A logarithm against a number

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

השיטה בארבעה צעדים

כל מספר cc אפשר לכתוב כלוגריתם: c=log⁡a(ac)c = \log_a(a^c). כך אי-השוויון הופך להשוואה בין שני לוגריתמים באותו בסיס.

11

תחום: f(x)>0f(x) > 0

22

כותבים את cc כ-log⁡a(ac)\log_a(a^c)

33

משווים את מה שבתוך הלוגריתמים: אם a>1a > 1 הסימן נשאר, אם 0<a<10 < a < 1 הסימן מתהפך

44

חותכים עם התחום

למה ב-log⁡3x>2\log_3 x > 2 אין צורך לחתוך עם התחום בסוף?

Show the answer and the solution

הפתרון הוא x>9x > 9. כל xx כזה כבר חיובי, ולכן התחום x>0x > 0 מתקיים מעצמו. כשמה שבתוך הלוגריתם גדול ממספר חיובי, התחום נבלע בפתרון.

בסיס קטן מ-1: הסימן מתהפך

שוכחים להפוך את הסימן כשהבסיס קטן מ-1.

log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≥4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \geq 4
log⁡12(x+3)≥log⁡124⇒x+3≤4\log_{\frac{1}{2}}(x+3) \geq \log_{\frac{1}{2}} 4 \Rightarrow x + 3 \leq 4

פונקציה יורדת מחליפה את הסדר. בדיקה: x=5x = 5 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, וזה לא גדול מ-−2-2.

עם ln

הבסיס של ln⁡\ln הוא e>1e > 1, ולכן הסימן נשאר. ואת 00 כותבים כ-ln⁡1\ln 1.

מתי ln⁡\ln חיובי

נפתור את ln⁡(2x−1)>0\ln(2x - 1) > 0.

2x−1>0⇒x>122x - 1 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{1}{2}

תחום

ln⁡(2x−1)>ln⁡1⇒2x−1>1\ln(2x - 1) > \ln 1 \Rightarrow 2x - 1 > 1

0=ln⁡10 = \ln 1

x>1x > 1

נמצא כולו בתוך התחום

בדיקה מהירה: מציבים מספר אחד מתוך הפתרון ומספר אחד מחוץ לו. אם התשובה נכונה, הראשון מקיים את אי-השוויון והשני לא.

Exercises

Exercise 1

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים log⁡2x<5\log_2 x < 5?

Show the answer and the solution

Answer: 31

Worked solution:

x>0x > 0

תחום

log⁡2x<log⁡232⇒x<32\log_2 x < \log_2 32 \Rightarrow x < 32

בסיס גדול מ-11

0<x<320 < x < 32

3232 עצמו לא מקיים: log⁡232=5\log_2 32 = 5, ו-5<55 < 5 אינו נכון.

Check the answer on elev

Exercise 2

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡3(x−2)≤2\log_3(x - 2) \leq 2?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x−2>0⇒x>2x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

תחום

x−2≤9⇒x≤11x - 2 \leq 9 \Rightarrow x \leq 11

2=log⁡392 = \log_3 9

2<x≤112 < x \leq 11
x∈{3,4,…,11}x \in \{3, 4, \ldots, 11\}

תשעה מספרים

בלי התחום הייתם סופרים אינסוף שלמים שליליים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו הפתרון של log⁡12x>3\log_{\frac{1}{2}} x > 3?

  1. x>18x > \frac{1}{8}
  2. x>8x > 8
  3. 0<x<180 < x < \frac{1}{8}
  4. x<18x < \frac{1}{8}
Show the answer and the solution

Answer: C 0<x<180 < x < \frac{1}{8}

Worked solution:

x>0x > 0

תחום

3=log⁡12183 = \log_{\frac{1}{2}} \tfrac{1}{8}

כי (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

x<18x < \tfrac{1}{8}

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

0<x<180 < x < \tfrac{1}{8}

x<18x < \frac{1}{8} לבד שגוי: הוא כולל מספרים שליליים, שם הלוגריתם אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו הפתרון של log⁡5(2x+1)≥1\log_5(2x + 1) \geq 1?

  1. −12<x≤2-\frac{1}{2} < x \leq 2
  2. x≤2x \leq 2
  3. x≥2x \geq 2
  4. x≥3x \geq 3
Show the answer and the solution

Answer: C x≥2x \geq 2

Worked solution:

2x+1>0⇒x>−122x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\tfrac{1}{2}

תחום

2x+1≥52x + 1 \geq 5

1=log⁡551 = \log_5 5, בסיס גדול מ-11

x≥2x \geq 2

כבר בתוך התחום

כאן התחום נבלע בפתרון, ואין מה לחתוך.

Check the answer on elev

Exercise 5

הפתרון של ln⁡x<1\ln x < 1 הוא x<ex < e.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x>0x > 0

תחום

x<ex < e
0<x<e0 < x < e

חסר התחום. x=−1x = -1 מקיים x<ex < e, אבל ln⁡(−1)\ln(-1) אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו המספר השלם הגדול ביותר שמקיים ln⁡(x+4)≤0\ln(x + 4) \leq 0?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

x+4>0⇒x>−4x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4

תחום

x+4≤1⇒x≤−3x + 4 \leq 1 \Rightarrow x \leq -3

0=ln⁡10 = \ln 1

−4<x≤−3-4 < x \leq -3

הפתרון קטע קצר. השלם היחיד בו הוא −3-3.

Check the answer on elev

Exercise 7

השלימו את הפתרון של log⁡0.1x≥−1\log_{0.1} x \geq -1.

0<x≤0 < x \leq ____

Show the answer and the solution

Answer: 0<x≤0 < x \leq 10

Worked solution:

−1=log⁡0.110-1 = \log_{0.1} 10

כי 0.1−1=100.1^{-1} = 10

x≤10x \leq 10

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

0<x≤100 < x \leq 10

עם התחום

מי ששכח להפוך את הסימן כתב x≥10x \geq 10.

Check the answer on elev

Exercise 8

שורה אחת שגויה בפתרון של log⁡13(x−1)>−2\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) > -2. מצאו אותה.

x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1
−2=log⁡139-2 = \log_{\frac{1}{3}} 9
x−1>9x - 1 > 9
x>10x > 10
Show the answer and the solution

Answer: x−1>9x - 1 > 9 → x−1<9x - 1 < 9

Worked solution:

x−1<9⇒x<10x - 1 < 9 \Rightarrow x < 10

בסיס 13\frac{1}{3}: הסימן מתהפך

1<x<101 < x < 10

עם התחום

השורה x−1>9x - 1 > 9 שכחה שהבסיס קטן מ-11.

Check the answer on elev

Exercise 9

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4(3x−2)<2\log_4(3x - 2) < 2?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

3x−2>0⇒x>233x - 2 > 0 \Rightarrow x > \tfrac{2}{3}

תחום

3x−2<16⇒x<63x - 2 < 16 \Rightarrow x < 6

2=log⁡4162 = \log_4 16

23<x<6\tfrac{2}{3} < x < 6
x∈{1,2,3,4,5}x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

x=0x = 0 לא נכלל: 3⋅0−2=−23 \cdot 0 - 2 = -2.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו הפתרון של log⁡2(x2−1)<3\log_2(x^2 - 1) < 3?

  1. −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<31 < x < 3
  3. x<−1x < -1 או x>1x > 1
  4. −3<x<3-3 < x < 3
Show the answer and the solution

Answer: A −3<x<−1-3 < x < -1 או 1<x<31 < x < 3

Worked solution:

x2−1>0⇒x<−1 או x>1x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 1

תחום

x2−1<8⇒−3<x<3x^2 - 1 < 8 \Rightarrow -3 < x < 3

3=log⁡283 = \log_2 8

−3<x<−1 או 1<x<3-3 < x < -1 \ \text{או} \ 1 < x < 3

חיתוך

−3<x<3-3 < x < 3 כולל את x=0x = 0, שבו x2−1=−1x^2 - 1 = -1.

Check the answer on elev

Exercise 11

אילו ערכים מקיימים log⁡12x>−1\log_{\frac{1}{2}} x > -1?

  • מקיים
  • לא מקיים
  • x=−1x = -1
  • x=0.5x = 0.5
  • x=1.9x = 1.9
  • x=1x = 1
  • x=2x = 2
  • x=3x = 3
Show the answer and the solution

Answer: x=0.5x = 0.5 — מקיים · x=1x = 1 — מקיים · x=1.9x = 1.9 — מקיים · x=2x = 2 — לא מקיים · x=3x = 3 — לא מקיים · x=−1x = -1 — לא מקיים

Worked solution:

−1=log⁡122-1 = \log_{\frac{1}{2}} 2
0<x<20 < x < 2

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

x=2x = 2 נותן שוויון, לא אי-שוויון חזק. ו-x=−1x = -1 מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהו הערך הגדול ביותר של xx שמקיים log⁡12(x−3)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) \geq -3?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

x>3x > 3

תחום

−3=log⁡128-3 = \log_{\frac{1}{2}} 8
x−3≤8⇒x≤11x - 3 \leq 8 \Rightarrow x \leq 11

הסימן מתהפך

3<x≤113 < x \leq 11

x=11x = 11 נותן log⁡128=−3\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3, והסימן ≥\geq מכיל את השוויון.

Check the answer on elev

Exercise 13

כמה מספרים שלמים מקיימים log⁡4x<2\log_4 x < 2?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

x>0x > 0

תחום

2=log⁡416⇒x<162 = \log_4 16 \Rightarrow x < 16

הבסיס 44 גדול מ-11

0<x<160 < x < 16
x∈{1,2,…,15}x \in \{1, 2, \ldots, 15\}

00 ו-1616 לא נכללים: log⁡40\log_4 0 לא מוגדר, ו-log⁡416=2\log_4 16 = 2 אינו קטן מ-22.

Check the answer on elev

Exercise 14

מהו הפתרון של log⁡14x<−1\log_{\frac{1}{4}} x < -1?

  1. x<4x < 4
  2. 0<x<40 < x < 4
  3. x>14x > \frac{1}{4}
  4. x>4x > 4
Show the answer and the solution

Answer: D x>4x > 4

Worked solution:

−1=log⁡144-1 = \log_{\frac14} 4

כי (14)−1=4\left(\frac14\right)^{-1} = 4

x>4x > 4

הבסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

x>4x > 4 כבר בתוך התחום x>0x > 0. מי ששכח להפוך את הסימן בחר 0<x<40 < x < 4.

Check the answer on elev

Exercise 15

השלימו את הפתרון של log⁡0.2(2x−3)>−1\log_{0.2}(2x - 3) > -1.

____ <x<< x < ____

Show the answer and the solution

Answer: 1.5 <x<< x < 4

Worked solution:

2x−3>0⇒x>1.52x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5

תחום

−1=log⁡0.25-1 = \log_{0.2} 5

כי 0.2−1=50.2^{-1} = 5

2x−3<5⇒x<42x - 3 < 5 \Rightarrow x < 4

בסיס קטן מ-11: הסימן מתהפך

1.5<x<41.5 < x < 4

הגבול השמאלי בא מהתחום, והימני מההשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 16

מהו הפתרון של log⁡2(x−3)<0\log_2(x - 3) < 0?

  1. 3<x<53 < x < 5
  2. x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. 3<x<43 < x < 4
Show the answer and the solution

Answer: D 3<x<43 < x < 4

Worked solution:

x>3x > 3

תחום

0=log⁡21⇒x−3<10 = \log_2 1 \Rightarrow x - 3 < 1
x<4x < 4
3<x<43 < x < 4

את 00 כותבים כ-log⁡21\log_2 1. בלי התחום, x=0x = 0 היה נראה כפתרון.

Check the answer on elev

Exercise 17

הפתרון של log⁡12(5−x)<0\log_{\frac{1}{2}}(5 - x) < 0 הוא x<4x < 4.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

תחום

5−x>15 - x > 1

0=log⁡1210 = \log_{\frac12} 1, והסימן מתהפך

x<4x < 4

כבר בתוך x<5x < 5

כאן התחום נבלע בפתרון. כדאי לבדוק: x=4.5x = 4.5 נותן log⁡120.5=1>0\log_{\frac12} 0.5 = 1 > 0, ולכן הוא לא בפתרון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade