Medians · Special lines of the triangle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

גזרו משולש מקרטון, כל משולש שתרצו, ונסו לאזן אותו על קצה של עיפרון. יש נקודה אחת בלבד שבה הוא לא נופל. איך מוצאים אותה בלי לנסות? מחברים כל קודקוד לאמצע הצלע שממול, ושלושת הקטעים האלה נפגשים בדיוק שם.

D

E

ו-

F

הם אמצעי הצלעות. שלושת התיכונים

AD

BE

ו-

CF

נפגשים בנקודה

G

מה משותף לשלושת הקטעים $AD$ , $BE$ ו- $CF$ ? ומה ההבדל בינם לבין גובה?

Show the answer and the solution

כל אחד מהם יוצא מקודקוד ומגיע לאמצע הצלע שממול: $BD = DC$ , $AE = EC$ , $AF = FB$ . גובה, לעומת זאת, יוצא מקודקוד ומאונך לצלע. לתיכון לא אכפת מהזווית, לגובה לא אכפת מהאמצע.

הגדרה

BD = DC

תיכון במשולש הוא קטע המחבר קודקוד עם אמצע הצלע שממולו: $AD$ תיכון כאשר $D$ אמצע $BC$ . לכל משולש שלושה תיכונים.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

משפט: שלושת התיכונים במשולש נחתכים בנקודה אחת. הנקודה הזאת נקראת נקודת מפגש התיכונים, וזאת בדיוק נקודת האיזון של משולש הקרטון. המשפט נכון בכל משולש: חד זוויות, ישר זווית וקהה זווית.

ויש למשפט חלק שני, שהוא זה שמשמש בחישובים: נקודת המפגש מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$ . החלק שקרוב לקודקוד גדול פי שניים מהחלק שקרוב לצלע.

\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}

$G$ נקודת מפגש התיכונים, $AD$ תיכון. $AG$ הוא החלק שליד הקודקוד.

AG = 2 \cdot GD

החלק ליד הקודקוד כפול מהחלק ליד הצלע

AG = \tfrac{2}{3} AD

שני שלישים מהתיכון

GD = \tfrac{1}{3} AD

שליש מהתיכון

במשולש $ABC$ התיכון $AD$ באורך $12$ , ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מהם $AG$ ו- $GD$ ?

Show the answer and the solution

$AG = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ ו- $GD = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ . בדיקה: $8 + 4 = 12$ , ו- $8 : 4 = 2 : 1$ .

מהחלק הקטן אל התיכון השלם

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 2.5$ ו- $BE = 9$ . מצאו את $AD$ ואת $BG$ .

\begin{aligned}AD &= 3 \cdot GD \\ &= 3 \cdot 2.5 \\ &= 7.5\end{aligned}

$GD$ הוא שליש מהתיכון (נקודת מפגש התיכונים מחלקת ביחס $2:1$ )

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

$BG$ הוא החלק שליד הקודקוד $B$ , שני שלישים מ- $BE$

\begin{aligned}GE &= 9 - 6 \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה: $6 : 3 = 2 : 1$ ✓

תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

AD

תיכון,

AH

הגובה לצלע

BC

. שני המשולשים

ABD

ו-

ADC

חולקים את אותו גובה.

למשולשים $ABD$ ו- $ADC$ יש אותו גובה $AH$ , כי שניהם יוצאים מהקודקוד $A$ והבסיסים שלהם מונחים על אותו ישר $BC$ . והבסיסים שלהם שווים, $BD = DC$ , כי $AD$ תיכון. לכן:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AH}{2} \\ &= \frac{DC \cdot AH}{2} \\ &= S_{ADC}\end{aligned}

כל תיכון חוצה את שטח המשולש: $S_{ABD} = S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC}$ .

שטח המשולש $ABC$ הוא $30$ סמ״ר, ו- $AD$ תיכון. מהו שטח המשולש $ABD$ ? והאם המשולשים $ABD$ ו- $ADC$ חופפים?

Show the answer and the solution

$S_{ABD} = 15$ סמ״ר, חצי מהשטח. אבל לא בהכרח חופפים: $AB$ ו- $AC$ יכולים להיות שונים. שטחים שווים אינם צורות שוות.

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

M

אמצע היתר

AC

. הקטע

BM

הוא התיכון ליתר.

\begin{aligned}\angle B &= 90^\circ \\ \ AM &= MC \ \Rightarrow \ BM \\ &= \frac{AC}{2}\end{aligned}

משפט: במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

ויש גם משפט הפוך: אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע, המשולש ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת בקודקוד שממנו יוצא התיכון. כך מוכיחים זווית ישרה בלי למדוד אף זווית.

מהניצבים אל התיכון ליתר

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 5$ ו- $BC = 12$ . $M$ אמצע היתר $AC$ . מצאו את $BM$ .

\begin{aligned}AC^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 13\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

במשולש ישר זווית היתר באורך $20$ . באיזה מרחק נמצא אמצע היתר מקודקוד הזווית הישרה?

Show the answer and the solution

$10$ . המרחק הזה הוא התיכון ליתר, וגם $AM = MC = 10$ : אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים.

בכל שאלה שבה מופיע «אמצע היתר», כתבו מיד: התיכון ליתר שווה למחצית היתר. ובכל שאלה עם «נקודת מפגש התיכונים», כתבו מיד: $2:1$ .

שלוש טעויות של התיכון.

AG = \tfrac{1}{2} AD

AG = \tfrac{2}{3} AD

נקודת המפגש אינה אמצע התיכון. היא מחלקת אותו ביחס $2:1$ , והחלק הגדול ליד הקודקוד.

BM = \tfrac{1}{2} AB

BM = \tfrac{1}{2} AC

התיכון ליתר שווה לחצי היתר, לא לחצי ניצב. קודם מזהים מהו היתר: הצלע שמול הזווית הישרה.

AD \perp BC

BD = DC

תיכון אינו גובה. הוא מאונך לצלע רק במשולש שווה שוקיים, ורק התיכון לבסיס.

Exercises

Exercise 1

בשרטוט, $D$ היא אמצע הצלע $BC$ . איזה שם נכון לקטע $AD$ ?

גובה
אנך אמצעי
תיכון
חוצה זווית

Show the answer and the solution

Answer: C תיכון

Worked solution:

BD = DC

הקטע מגיע לאמצע הצלע שממול הקודקוד

הנכונה: תיכון. גובה היה צריך להיות מאונך ל- $BC$ , וחוצה זווית היה צריך לחלק את $\angle A$ . על אף אחד מהם לא נאמר דבר.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $AD = 15$ . מצאו את $AG$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}

נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס $2:1$

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 15 \\ &= 10\end{aligned}

החלק ליד הקודקוד הוא שני שלישים

$AG = 10$ ו- $GD = 5$ . מי שכתב $7.5$ חילק את התיכון לשני חלקים שווים, וזה נכון רק לתיכון עצמו על הצלע, לא לנקודת המפגש.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 4$ . מצאו את אורך התיכון $AD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

GD = \tfrac{1}{3} AD

החלק ליד הצלע הוא שליש מהתיכון

\begin{aligned}AD &= 3 \cdot 4 \\ &= 12\end{aligned}

כופלים ב- $3$

$AD = 12$ , ו- $AG = 8$ . $GD$ הוא החלק הקטן, ולכן כופלים ב- $3$ ולא ב- $1.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

M

אמצע היתר

AC

. הקטע

BM

הוא התיכון ליתר.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 6$ ו- $BC = 8$ . $M$ אמצע היתר $AC$ . מצאו את $BM$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100 \ \Rightarrow \ AC \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}BM &= \frac{AC}{2} \\ &= 5\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

$BM = 5$ . קודם היתר, ואז חצי ממנו. מי שכתב $3$ או $4$ חילק ניצב לשניים.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: בכל משולש, תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים חופפים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S_{ABD} = S_{ADC}

תיכון מחלק לשני משולשים שווי שטח: אותו גובה, בסיסים שווים

\begin{aligned}AB &= 5 \\ \ AC &= 9\end{aligned}

דוגמה נגדית: במשולש כזה $AB \neq AC$ , ולכן $\triangle ABD$ ו- $\triangle ADC$ אינם חופפים

הטענה לא נכונה. שטחים שווים, כן; חופפים, לא. הם חופפים רק כשהמשולש שווה שוקיים והתיכון יוצא מקודקוד הראש.

Check the answer on elev

Exercise 6

שטח המשולש $ABC$ הוא $48$ סמ״ר, ו- $AD$ תיכון. מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

BD = DC

$AD$ תיכון

\begin{aligned}S_{ABD} &= S_{ADC} \\ &= \frac{48}{2} \\ &= 24\end{aligned}

אותו גובה מ- $A$ ובסיסים שווים: תיכון חוצה את השטח

$24$ סמ״ר. התיכון חוצה את השטח בכל משולש, לא רק בשווה שוקיים.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ , $G$ נקודת מפגש התיכונים ו- $AD$ תיכון באורך $18$ . השלימו.

$AG =$ ____ , $GD =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $AG =$ 12 , $GD =$ 6

Worked solution:

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

שני שלישים ליד הקודקוד

\begin{aligned}GD &= 18 - 12 \\ &= 6\end{aligned}

השליש הנותר. בדיקה: $12 : 6 = 2 : 1$ ✓

$AG = 12$ ו- $GD = 6$ . הסכום חייב לתת את התיכון השלם, $18$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $AB = 26$ . מהו $CM$ ?

$6.5$
אי אפשר לדעת בלי הניצבים
$26$
$13$

Show the answer and the solution

Answer: D $13$

Worked solution:

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= \frac{26}{2} \\ &= 13\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

הנכונה: $13$ . הניצבים בכלל לא נחוצים: המשפט מדבר על היתר בלבד. $6.5$ הוא רבע מהיתר, טעות של «חצי מחצי».

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 7.5$ ו- $AB = 9$ . מצאו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot BM \\ &= 15\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן היתר כפול מהתיכון

\begin{aligned}BC^2 &= 15^2 - 9^2 \\ &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

משפט פיתגורס

BC = 12

שורש

$BC = 12$ . הצעד הראשון הוא מהתיכון אל היתר: $AC = 15$ . מי שהציב $7.5$ בפיתגורס במקום $15$ קיבל שורש של מספר שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 10

AD

תיכון,

AH

הגובה לצלע

BC

. שני המשולשים

ABD

ו-

ADC

חולקים את אותו גובה.

במשולש $ABC$ , $AD$ תיכון לצלע $BC$ , ו- $AH$ הגובה לצלע $BC$ . הוכיחו: $S_{ABD} = S_{ADC}$ .

$AD$ תיכון לצלע $BC$
$AH \perp BC$

$S_{ABD} = S_{ADC}$

Show the answer and the solution

$BD = DC$ — הגדרת התיכון: $D$ אמצע $BC$
$AH$ הוא הגובה של $\triangle ABD$ וגם של $\triangle ADC$ — שני המשולשים חולקים את הקודקוד $A$ , והבסיסים $BD$ ו- $DC$ מונחים על אותו ישר $BC$
$S_{ABD} = \frac{BD \cdot AH}{2}$ , $S_{ADC} = \frac{DC \cdot AH}{2}$ — נוסחת שטח משולש
$S_{ABD} = S_{ADC}$ — בשני השטחים אותו גובה $AH$ ובסיסים שווים $BD = DC$

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AH}{2} \\ &= \frac{DC \cdot AH}{2} \\ &= S_{ADC}\end{aligned}

אותו גובה, בסיסים שווים

הרעיון כולו: גובה משותף. הגובה $AH$ יכול ליפול גם מחוץ לקטע $BD$ , במשולש קהה זווית, וההוכחה לא משתנה.

Check the answer on elev

הגדרה

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת

תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

Exercises

Keep practising on elev