הפרשים שגדלים — שורה מתחת לשורה

כשההפרשים אינם קבועים, הם עצמם בונים סדרה. לפעמים ההפרש של ההפרשים קבוע, ולפעמים כל הפרש פי מספר קבוע מהקודם. רק אחרי שמזהים את הסדרה של ההפרשים — ממשיכים אותה צעד אחד.

Interactive activity

2,5,11,20,32,…2, 5, 11, 20, 32, \ldots — מהו האיבר הבא?

Do the activity on elev Bar-Ilan

Interactive activity

3,4,6,10,18,…3, 4, 6, 10, 18, \ldots — וכאן?

Do the activity on elev Bar-Ilan

המלכודת הכי נפוצה: לחזור על ההפרש האחרון.

32+12=4432 + 12 = 44
32+15=4732 + 15 = 47

ההפרשים 3,6,9,123, 6, 9, 12 ממשיכים ל-1515 — הם לא נעצרים

18+8=2618 + 8 = 26
18+16=3418 + 16 = 34

ההפרשים 1,2,4,81, 2, 4, 8 מוכפלים ב-22: הבא הוא 1616

מה הבא בסדרה 1,4,9,16,251, 4, 9, 16, 25? ולמה ההפרשים שלה הם 3,5,7,93, 5, 7, 9?

Show the answer and the solution

3636: אלה הריבועים 12,22,32,…1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots. ההפרש בין שני ריבועים עוקבים הוא תמיד מספר אי-זוגי: (n+1)2−n2=2n+1(n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1.

שני כללים, או שתי סדרות?

שתי משפחות נראות דומות, אבל הן שונות. בשני כללים לסירוגין יש סדרה אחת, וכל איבר נבנה מהקודם לו — פעם בכלל אחד, פעם בשני. בסדרה שזורה יש שתי סדרות נפרדות: כל איבר נבנה מהאיבר שני מקומות לפניו.

Interactive activity

2,6,3,9,6,18,…2, 6, 3, 9, 6, 18, \ldots — איזה כלל על כל חץ?

Do the activity on elev Bar-Ilan

Interactive activity

1,50,3,45,9,40,27,…1, 50, 3, 45, 9, 40, 27, \ldots — מהו האיבר ה-1212?

Do the activity on elev Bar-Ilan

בסדרה שזורה, האיבר הבא שייך לסדרה השנייה.

27×3=8127 \times 3 = 81
40−5=3540 - 5 = 35

האיבר השמיני נמצא במקום זוגי, ולכן ממשיך את 50,45,4050, 45, 40

Did your child get it?

On elev Bar-Ilan, every exercise is checked the moment your child answers, and a hint comes right when they get stuck.

Practise on elev Bar-Ilan

מחזור: רק השארית קובעת

כשתבנית חוזרת על עצמה כל kk איברים, אין צורך לכתוב 100100 איברים. מחלקים את המקום ב-kk, והשארית אומרת איפה במחזור נמצאים. שארית 00 פירושה האיבר האחרון במחזור — לא הראשון.

Interactive activity

אדום

כחול

ירוק

צהוב

לבן

חמישה צבעים חוזרים — מה הצבע במקום ה-8383?

Do the activity on elev Bar-Ilan

Interactive activity

מהי ספרת האחדות של 3453^{45}?

כפל אחד ב-33

30=13^{0} = 1, ואחריו 3,9,7,1,…3, 9, 7, 1, \ldots — מחזור באורך 44. כמה סיבובים שלמים יש ב-4545, ומה נשאר?

Do the activity on elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: ימי השבוע

היום יום שלישי. איזה יום יהיה בעוד 100100 ימים?

100=7×14+2100 = 7 \times 14 + 2

אחרי 1414 שבועות שלמים — שוב יום שלישי

+2\text{+2}

ועוד יומיים: רביעי, חמישי

שתי טעויות של שארית.

84=4×21→184 = 4 \times 21 \to \text{1}
84=4×21→484 = 4 \times 21 \to \text{4}

שארית 00 היא סוף המחזור — האיבר האחרון שלו

345→45:33^{45} \to 45 : 3
345→45:43^{45} \to 45 : 4

מחלקים באורך המחזור (44), לא בבסיס

תבניות מצוירות

בתבנית מצוירת סופרים את השלבים הראשונים ורושמים טבלה: שלב, ומספר. אחר כך מחפשים כלל בטבלה, בדיוק כמו בסדרה. וזהירות מספירה כפולה: פינה ששייכת לשתי צלעות נספרת פעם אחת.

Interactive activity

מדרגות של ריבועים

בכל שלב נוספת עמודה גבוהה ב-11 מהעמודה הקודמת: 1,3,6,10,…1, 3, 6, 10, \ldots

Do the activity on elev Bar-Ilan

Interactive activity

אריחים

מסגרת ריבועית: בכל צלע 1212 אריחים. כמה אריחים במסגרת?

מי שכופל 4×124 \times 12 סופר כל פינה פעמיים.

Do the activity on elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: ריבועים מגפרורים

ריבוע אחד בנוי מ-44 גפרורים, שני ריבועים צמודים — מ-77, שלושה — מ-1010. כמה גפרורים צריך ל-2020 ריבועים?

4,  7,  104,\; 7,\; 10

כל ריבוע חדש מוסיף 33 גפרורים: הצלע המשותפת כבר קיימת

4+3×19=614 + 3 \times 19 = 61

הריבוע הראשון, ועוד 1919 ריבועים

3×20+1=613 \times 20 + 1 = 61

או בכלל: 3n+13n + 1

במגדל המדרגות: 1,3,6,101, 3, 6, 10 ריבועים. כמה ריבועים בשלב ה-1010?

Show the answer and the solution

5555: 1+2+3+…+101 + 2 + 3 + \ldots + 10. קיצור: 10×112=55\frac{10 \times 11}{2} = 55 — זוגות של מספרים מהקצוות, שכל אחד מהם סכומו 1111.

סיכום השיטה: הפרשים ← הפרשי הפרשים או כפל ← שזירה או שני כללים ← שני הקודמים. מחזור ← שארית (ושארית 00 = הסוף). תבנית מצוירת ← טבלה, ואז כלל. ותמיד: בודקים את הכלל על כל האיברים.

Keep practising on elev Bar-Ilan

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Bar-IlanDiscover elev Bar-Ilan for this grade

This lesson is part of the subscription. A full chapter for free: Logical reasoning