Ratio in geometry

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כשמותחים צורה פי kk — כל צלע כפול kk — הזוויות אינן זזות כלל, אבל לא כל הגדלים גדלים באותו קצב. זה הרעיון היחיד של העמוד, והוא מסביר את רוב השאלות ה«קשות» בפרק.

P2P1=kS2S1=k2V2V1=k3\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2 \qquad \frac{V_2}{V_1} \\ &= k^3\end{aligned}

היקף, שטח ונפח — כל אחד והחזקה שלו

kk

היקף הוא סכום של אורכים, ולכן הוא גדל פי kk, כמו כל אורך.

k⋅k=k2k \cdot k = k^2

שטח הוא אורך כפול אורך. שניהם גדלו פי kk.

k⋅k⋅k=k3k \cdot k \cdot k = k^3

נפח הוא שלושה אורכים שמוכפלים.

מספר החזקה הוא מספר האורכים שמוכפלים זה בזה. כך אין צורך לשנן.

צלעות משולש הוכפלו פי 3. פי כמה גדל שטחו?

Show the answer and the solution

פי 9. השטח הוא מכפלה של שני אורכים, וכל אחד מהם גדל פי 3.

היחס בין הצלעות לא זז

נקודה שנשאלת שוב ושוב: אם כל הצלעות הוכפלו באותו מספר, היחס ביניהן נשאר בדיוק כשהיה. זה בדיוק אותו כלל שראינו על מספרים — כפל שני הצדדים באותו גורם.

מותחים ובודקים

היחס בין הניצבים במשולש ישר זווית הוא 3:53 : 5. מאריכים כל צלע פי 2. מה קורה ליחס?

3x , 5x3x \ , \ 5x

הניצבים המקוריים

6x , 10x6x \ , \ 10x

אחרי ההכפלה

6x:10x=3:56x : 10x = 3 : 5

אותו יחס — ה-22 הצטמצם

שתי הטעויות של יחס בגאומטריה.

k=3 ⇒ S2S1=3\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 3\end{aligned}
S2S1=9\frac{S_2}{S_1} = 9

השטח לעולם אינו גדל כמו האורך. אם הצלעות פי 3 — השטח פי 9.

S2S1=16 ⇒ k=16\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 16\end{aligned}
k=16=4\begin{aligned}k &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

ובכיוון ההפוך: מיחס שטחים אל יחס הצלעות מוציאים שורש.

מלבן שצלעותיו ביחס נתון

בכיתה ח כותבים את הצלעות בעזרת אותיות, וכל שאלה על היקף או שטח הופכת לחישוב אלגברי קצר. אם רוחב מלבן 2a2a ואורכו 3a3a, אז:

2a:3a=2:32a : 3a = 2 : 3

היחס בין הרוחב לאורך — ה-aa מצטמצם.

P=2(2a+3a)=10a\begin{aligned}P &= 2(2a + 3a) \\ &= 10a\end{aligned}

ההיקף, כפונקציה של aa.

S=2a⋅3a=6a2\begin{aligned}S &= 2a \cdot 3a \\ &= 6a^2\end{aligned}

השטח — ולכן הוא נמדד ב-a2a^2.

מכפילים צלע אחת בלבד

מלבן שאורכו 3a3a ורוחבו 2a2a. מכפילים את הרוחב פי 2. מהו היחס בין שטח המלבן החדש לשטח המקורי?

S1=2a⋅3a=6a2\begin{aligned}S_1 &= 2a \cdot 3a \\ &= 6a^2\end{aligned}

השטח המקורי

S2=4a⋅3a=12a2\begin{aligned}S_2 &= 4a \cdot 3a \\ &= 12a^2\end{aligned}

הרוחב הוכפל, האורך לא

S2S1=12a26a2=2\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{12a^2}{6a^2} \\ &= 2\end{aligned}

היחס — 2:12 : 1

שימו לב להבדל: כאן הוכפלה צלע אחת בלבד, ולכן השטח גדל פי 2 ולא פי 4. הכלל k2k^2 תקף רק כשכל הצלעות גדלו באותו יחס.

משולשים בעלי אותו גובה

זה הכלי החזק ביותר בפרק. לשני משולשים עם אותו גובה, השטחים נמצאים ביחס הבסיסים.

S=a⋅h2⟹S1S2=a1a2\begin{aligned}S &= \frac{a \cdot h}{2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{S_1}{S_2} \\ &= \frac{a_1}{a_2}\end{aligned}

כשה-hh משותף, הוא מצטמצם

אין כאן שום נוסחה חדשה. הגובה מ-AA אל הישר BCBC הוא אותו גובה עצמו לשני המשולשים, כי שני הבסיסים יושבים על אותו ישר — ולכן הוא מצטמצם, ונשאר רק יחס הבסיסים.

נקודה DD על BCBC מקיימת BD:DC=2:5BD : DC = 2 : 5. מהו היחס בין שטח ABDABD לשטח כל המשולש ABCABC?

Show the answer and the solution

2:72 : 7. הבסיס BDBD הוא שתי מנות מתוך שבע, והגובה משותף — לכן גם השטח הוא 27\frac{2}{7} מן השלם.

יחס על קטע

כשנקודות יושבות על ישר אחד, היחס בין המרחקים נקרא לפעמים «חלוקת קטע». המהלך זהה, והמלכודת היחידה היא שכשמזיזים נקודה — שני המרחקים משתנים בבת אחת.

להזיז נקודה

על מסילה ישרה תלויות שלוש תמונות בנקודות AA, BB, CC, כאשר AB=160AB = 160 ס״מ ו-BC=240BC = 240 ס״מ. מזיזים את BB ב-40 ס״מ לכיוון AA. מהו היחס החדש AB:BCAB : BC?

AB=160−40=120\begin{aligned}AB &= 160 - 40 \\ &= 120\end{aligned}

התקרבנו ל-AA

BC=240+40=280\begin{aligned}BC &= 240 + 40 \\ &= 280\end{aligned}

ובאותה מידה התרחקנו מ-CC

120:280=3:7120 : 280 = 3 : 7

מחלקים ב-40

מה שקורה למרחק השני.

AB=120  BC=240\begin{aligned}AB &= 120 \ \\ \ BC &= 240\end{aligned}
AB=120  BC=280\begin{aligned}AB &= 120 \ \\ \ BC &= 280\end{aligned}

CC לא זזה, אבל BB כן — לכן BCBC גדל בדיוק במה ש-ABAB קטן. סכום שני הקטעים, ACAC, נשאר 400.

Exercises

הגדלת צורה

Exercise 1

צלעות משולש הוכפלו פי 4. פי כמה גדל שטחו?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

k=4k = 4

יחס ההגדלה

k2=16k^2 = 16

השטח גדל בריבוע היחס

ההיקף, לעומת זאת, גדל פי 4 בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 2

שטחו של ריבוע גדל פי 25 אחרי הגדלה. פי כמה גדלה כל צלע?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

k2=25k^2 = 25

נתון יחס השטחים

k=25=5\begin{aligned}k &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

מוציאים שורש

זה הכיוון ההפוך של הכלל: משטח לאורך מוציאים שורש, מאורך לשטח מעלים בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 3

בונים דגם של בניין בקנה מידה 1:5001 : 500. פי כמה גדול נפח הבניין האמיתי מנפח הדגם?

Show the answer and the solution

Answer: 125000000

Worked solution:

k=500k = 500

יחס האורכים

k3=5003k^3 = 500^3

נפח — שלושה אורכים

5003=125,000,000500^3 = 125{,}000{,}000

והשטח, לשם השוואה, גדול פי 5002=250,000500^2 = 250{,}000 בלבד. ההפרש בין החזקות הוא מה שמפתיע.

Check the answer on elev

Exercise 4

53
הניצבים ביחס 3 : 5

היחס בין הניצבים במשולש ישר זווית הוא 3:53 : 5. מאריכים כל צלע פי 2. מה קורה ליחס בין הניצבים?

  1. הופך ל-6:56 : 5
  2. נשאר 3:53 : 5
  3. הופך ל-9:259 : 25
  4. הופך ל-6:106 : 10 ולכן גדל
Show the answer and the solution

Answer: B נשאר 3:53 : 5

Worked solution:

6x:10x6x : 10x

אחרי ההכפלה

6x:10x=3:56x : 10x = 3 : 5

מצמצמים ב-2x2x

6:106 : 10 אינו יחס אחר — הוא אותו יחס, פשוט לא מצומצם. 9:259 : 25 הוא יחס השטחים, לא יחס הצלעות.

Check the answer on elev

מלבן עם אותיות

Exercise 5

3a3a2a2a
מלבן שצלעותיו 3a ו-2a

מלבן שאורכו 3a3a ורוחבו 2a2a. אם a=4a = 4 ס״מ, מהו שטחו בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

S=2a⋅3a=6a2\begin{aligned}S &= 2a \cdot 3a \\ &= 6a^2\end{aligned}

השטח באותיות

6⋅42=6⋅16=96\begin{aligned}6 \cdot 4^2 &= 6 \cdot 16 \\ &= 96\end{aligned}

מציבים

בדיקה ישירה: הצלעות 8 ו-12, ומכפלתן 96.

Check the answer on elev

Exercise 6

מלבן שאורכו 3a3a ורוחבו 2a2a. מכפילים את הרוחב פי 2 בלבד. פי כמה גדל השטח?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S1=6a2S_1 = 6a^2

המקורי

S2=4a⋅3a=12a2\begin{aligned}S_2 &= 4a \cdot 3a \\ &= 12a^2\end{aligned}

החדש

12a26a2=2\frac{12a^2}{6a^2} = 2

רק צלע אחת גדלה — ולכן הכלל k2k^2 אינו חל כאן. השטח גדל בדיוק פי מה שגדלה הצלע היחידה.

Check the answer on elev

Exercise 7

??2a2a
ההיקף 10a

היקף מלבן הוא 10a10a, ורוחבו 2a2a. מהו אורכו, במונחי aa? כתבו את המקדם של aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2(2a+ℓ)=10a2(2a + \ell) = 10a

נוסחת ההיקף

2a+ℓ=5a2a + \ell = 5a

מחלקים ב-2

ℓ=3a\ell = 3a

היחס בין הרוחב לאורך הוא לכן 2a:3a=2:32a : 3a = 2 : 3.

Check the answer on elev

משולשים בעלי אותו גובה

Exercise 8

במשולש ABCABC נקודה DD על BCBC, ו-CDBD=3\frac{CD}{BD} = 3. מהו היחס בין שטח ACDACD לשטח ADBADB? כתבו את המספר הראשון ביחס המצומצם (השני הוא 1).

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

CD=3k  BD=k\begin{aligned}CD &= 3k \ \\ \ BD &= k\end{aligned}
SACDSADB=3k⋅hk⋅h=3\begin{aligned}\frac{S_{ACD}}{S_{ADB}} &= \frac{3k \cdot h}{k \cdot h} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה משותף ומצטמצם

לשני המשולשים אותו קודקוד AA ובסיסים על אותו ישר — ולכן אותו גובה בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש ABCABC נקודה DD על BCBC מקיימת BD:DC=2:5BD : DC = 2 : 5. שטח ABCABC הוא 63 סמ״ר. מהו שטח ABDABD, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

2+5=72 + 5 = 7

הבסיס כולו — שבע מנות

SABD=27⋅63S_{ABD} = \frac{2}{7} \cdot 63

אותו גובה, בסיס של שתי מנות

=18= 18

שטח ADCADC הוא 45. בדיקה: 18+45=6318 + 45 = 63, והיחס 18:45=2:518 : 45 = 2 : 5.

Check the answer on elev

Exercise 10

אם תיכון במשולש מחלק את הצלע לשני חלקים שווים, שני המשולשים שנוצרים שווי שטח.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

BD=DCBD = DC

הגדרת תיכון

S1S2=BDDC=1\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= \frac{BD}{DC} \\ &= 1\end{aligned}

אותו גובה, בסיסים שווים

נכון. זה בדיוק המקרה 1:11 : 1 של הכלל — ולכן תיכון תמיד חוצה את שטח המשולש.

Check the answer on elev

יחס על קטע

Exercise 11

על מסילה ישרה AB=160AB = 160 ס״מ ו-BC=240BC = 240 ס״מ. מהו המספר הראשון ביחס המצומצם AB:BCAB : BC?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

160:240160 : 240
160 , 240 ⟶ מחלקים ב-80160 \ , \ 240 \ \longrightarrow \ \text{מחלקים } \text{ב-}80
2:32 : 3

האורך הכולל AC=400AC = 400 ס״מ, ואכן 160160 הם שתי חמישיות ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 12

אותה מסילה: AB=160AB = 160 ו-BC=240BC = 240 ס״מ. מזיזים את BB ב-40 ס״מ לכיוון AA. מהו המספר השני ביחס החדש המצומצם AB:BCAB : BC?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

AB=160−40=120\begin{aligned}AB &= 160 - 40 \\ &= 120\end{aligned}
BC=240+40=280\begin{aligned}BC &= 240 + 40 \\ &= 280\end{aligned}

מה ש-ABAB איבד, BCBC קיבל

120:280=3:7120 : 280 = 3 : 7

מחלקים ב-40

ACAC נשאר 400 — וזו הבדיקה: 120+280=400120 + 280 = 400.

Check the answer on elev

Exercise 13

אותה מסילה: AB=160AB = 160 ו-BC=240BC = 240 ס״מ. בכמה ס״מ צריך להזיז את BB לכיוון CC כדי שהיחס AB:BCAB : BC יהיה 1:11 : 1?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

AC=160+240=400\begin{aligned}AC &= 160 + 240 \\ &= 400\end{aligned}

האורך הכולל אינו משתנה

AB=BC=200\begin{aligned}AB &= BC \\ &= 200\end{aligned}

יחס 1:11 : 1 הוא אמצע הקטע

200−160=40200 - 160 = 40

בכמה זזה BB

השיטה: קודם מוצאים איפה BB צריכה לשבת, ורק אז מודדים את התזוזה.

Check the answer on elev

היקף ושטח

Exercise 14

לפניכם ריבוע שצלעו xx, ולידו משולש שווה צלעות שצלעו xx. מהו היחס בין היקף הריבוע להיקף המשולש?

  1. 3:43 : 4
  2. 4:34 : 3
  3. 16:916 : 9
  4. 1:11 : 1
Show the answer and the solution

Answer: B 4:34 : 3

Worked solution:

P□=4xP_{\square} = 4x

ארבע צלעות

P△=3xP_{\triangle} = 3x

שלוש צלעות

4x:3x=4:34x : 3x = 4 : 3

ה-xx מצטמצם

16:916 : 9 הוא יחס שטחים של צורות דומות — לא רלוונטי כאן, כי ריבוע ומשולש אינם דומים זה לזה.

Check the answer on elev

Exercise 15

מותחים צורה פי kk. מה גדל פי kk, ומה פי k2k^2?

  • גדל פי kk
  • גדל פי k2k^2
  • אורך אלכסון
  • אורך צלע
  • גובה
  • ההיקף
  • השטח
  • שטח פנים
Show the answer and the solution

Answer: ההיקף — גדל פי kk · השטח — גדל פי k2k^2 · אורך צלע — גדל פי kk · אורך אלכסון — גדל פי kk · שטח פנים — גדל פי k2k^2 · גובה — גדל פי kk

Worked solution:

כל צלע ⟶ k⋅צלע\text{כל צלע} \ \longrightarrow \ k \cdot \text{צלע}

זו הפעולה שמגדירה את המתיחה

P=∑צלעות ⟶ k⋅PP = \sum \text{צלעות} \ \longrightarrow \ k \cdot P

היקף, אלכסון וגובה — כולם אורכים

S=אורך⋅אורך ⟶ k2⋅SS = \text{אורך} \cdot \text{אורך} \ \longrightarrow \ k^2 \cdot S

שטח ושטח פנים — שני אורכים

כל מה שנמדד ביחידת אורך גדל פי kk. כל מה שנמדד ביחידת שטח — פי k2k^2.

Check the answer on elev

הגדלת צורה

Exercise 16

מותחים צורה כך שכל הצלעות גדלות פי kk. השלימו.

הצלעות פיההיקף פיהשטח פי
224
3________
____5____
10________
________16
Show the answer and the solution

Answer: 3: 3, 9 · 25 · 10: 10, 100 · 4

Worked solution:

k→k , k2k \rightarrow k \ , \ k^2

ההיקף פי kk, השטח פי k2k^2

16=4216 = 4^2

מהשטח חוזרים לצלע בשורש

בשורה האחרונה נתון השטח: מחפשים מספר שבריבוע נותן 16 — זה 4, וגם ההיקף פי 4.

Check the answer on elev

Exercise 17

מה הכלל שמופיע בטבלה של המתיחה?

  1. כשהצלעות גדלות פי kk, השטח גדל פי k2k^2
  2. ההיקף גדל פי k2k^2
  3. השטח גדל כמו הצלעות
  4. כשהצלעות גדלות פי kk, השטח גדל פי 2k2k
Show the answer and the solution

Answer: A כשהצלעות גדלות פי kk, השטח גדל פי k2k^2

Worked solution:

3→9 , 10→1003 \rightarrow 9 \ , \ 10 \rightarrow 100

השטח הוא ריבוע של מספר הפעמים

2k2k נכון רק במקרה כשהצלעות פי 2 (2⋅2=222 \cdot 2 = 2^2). בפי 3 כבר רואים: 9 ולא 6.

Check the answer on elev

Exercise 18

מלבן קטן 4×64 \times 6 ומלבן גדול 6×96 \times 9, כמו בציור. מהו היחס בין שטח הקטן לשטח הגדול?

  1. 9:49 : 4
  2. 4:94 : 9
  3. 3:23 : 2
  4. 2:32 : 3
Show the answer and the solution

Answer: B 4:94 : 9

Worked solution:

k=64=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{6}{4} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

כל צלע גדלה פי 1.51.5

24:54=4:924 : 54 = 4 : 9

השטחים

2:32 : 3 הוא יחס הצלעות. יחס השטחים הוא הריבוע שלו: 22:32=4:92^2 : 3^2 = 4 : 9.

Check the answer on elev

Exercise 19

המלבן 4×54 \times 5 הוא הגדלה של המלבן 2×32 \times 3 (ראו בציור).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

42=2≠53\frac{4}{2} = 2 \neq \frac{5}{3}

הצלעות לא גדלו באותו מספר

בהגדלה כל הצלעות גדלות פי אותו מספר. כאן הוסיפו 2 לכל צלע — וזה משנה את הצורה.

Check the answer on elev

Exercise 20

מגדילים מלבן פי 3. מה נשאר אותו דבר, ומה משתנה?

  • נשאר אותו דבר
  • משתנה
  • אורך האלכסון
  • ההיקף
  • הזוויות
  • היחס בין האורך לרוחב
  • היחס בין האלכסון לצלע
  • השטח
Show the answer and the solution

Answer: היחס בין האורך לרוחב — נשאר אותו דבר · הזוויות — נשאר אותו דבר · ההיקף — משתנה · השטח — משתנה · היחס בין האלכסון לצלע — נשאר אותו דבר · אורך האלכסון — משתנה

Worked solution:

3a:3b=a:b3a : 3b = a : b

יחס בין שני אורכים — ה-3 מצטמצם

אורכים גדלים (גם האלכסון), יחסים בין אורכים וזוויות — לא זזים.

Check the answer on elev

Exercise 21

aaaa
שטח 5 סמ״ר
3a3a3a3a
כל צלע פי 3

שורה אחת שגויה — מצאו אותה. נתון: צלעות ריבוע גדלו פי 3, והשטח שלו היה 5 סמ״ר.

k=3k = 3
k2=9k^2 = 9
S2=3⋅5=15\begin{aligned}S_2 &= 3 \cdot 5 \\ &= 15\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: S2=3⋅5=15S_2 = 3 \cdot 5 = 15 → S2=9⋅5=45S_2 = 9 \cdot 5 = 45

Worked solution:

S2=k2⋅S1S_2 = k^2 \cdot S_1

השטח פי k2k^2

9⋅5=459 \cdot 5 = 45

חישבו את k2k^2 בשורה השנייה — ושכחו להשתמש בו.

Check the answer on elev

Exercise 22

מותחים צורה פי kk. התאימו כל kk למה שקורה לשטח.

  • k=2k = 2
  • k=3k = 3
  • k=12k = \frac{1}{2}
  • k=10k = 10
  • השטח פי 14\frac{1}{4}
  • השטח פי 100
  • השטח פי 4
  • השטח פי 9
Show the answer and the solution

Answer: k=2k = 2 — השטח פי 4 · k=3k = 3 — השטח פי 9 · k=12k = \frac{1}{2} — השטח פי 14\frac{1}{4} · k=10k = 10 — השטח פי 100

Worked solution:

(12)2=14\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

הקטנה: השטח קטן עוד יותר

גם בהקטנה הכלל זהה: חצי מכל צלע — רבע מהשטח.

Check the answer on elev

Exercise 23

aaa
לפני: נפח 5 סמ״ק
2a2a2a
אחרי: כל צלע פי 2

קובייה הוגדלה כך שכל צלע גדלה פי 2. הנפח שלה היה 5 סמ״ק. מהו הנפח עכשיו, בסמ״ק?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

k3=23=8\begin{aligned}k^3 &= 2^3 \\ &= 8\end{aligned}

נפח הוא שלושה אורכים

5×8=405 \times 8 = 40

נפח גדל פי k3k^3, לא פי kk ולא פי k2k^2.

Check the answer on elev

מלבן עם אותיות

Exercise 24

5x3x
הניצבים ביחס 3 : 5

הניצבים של משולש ישר זווית הם ביחס 3:53 : 5, ושטח המשולש 30 סמ״ר. מהו אורך הניצב הארוך, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

3x⋅5x2=30\frac{3x \cdot 5x}{2} = 30

הניצבים הם 3x3x ו-5x5x

15x2=60  x2=4\begin{aligned}15x^2 &= 60 \ \\ \ x^2 &= 4\end{aligned}
x=2  5x=10\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ 5x &= 10\end{aligned}

הניצב הארוך

בבדיקה: הניצבים 6 ו-10, ו-6⋅102=30\frac{6 \cdot 10}{2} = 30. מי שענה 5 עצר ב-xx ושכח לכפול.

Check the answer on elev

Exercise 25

5a5a2a2a
היקף 56 ס״מ

הצלעות של מלבן ביחס 2:52 : 5, והיקפו 56 ס״מ. כותבים את הצלעות 2a2a ו-5a5a. מהו aa?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

P=2(2a+5a)=14a\begin{aligned}P &= 2(2a + 5a) \\ &= 14a\end{aligned}

ההיקף

14a=5614a = 56
a=4a = 4

הצלעות: 8 ו-20

ההיקף הוא פעמיים כל צלע, ולכן 14a14a ולא 7a7a.

Check the answer on elev

משולשים בעלי אותו גובה

Exercise 26

מלבן חולק לשני מלבנים בעלי אותו גובה, והבסיסים שלהם ביחס 3:13 : 1. כל משבצת היא אותו שטח. צבעו את השטח של המלבן הגדול.

Show the answer and the solution

Worked solution:

3+1=43 + 1 = 4

ארבעה חלקים

34⋅12=9\frac{3}{4} \cdot 12 = 9

משבצות

אותו גובה — ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים, 3:13 : 1: 9 משבצות מול 3.

Check the answer on elev

Exercise 27

ABCDH

במשולש ABCABC הנקודה DD על BCBC, ו-BD:DC=3:5BD : DC = 3 : 5. שטח ABCABC הוא 48 סמ״ר. השלימו.

שטח המשולש ABDABD הוא ____ סמ״ר, ושטח ADCADC הוא ____ סמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: שטח המשולש ABDABD הוא 18 סמ״ר, ושטח ADCADC הוא 30 סמ״ר.

Worked solution:

3+5=83 + 5 = 8

שמונה חלקים בבסיס

48:8=648 : 8 = 6

חלק אחד של שטח

3×6=18  5×6=30\begin{aligned}3 \times 6 &= 18 \ \\ \ 5 \times 6 &= 30\end{aligned}

הגובה מ-AA משותף לשני המשולשים, ולכן השטחים ביחס הבסיסים 3:53 : 5.

Check the answer on elev

יחס על קטע

Exercise 28

הקטע ABAB באורך 15 ס״מ, והנקודה CC עליו מקיימת AC:CB=2:3AC : CB = 2 : 3. סמנו את CC (המרחק מ-AA, שנמצאת ב-0).

Show the answer and the solution

Worked solution:

2+3=52 + 3 = 5

חמישה חלקים

15:5=3  2×3=6\begin{aligned}15 : 5 &= 3 \ \\ \ 2 \times 3 &= 6\end{aligned}

AC

AC=6AC = 6 ו-CB=9CB = 9, ו-6:9=2:36 : 9 = 2 : 3.

Check the answer on elev

הגדלת צורה

Exercise 29

74
לפני
2112
אחרי: כל צלע פי 3

הניצבים של משולש ישר זווית הם ביחס 4:74 : 7. מגדילים כל צלע פי 3, והניצבים נהיים 12 ו-21. לכן היחס בין הניצבים השתנה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

12:21=4:712 : 21 = 4 : 7

מחלקים ב-3

12:2112 : 21 הוא אותו יחס כמו 4:74 : 7, רק לא מצומצם. כשכל הצלעות גדלות פי אותו מספר, היחס ביניהן לא זז.

Check the answer on elev

Exercise 30

52
לפני
208
אחרי: כל צלע פי 4

הניצבים של משולש ישר זווית הם ביחס 2:52 : 5. מגדילים כל צלע פי 4. מה היחס בין הניצבים עכשיו?

  1. 4:254 : 25
  2. 8:58 : 5
  3. 8:208 : 20 — יחס גדול יותר
  4. 2:52 : 5 — היחס לא השתנה
Show the answer and the solution

Answer: D 2:52 : 5 — היחס לא השתנה

Worked solution:

2×4=8  5×4=20\begin{aligned}2 \times 4 &= 8 \ \\ \ 5 \times 4 &= 20\end{aligned}

הניצבים החדשים

8:20=2:58 : 20 = 2 : 5

מצמצמים ב-4

המלכודת: לחשוב ש-8:208 : 20 הוא יחס חדש. הוא שווה ל-2:52 : 5. ו-4:254 : 25 הוא יחס השטחים של שני משולשים כאלה, לא יחס הניצבים.

Check the answer on elev

מלבן עם אותיות

Exercise 31

א. מהו היחס בין הרוחב לאורך, לפני השינוי?

רוחב : אורך = ____ : ____

Show the answer and the solution

Answer: רוחב : אורך = 2 : 5

Worked solution:

2a:5a=2:52a : 5a = 2 : 5

ה-aa מצטמצם

הסדר: קודם הרוחב, כמו בשאלה.

Check the answer on elev

Exercise 32

ב. מהו שטח המלבן לפני השינוי?

  1. 7a7a
  2. 10a10a
  3. 10a210a^2
  4. 14a14a
Show the answer and the solution

Answer: C 10a210a^2

Worked solution:

S=5a⋅2a=10a2\begin{aligned}S &= 5a \cdot 2a \\ &= 10a^2\end{aligned}

אורך כפול רוחב

14a14a הוא ההיקף, ו-7a7a חצי ממנו. ובשטח, a⋅a=a2a \cdot a = a^2.

Check the answer on elev

Exercise 33

ג. מהו היחס בין הרוחב לאורך אחרי השינוי?

  1. 5:45 : 4
  2. 2:52 : 5
  3. 4:104 : 10
  4. 4:54 : 5
Show the answer and the solution

Answer: D 4:54 : 5

Worked solution:

4a:5a=4:54a : 5a = 4 : 5

הרוחב החדש 4a4a

הרוחב גדל והאורך לא — לכן היחס השתנה. רק כשכל הצלעות גדלות יחד היחס נשמר.

Check the answer on elev

Exercise 34

ד. מהו היחס בין השטח החדש לשטח הקודם?

  1. 4:14 : 1
  2. 2:12 : 1
  3. 1:21 : 2
  4. 1:11 : 1
Show the answer and the solution

Answer: B 2:12 : 1

Worked solution:

S2=5a⋅4a=20a2\begin{aligned}S_2 &= 5a \cdot 4a \\ &= 20a^2\end{aligned}

השטח החדש

20a2:10a2=2:120a^2 : 10a^2 = 2 : 1

רק צלע אחת גדלה פי 2, ולכן השטח פי 2 ולא פי 4.

Check the answer on elev

Exercise 35

בציור: «בית» — מלבן שצלעותיו 3x3x ו-xx, ומעליו משולש שווה שוקיים ששוקיו 2x2x. בסיס המשולש הוא הצלע העליונה של המלבן. מהו היחס בין היקף המלבן להיקף המשולש?

  1. 2:12 : 1
  2. 8:78 : 7
  3. 1:11 : 1
  4. 4:54 : 5
Show the answer and the solution

Answer: B 8:78 : 7

Worked solution:

Pמלבן=2(3x+x)=8x\begin{aligned}P_{\text{מלבן}} &= 2(3x + x) \\ &= 8x\end{aligned}
Pמשולש=2x+2x+3x=7x\begin{aligned}P_{\text{משולש}} &= 2x + 2x + 3x \\ &= 7x\end{aligned}

בסיס המשולש הוא הצלע העליונה של המלבן, 3x3x

8x:7x=8:78x : 7x = 8 : 7

ה-xx מצטמצם

הבסיס של המשולש הוא הצלע העליונה של המלבן, 3x3x. מי שקיבל 4:54 : 5 שכח אותו.

Check the answer on elev

Exercise 36

בית אחר: מלבן שצלעותיו 4x4x ו-2x2x, ומעליו משולש שווה שוקיים ששוקיו 3x3x, על הצלע העליונה של המלבן. מהו היחס בין היקף המלבן להיקף המשולש?

  1. 3:23 : 2
  2. 12:712 : 7
  3. 6:56 : 5
  4. 5:65 : 6
Show the answer and the solution

Answer: C 6:56 : 5

Worked solution:

Pמלבן=2(4x+2x)=12x\begin{aligned}P_{\text{מלבן}} &= 2(4x + 2x) \\ &= 12x\end{aligned}
Pמשולש=3x+3x+4x=10x\begin{aligned}P_{\text{משולש}} &= 3x + 3x + 4x \\ &= 10x\end{aligned}
12x:10x=6:512x : 10x = 6 : 5

מצמצמים ב-2x2x

12:712 : 7 שכח שהבסיס של המשולש הוא 4x4x, ו-5:65 : 6 הפך את הסדר.

Check the answer on elev

יחס על קטע

Exercise 37

על תלייה ישרה שלושה קרסים AA, BB, CC, עם AB=160AB = 160 ס״מ ו-BC=240BC = 240 ס״מ. מזיזים את הקרס BB ב-60 ס״מ לכיוון AA. מהו היחס החדש AB:BCAB : BC?

  1. 1:61 : 6
  2. 1:41 : 4
  3. 1:21 : 2
  4. 1:31 : 3
Show the answer and the solution

Answer: D 1:31 : 3

Worked solution:

AB=160−60=100\begin{aligned}AB &= 160 - 60 \\ &= 100\end{aligned}
BC=240+60=300\begin{aligned}BC &= 240 + 60 \\ &= 300\end{aligned}

CC לא זז, ולכן BCBC גדל

100:300=1:3100 : 300 = 1 : 3

1:21 : 2 שכח ש-BCBC גדל ב-60: הוא חישב 100:240100 : 240 ועיגל. המרחק AC=400AC = 400 נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 38

קרס AA ב-0 וקרס CC ב-400 ס״מ. הקרס BB ב-160. מזיזים את BB ב-60 ס״מ לכיוון AA. סמנו את המקום החדש של BB.

Show the answer and the solution

Worked solution:

160−60=100160 - 60 = 100

לכיוון AA — המספר קטן

ועכשיו AB=100AB = 100 ו-BC=300BC = 300: היחס 1:31 : 3.

Check the answer on elev

Exercise 39

קרס AA ב-0 וקרס CC ב-400 ס״מ. איפה צריך לתלות את BB כדי ש-AB:BC=3:5AB : BC = 3 : 5?

Show the answer and the solution

Worked solution:

3+5=83 + 5 = 8

שמונה חלקים ב-ACAC

400:8=50400 : 8 = 50

חלק אחד

AB=3×50=150\begin{aligned}AB &= 3 \times 50 \\ &= 150\end{aligned}

בדיקה: BC=250BC = 250, ו-150:250=3:5150 : 250 = 3 : 5.

Check the answer on elev

Exercise 40

על תלייה אחרת AB=150AB = 150 ס״מ ו-BC=250BC = 250 ס״מ. השלימו את היחס המצומצם.

AB:BCAB : BC = ____ : ____

Show the answer and the solution

Answer: AB:BCAB : BC = 3 : 5

Worked solution:

150:250=3:5150 : 250 = 3 : 5

מחלקים ב-50

מחלקים את שני הצדדים במחלק המשותף הגדול ביותר, 50.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade