The logarithm: domain and monotonicity · Logarithmic inequalities · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מהו לוגריתם

$\log_a b$ הוא המעריך $c$ שעבורו $a^c = b$ . הוא עונה על השאלה: באיזו חזקה צריך להעלות את $a$ כדי לקבל $b$ ?

c = \log_a b

בדיוק כאשר $a^c = b$ . ההגדרה דורשת $a > 0$ , $a \neq 1$ ו- $b > 0$

שני מקרים מוכרים: $\ln x$ הוא הלוגריתם בבסיס $e \approx 2.718$ , ו- $\log x$ הוא הלוגריתם בבסיס $10$ .

כמה זה $\log_2 8$ ? וכמה זה $\log_{\frac{1}{2}} 8$ ?

Show the answer and the solution

$\log_2 8 = 3$ , כי $2^3 = 8$ . ו- $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$ , כי $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$ .

תחום ההגדרה

חזקה של בסיס חיובי היא תמיד חיובית. לכן $\log_a b$ מוגדר רק כאשר $b > 0$ .

f(x) > 0

התנאי לכך ש- $\log_a f(x)$ מוגדר. זה התנאי הראשון בכל אי-שוויון לוגריתמי

תחום של ביטוי ריבועי

נמצא את תחום ההגדרה של $\log_3(x^2 - 4x)$ .

x^2 - 4x > 0

הביטוי שבתוך הלוגריתם חיובי

x(x-4) > 0

מפרקים לגורמים. השורשים: $0$ ו- $4$

x < 0 \quad \text{או} \quad x > 4

פרבולה "מחייכת": חיובית מחוץ לשורשים

הבסיס מחליט: עולה או יורדת

a > 1

$\log_a x$ עולה: מספר גדול יותר נותן לוגריתם גדול יותר. $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2$

0 < a < 1

$\log_a x$ יורדת: מספר גדול יותר נותן לוגריתם קטן יותר. $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 > \log_a x_2$

$\ln x$ ו- $\log x$ שתיהן עולות, כי $e > 1$ ו- $10 > 1$ . בבסיס בין $0$ ל- $1$ צריך לעצור ולחשוב.

מי גדול יותר: $\log_{0.5} 3$ או $\log_{0.5} 7$ ?

Show the answer and the solution

$\log_{0.5} 3$ . הבסיס $0.5$ קטן מ- $1$ , ולכן הפונקציה יורדת: $3 < 7$ נותן $\log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 7$ .

משווים לוגריתמים בבסיס קטן מ-1 כאילו הם עולים.

2 < 5 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} 2 < \log_{\frac{1}{3}} 5

2 < 5 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 5

הבסיס $\frac{1}{3}$ קטן מ- $1$ : הפונקציה יורדת, והסדר מתהפך.

מתי הלוגריתם חיובי

a > 1

$\log_a x > 0$ כאשר $x > 1$ , ו- $\log_a x < 0$ כאשר $0 < x < 1$

0 < a < 1

הפוך: $\log_a x > 0$ כאשר $0 < x < 1$ , ו- $\log_a x < 0$ כאשר $x > 1$

בכל בסיס, $\log_a 1 = 0$ , כי $a^0 = 1$ . הנקודה $x = 1$ היא המקום שבו הלוגריתם מחליף סימן.

Exercises

Exercise 1

חשבו: $\log_2 32$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2^5 = 32

באיזו חזקה של $2$ מקבלים $32$ ?

\log_2 32 = 5

בודקים תמיד בכיוון ההפוך: $2^5 = 32$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו: $\log_{\frac{1}{3}} 9$ .

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{3}\right)^{c} &= 9 \\ &= 3^2\end{aligned}

\begin{aligned}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

מעריך שלילי הופך את השבר

\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2

בבסיס קטן מ- $1$ , מספר גדול מ- $1$ נותן לוגריתם שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו תחום ההגדרה של $\log_2(x - 3)$ ?

$x > 0$
$x \geq 3$
$x > 3$
$x < 3$

Show the answer and the solution

Answer: C $x > 3$

Worked solution:

x - 3 > 0

הביטוי בתוך הלוגריתם חיובי ממש

x > 3

לא $x \geq 3$ : עבור $x = 3$ מקבלים $\log_2 0$ , שאינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו תחום ההגדרה של $\ln(4 - x^2)$ ?

$x < 2$
$-2 < x < 2$
$x < -2$ או $x > 2$
$-2 \leq x \leq 2$

Show the answer and the solution

Answer: B $-2 < x < 2$

Worked solution:

4 - x^2 > 0

x^2 < 4

-2 < x < 2

ריבוע קטן מ- $4$ : בין $-2$ ל- $2$

טעות נפוצה: לכתוב $x < 2$ בלבד ולשכוח שגם $x = -3$ נותן $4 - 9 < 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הפונקציה $f(x) = \log_{0.2} x$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

0 < 0.2 < 1

הבסיס קטן מ- $1$

\begin{aligned}\log_{0.2} 1 &= 0 \ \\ \ \log_{0.2} 5 &= -1\end{aligned}

מספר גדול יותר, לוגריתם קטן יותר

הפונקציה יורדת. מה שקובע הוא הבסיס, לא המספר שבתוך הלוגריתם.

Check the answer on elev

Exercise 6

$\ln 0.5 < 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e > 1 \ , \ 0 < 0.5 < 1

\ln 0.5 \approx -0.693

בבסיס גדול מ- $1$ , הלוגריתם של מספר בין $0$ ל- $1$ שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

מיינו את הפונקציות: עולה או יורדת?

עולה
יורדת

$\ln x$
$\log x$
$\log_{\frac{1}{2}} x$
$\log_{0.9} x$
$\log_{1.25} x$
$\log_3 x$

Show the answer and the solution

Answer: $\log_3 x$ — עולה · $\ln x$ — עולה · $\log x$ — עולה · $\log_{1.25} x$ — עולה · $\log_{\frac{1}{2}} x$ — יורדת · $\log_{0.9} x$ — יורדת

Worked solution:

a > 1 \Rightarrow \text{עולה}

$3$ , $e$ , $10$ ו- $1.25$

0 < a < 1 \Rightarrow \text{יורדת}

$\frac{1}{2}$ ו- $0.9$

$1.25$ קרוב ל- $1$ , אבל גדול ממנו: הפונקציה עולה, לאט.

Check the answer on elev

Exercise 8

איזו טענה נכונה?

אי אפשר לדעת בלי מחשבון
$\log_{0.3} 4 > \log_{0.3} 6$
$\log_{0.3} 4 < \log_{0.3} 6$
$\log_{0.3} 4 = \log_{0.3} 6$

Show the answer and the solution

Answer: B $\log_{0.3} 4 > \log_{0.3} 6$

Worked solution:

0 < 0.3 < 1

הפונקציה יורדת

4 < 6 \Rightarrow \log_{0.3} 4 > \log_{0.3} 6

הסדר מתהפך

אין צורך במחשבון: מספיק לדעת אם הבסיס גדול או קטן מ- $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו המספר השלם הקטן ביותר שנמצא בתחום ההגדרה של $\log_5(2x - 7)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

2x - 7 > 0

x > 3.5

x = 4

השלם הראשון אחרי $3.5$

$x = 3$ נותן $2 \cdot 3 - 7 = -1$ : הלוגריתם לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 10

כמה מספרים שלמים נמצאים בתחום ההגדרה של $\log(9 - x^2)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

9 - x^2 > 0 \Rightarrow -3 < x < 3

x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}

$x = \pm 3$ לא נכללים: שם $9 - x^2 = 0$ , ו- $\log 0$ אינו מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 11

השלימו: $\log_{\frac{1}{2}} x > 0$ בדיוק כאשר

$0 < x <$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $0 < x <$ 1

Worked solution:

\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0

נקודת החלפת הסימן

0 < x < 1

הבסיס קטן מ- $1$ : חיובי בין $0$ ל- $1$

בבסיס גדול מ- $1$ זה היה $x > 1$ . כאן הכל הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 12

שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\log_2(x^2 - 4x) \ \text{מוגדר} \iff x^2 - 4x > 0

x(x - 4) > 0

0 < x < 4

Show the answer and the solution

Answer: $0 < x < 4$ → $x < 0 \quad \text{או} \quad x > 4$

Worked solution:

x(x-4) > 0

מכפלה חיובית: שני הגורמים באותו סימן

x < 0 \ \text{או} \ x > 4

בין השורשים הפרבולה שלילית. למשל $x = 2$ : $2 \cdot (-2) = -4 < 0$ .

Check the answer on elev

מהו לוגריתם

תחום ההגדרה

הבסיס מחליט: עולה או יורדת

מתי הלוגריתם חיובי

Exercises

Keep practising on elev