הנדסת המרחב — תיבה וקובייה

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לגוף יש שני גדלים שאינם עולים יחד באותו קצב: הנפח, כמה הוא מכיל, ושטח הפנים, כמה נייר צריך כדי לעטוף אותו. המבחן שואל את שניהם על אותו גוף, ומוסיף גוף שנבנה משניים — כי שם ההבדל ביניהם הופך מכריע.

שתי הנוסחאות

V=a⋅b⋅cS=2(ab+bc+ac)\begin{aligned}V &= a \cdot b \cdot c \\ \qquad S &= 2(ab + bc + ac)\end{aligned}

תיבה — נפח ושטח פנים

לתיבה שש פאות, בשלושה זוגות זהים: הקדמית והאחורית, העליונה והתחתונה, הימנית והשמאלית. לכן כל מכפלה מופיעה פעמיים. בקובייה כולן שוות, ולכן S=6a2S = 6a^{2} ו-V=a3V = a^{3}.

המלכודת הראשונה: לבלבל בין היחידות, ולכן בין הגדלים.

V=40V = 40
V=16V = 16

נפח בסמ״ק, שטח פנים בסמ״ר — ו-4040 הוא שטח הפנים, לא הנפח.

S=ab+bc+acS = ab + bc + ac
S=2(ab+bc+ac)S = 2(ab + bc + ac)

כל פאה מופיעה פעמיים

הדבקה: הנפח מתחבר, שטח הפנים לא

כשמדביקים שני גופים פאה אל פאה, הנפח הוא סכום הנפחים — החומר לא נעלם. שטח הפנים קטן מסכום השניים, כי שתי הפאות שנדבקו זו לזו נעלמות מבחוץ: אחת מכל גוף.

שתי קוביות שמקצוען 55

מדביקים פאה אל פאה.

V=125+125=250\begin{aligned}V &= 125 + 125 \\ &= 250\end{aligned}

הנפח מתחבר

S=150+150−2×25=250\begin{aligned}S &= 150 + 150 - 2 \times 25 \\ &= 250\end{aligned}

שתי פאות נעלמו

בהדבקה נעלמות שתי פאות, לא אחת. מי שמחסיר פאה אחת מקבל תשובה שנראית סבירה ואינה נכונה — וזה בדיוק המסיח שמופיע.

מדביקים שתי תיבות 2×3×42 \times 3 \times 4 ס״מ, פאה 3×43 \times 4 אל פאה 3×43 \times 4. בכמה קטן שטח הפנים לעומת סכום שטחי השתיים?

Show the answer and the solution

ב-2424 סמ״ר. הפאה המודבקת שטחה 3×4=123 \times 4 = 12 סמ״ר, ונעלמות שתיים כאלה: 2×12=242 \times 12 = 24. מי שמחסיר 1212 בלבד נותן את התשובה שהמסיח מחכה לה.

חיתוך: הנפח קטן, שטח הפנים לא בהכרח

כשחותכים קובייה קטנה מפינה של תיבה, הנפח קטן — ברור. אבל שטח הפנים אינו משתנה: שלוש הפאות שנעלמו מהפינה מוחלפות בשלוש פאות חדשות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה שנוצרה. זו ההפתעה שהמבחן בונה עליה שאלה שלמה.

מתיבה חותכים קובייה מפינה. מה קורה לנפח ולשטח הפנים?

Show the answer and the solution

הנפח קטן, ושטח הפנים נשאר שווה. כל פאה שנעלמה מבחוץ הוחלפה בפאה חדשה זהה בתוך הגומה. אותה תופעה כמו גזירת פינה ממלבן במישור — שם ההיקף נשמר, כאן שטח הפנים.

היחס בין שטח פנים לנפח

המבחן מגדיר לפעמים מדד: שטח הפנים חלקי הנפח. לקובייה הוא 6a2a3=6a\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a} — כלומר ככל שהקובייה גדולה יותר, המדד קטן. הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים, ולכן גופים גדולים ״חסכוניים״ יותר בעטיפה.

לשתי קוביות, שמקצועותיהן 22 ו-44. איזו מהן «חסכונית» יותר בעטיפה ביחס לתכולתה?

Show the answer and the solution

זו שמקצועה 44. המדד שלה הוא 64=1.5\frac{6}{4} = 1.5, ואילו של הקטנה 62=3\frac{6}{2} = 3 — פי שניים יותר עטיפה לכל יחידת נפח. זו הסיבה שקופסאות גדולות משתלמות יותר לאריזה, ושגוף קטן מתקרר מהר יותר.

6a\frac{6}{a}

המדד לקובייה

a=1⇒6a = 1 \Rightarrow 6

הגדול ביותר

a=6⇒1a = 6 \Rightarrow 1

שטח פנים שווה לנפח

a>6⇒<1a > 6 \Rightarrow < 1

הנפח עובר את השטח

Exercises

Exercise 1

623
אורך 66, רוחב 33, גובה 22

מהו נפחה של תיבה שאורכה 66, רוחבה 33 וגובהה 22 ס״מ? (בסמ״ק)

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

6⋅3⋅2=366 \cdot 3 \cdot 2 = 36

מכפלת שלוש המידות

3636 סמ״ק. שטח הפנים של אותה תיבה הוא 7272 סמ״ר — מספר אחר, ויחידה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

623
אורך 66, רוחב 33, גובה 22

מהו שטח הפנים של אותה תיבה — 6×3×26 \times 3 \times 2 ס״מ? (בסמ״ר)

Show the answer and the solution

Answer: 72

Worked solution:

2(18+6+12)2(18 + 6 + 12)

שלושת הזוגות

2×36=722 \times 36 = 72

7272 סמ״ר. מי שכותב 3636 שכח להכפיל ב-22 — כל פאה מופיעה פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 3

5555
שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מדביקים שתי קוביות שמקצוען 55 ס״מ, פאה אל פאה. מהו שטח הפנים של הגוף שהתקבל?

  1. 150150 סמ״ר
  2. 250250 סמ״ר
  3. 300300 סמ״ר
  4. 275275 סמ״ר
Show the answer and the solution

Answer: B 250250 סמ״ר

Worked solution:

150+150−2×25150 + 150 - 2 \times 25

שתי פאות נעלמות

=250= 250

250250 סמ״ר. 275275 היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת בלבד; 300300 של מי שלא החסיר כלום.

Check the answer on elev

Exercise 4

5555
שתי קוביות מודבקות פאה אל פאה.

מהו נפחו של אותו גוף — שתי קוביות שמקצוען 55 ס״מ, מודבקות? (בסמ״ק)

Show the answer and the solution

Answer: 250

Worked solution:

125+125=250125 + 125 = 250

החומר אינו נעלם

250250 סמ״ק. הנפח מתחבר במלואו — רק שטח הפנים מפסיד.

Check the answer on elev

Exercise 5

4441
החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

מקובייה שמקצועה 44 ס״מ מוציאים קובייה קטנה שמקצועה 11 ס״מ מאחת הפינות. מהו נפח הגוף שנשאר? (בסמ״ק)

Show the answer and the solution

Answer: 63

Worked solution:

43=644^{3} = 64

הנפח לפני

64−1=6364 - 1 = 63

פחות הקובייה שיצאה

6363 סמ״ק.

Check the answer on elev

Exercise 6

4441
החלק האפור הוא הפאות של החור שנוצר.

ובאותו גוף — מה קרה לשטח הפנים?

  1. קטן ל-9393 סמ״ר
  2. גדל ל-9999 סמ״ר
  3. נשאר 9696 סמ״ר
  4. קטן ל-9595 סמ״ר
Show the answer and the solution

Answer: C נשאר 9696 סמ״ר

Worked solution:

S=6×16=96\begin{aligned}S &= 6 \times 16 \\ &= 96\end{aligned}

לפני

−3+3=0-3 + 3 = 0

שלוש יצאו, שלוש נכנסו

נשאר 9696 סמ״ר. שלוש הפאות שנעלמו מהפינה הוחלפו בשלוש פאות באותו גודל בדיוק, בתוך הגומה.

Check the answer on elev

Exercise 7

לאיזו קובייה שטח הפנים והנפח שווים במספרם?

  1. לאף קובייה
  2. שמקצועה 66
  3. שמקצועה 11
  4. שמקצועה 33
Show the answer and the solution

Answer: B שמקצועה 66

Worked solution:

6a2=a36a^{2} = a^{3}
a=6a = 6

מחלקים ב-a2a^{2}

שמקצועה 66: 216216 סמ״ר ו-216216 סמ״ק. מתחת ל-66 שטח הפנים גדול יותר, מעליו הנפח.

Check the answer on elev

Exercise 8

333

מהו היחס בין שטח הפנים לנפח, בקובייה שמקצועה 33?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

6a2a3=6a\frac{6a^{2}}{a^{3}} = \frac{6}{a}

המדד

63=2\frac{6}{3} = 2

22. ככל שהקובייה גדלה המדד קטן: הנפח גדל מהר יותר משטח הפנים.

Check the answer on elev

Exercise 9

מדביקים שתי תיבות 2×3×42 \times 3 \times 4 ס״מ, פאה 3×43 \times 4 אל פאה 3×43 \times 4. מהו שטח הפנים של הגוף?

  1. 104104 סמ״ר
  2. 6868 סמ״ר
  3. 8080 סמ״ר
  4. 9292 סמ״ר
Show the answer and the solution

Answer: C 8080 סמ״ר

Worked solution:

52+52=10452 + 52 = 104

שתי התיבות בנפרד

104−2×12=80104 - 2 \times 12 = 80

שתי פאות 3×43 \times 4 נעלמות

8080 סמ״ר. 9292 היא התשובה של מי שהחסיר פאה אחת; 104104 של מי שלא החסיר כלל.

Check the answer on elev

Exercise 10

4322
שתי התיבות מודבקות בפאות של 3 על 4 ס״מ.

ומהו נפחו של אותו גוף מודבק? (בסמ״ק)

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

24+24=4824 + 24 = 48

הנפחים מתחברים

4848 סמ״ק. שימו לב להבדל: הנפח הוכפל בדיוק, שטח הפנים לא.

Check the answer on elev

Exercise 11

?

שטח הפנים של קובייה הוא 9696 סמ״ר. מהו אורך מקצועה? (בס״מ)

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

6a2=966a^{2} = 96
a2=16⇒a=4\begin{aligned}a^{2} &= 16 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים ב-66, ואז שורש

44 ס״מ. הדרך אחורה: קודם מחלקים ב-66 כדי לקבל פאה אחת, ורק אז מוציאים שורש.

Check the answer on elev

Exercise 12

1032
אורך 1010, רוחב 22, גובה 33

נפחה של תיבה 10×2×310 \times 2 \times 3 ס״מ הוא 6060 סמ״ק. מהו שטח פניה? (בסמ״ר)

Show the answer and the solution

Answer: 112

Worked solution:

2(20+6+30)2(20 + 6 + 30)

שלושת הזוגות

2×56=1122 \times 56 = 112

112112 סמ״ר. הנפח שנתון בשאלה אינו עוזר לחשב את שטח הפנים — הוא רק מפתה להשתמש בו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade