Solving together · Introduction to analytic geometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, כל אחת על צורה אחרת שחוזרת במבחנים: משולש ישר זווית, ישר עם פרמטר מול פרבולה, מעגל שמרכזו על ישר, משיק ושטח, ומרובע שצריך לזהות. בכל שלב אתם בוחרים את הצעד הבא; בחירה שגויה מסבירה למה ומאפשרת לנסות שוב.

לפני שלוחצים — אמרו לעצמכם את הצעד. הפער בין מה שחשבתם לבין הצעד הנכון הוא מה שמלמד, לא קריאת הפתרון. אחרי כל שאלה יש שאלת «תורכם» — פתרו אותה לבד לפני שפותחים את התשובה.

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

Interactive activity

שאלה 1

נתונות הנקודות $A(-1,2)$ , $B(3,4)$ ו- $C(5,0)$ . (א) הוכיחו כי המשולש $ABC$ ישר זווית. (ב) חשבו את שטחו. (ג) מצאו את משוואת המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים.

איך מוכיחים שיש במשולש זווית ישרה?

מחשבים את שלוש הצלעות ובודקים את משפט פיתגורס ההפוך.

Show the answer and the solution

הדרך הזאת מגיעה לתשובה, אבל היא ארוכה: שלושה אורכים עם שורשים. בשיפועים מספיקים שני חישובים קצרים — וזה הצעד שנבחר כאן.

מחשבים שיפועים של שתי צלעות ובודקים אם המכפלה $-1$ .

Show the answer and the solution

כן. מאונכות מזהים בשיפועים, וזה הכלי הקצר ביותר.

משרטטים ורואים שהזווית ב- $B$ נראית ישרה.

Show the answer and the solution

שרטוט אינו הוכחה. צריך נימוק מחושב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{3+1} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-4}{5-3} \\ &= -2\end{aligned}

המכפלה $\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1$ , ולכן $AB \perp BC$ והזווית הישרה ב- $B$ .

איך מחשבים את השטח?

$\frac{AB \cdot BC}{2}$ — מכפלת הניצבים חלקי 2.

Show the answer and the solution

כן. $AB$ ו- $BC$ הם הניצבים, כי הזווית הישרה ב- $B$ .

$\frac{AB \cdot AC}{2}$

Show the answer and the solution

$AC$ הוא היתר, לא ניצב. מכפלת ניצב ביתר אינה נותנת שטח.

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= \sqrt{20} \Rightarrow S \\ &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 10\end{aligned}

המשולש גם שווה שוקיים: שני הניצבים באורך $\sqrt{20}$ .

איפה מרכז המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים?

באמצע היתר $AC$ .

Show the answer and the solution

כן. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר, ולכן אמצע היתר רחוק באותה מידה משלושת הקודקודים.

בקודקוד $B$ , שבו הזווית הישרה.

Show the answer and the solution

$B$ נמצא על המעגל, לא במרכזו.

בנקודה $(0,0)$ .

Show the answer and the solution

אין שום נתון שקושר את הראשית למשולש.

\begin{aligned}M &= (2,1) \\ \quad R^2 &= \frac{AC^2}{4} \\ &= \frac{40}{4} \\ &= 10\end{aligned}

משוואת המעגל: $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . בדיקה ב- $B$ : $1+9=10$ .

Show the answer and the solution

(א) $m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$ . (ב) $S=10$ . (ג) $(x-2)^2+(y-1)^2=10$ . המלכודת ב-(ג): לחפש את המרכז בקודקוד הזווית הישרה.

Do the activity on elev

תורכם: הוכיחו שבמשולש $P(0,0)$ , $Q(1,3)$ , $R(7,1)$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטחו.

Show the answer and the solution

$m_{PQ}=3$ , $m_{QR}=\frac{1-3}{7-1}=-\frac{1}{3}$ , מכפלה $-1$ . $PQ=\sqrt{10}$ , $QR=\sqrt{40}$ , והשטח $\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}}{2}=\frac{20}{2}=10$ .

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

Interactive activity

שאלה 2

נתונים הפרבולה $y=x^2-2x+3$ והישר $y=kx+2$ . (א) לאילו ערכי $k$ הישר משיק לפרבולה? (ב) מצאו את נקודות ההשקה.

מה הצעד הראשון?

משווים את שני הביטויים של $y$ .

Show the answer and the solution

כן. נקודות המפגש מקיימות את שתי המשוואות.

גוזרים את הפרבולה.

Show the answer and the solution

בפרק הזה עוד אין נגזרת — ואין בה צורך: מספר נקודות המפגש נקבע מהמשוואה.

מציבים $x=0$ .

Show the answer and the solution

כך מוצאים רק את נקודת החיתוך עם ציר $y$ , לא את המפגש.

\begin{aligned}x^2 - 2x + 3 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 - (2+k)x + 1 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר.

מתי הישר משיק?

כאשר $\Delta > 0$ .

Show the answer and the solution

אז יש שתי נקודות מפגש — הישר חותך.

כאשר $\Delta = 0$ .

Show the answer and the solution

כן. פתרון יחיד — נקודת השקה אחת.

כאשר $k = 0$ בלבד.

Show the answer and the solution

$k=0$ הוא אחד הפתרונות — אבל יש עוד אחד. צריך לפתור, לא לנחש.

\begin{aligned}\Delta &= (2+k)^2 - 4 \\ &= 0 \Rightarrow 2 + k \\ &= \pm 2 \Rightarrow k \\ &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= -4\end{aligned}

שני ישרים משיקים.

איך מוצאים את נקודת ההשקה כש- $k=-4$ ?

מציבים $k=-4$ במשוואה ופותרים: $x^2+2x+1=0$ .

Show the answer and the solution

כן. הפתרון היחיד הוא שיעור ה- $x$ של ההשקה.

מציבים $x=-4$ בפרבולה.

Show the answer and the solution

$-4$ הוא ערך של $k$ , לא של $x$ .

\begin{aligned}k &= 0: \ (1,2); \qquad k \\ &= -4: \ (x+1)^2 \\ &= 0 \Rightarrow (-1,6)\end{aligned}

בדיקה בפרבולה: $1+2+3=6$ .

Show the answer and the solution

$k=0$ עם השקה ב- $(1,2)$ , ו- $k=-4$ עם השקה ב- $(-1,6)$ . המלכודת: לעצור אחרי ערך אחד של $k$ .

Do the activity on elev

תורכם: לאילו ערכי $k$ הישר $y=kx+1$ משיק לפרבולה $y=x^2+2x+5$ ?

Show the answer and the solution

$x^2+(2-k)x+4=0$ , $\Delta=(2-k)^2-16=0$ , ולכן $2-k=\pm 4$ : $k=-2$ או $k=6$ . ההשקות: $(-2,5)$ ו- $(2,13)$ .

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

Interactive activity

שאלה 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x+1$ , והמעגל עובר דרך $A(1,0)$ ו- $B(5,4)$ . מצאו את משוואת המעגל.

מה יודעים על מרכז מעגל שעובר דרך $A$ ו- $B$ ?

הוא אמצע הקטע $AB$ .

Show the answer and the solution

רק אם $AB$ קוטר — וזה לא נתון.

הוא נמצא על האנך האמצעי של $AB$ .

Show the answer and the solution

כן. המרכז במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ , וזה בדיוק האנך האמצעי.

הוא נמצא על הישר $AB$ .

Show the answer and the solution

אז הוא היה יכול להיות במרחק שווה מ- $A$ ומ- $B$ רק באמצע — שוב הנחה שאינה נתונה.

\begin{aligned}M_{AB} &= (3,2) \\ \ m_{AB} &= 1 \Rightarrow y - 2 \\ &= -(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -x + 5\end{aligned}

האנך האמצעי של $AB$ .

ואיך מוצאים את המרכז עצמו?

חותכים את האנך האמצעי עם הישר $y=x+1$ .

Show the answer and the solution

כן. המרכז נמצא על שני הישרים.

מציבים את $A$ בישר $y=x+1$ .

Show the answer and the solution

$A$ אינו המרכז — הוא נקודה על המעגל.

\begin{aligned}-x + 5 &= x + 1 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ y &= 3\end{aligned}

המרכז $(2,3)$ .

מה נשאר?

$R^2$ — המרחק בריבוע מהמרכז ל- $A$ .

Show the answer and the solution

כן, ובודקים גם עם $B$ .

$R$ — אורך הקטע $AB$ .

Show the answer and the solution

$AB$ הוא מיתר, לא רדיוס.

\begin{aligned}R^2 &= (2-1)^2 + (3-0)^2 \\ &= 10 \Rightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 \\ &= 10\end{aligned}

בדיקה ב- $B$ : $9+1=10$ .

Show the answer and the solution

$(x-2)^2+(y-3)^2=10$ . המלכודת: להניח שהמרכז הוא אמצע $AB$ — הנחה שאינה בנתונים.

Do the activity on elev

תורכם: מרכז מעגל נמצא על הישר $y=-x+7$ , והמעגל עובר דרך $A(1,2)$ ו- $B(5,2)$ . מהו $R^2$ ?

Show the answer and the solution

הקטע $AB$ אופקי, ולכן האנך האמצעי שלו אנכי: $x=3$ (אין כאן «הופכי בסימן הפוך» — לישר אנכי אין שיפוע). חיתוך עם $y=-x+7$ : המרכז $(3,4)$ . $R^2=2^2+2^2=8$ , ובדיקה עם $B$ : $4+4=8$ .

4. משיק למעגל ושטח משולש

Interactive activity

שאלה 4

\begin{aligned}x^2 + y^2 &= 25 \\ \quad A(-3,4)\end{aligned}

דרך הנקודה $A$ שעל המעגל העבירו משיק, והוא חותך את ציר $x$ בנקודה $P$ . $O$ ראשית הצירים. חשבו את שטח המשולש $OAP$ . לחצו «להתחיל».

A על המעגל

(-3)^2 + 4^2 = 25 \ \checkmark

תמיד בודקים קודם שהנקודה אכן על המעגל.

שיפוע הרדיוס

\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{-3-0} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז $O$ אל $A$ .

שיפוע המשיק

m_2 = \frac{3}{4}

הופכי בסימן הפוך.

משוואת המשיק

\begin{aligned}y - 4 &= \frac{3}{4}(x + 3) \Rightarrow y \\ &= \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\end{aligned}

ישר לפי נקודה ושיפוע.

הנקודה P

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= -\frac{25}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$ .

השטח

\begin{aligned}S &= \frac{OP \cdot 4}{2} \\ &= \frac{\frac{25}{3} \cdot 4}{2} \\ &= \frac{50}{3}\end{aligned}

הבסיס $OP$ על ציר $x$ , והגובה אליו הוא שיעור ה- $y$ של $A$ .

$S=\frac{50}{3}$ . המלכודת: אורך הוא חיובי — $OP=\frac{25}{3}$ , גם כש- $P$ משמאל לראשית.

Do the activity on elev

תורכם: המשיק למעגל $x^2+y^2=13$ בנקודה $(2,3)$ יוצר משולש עם הצירים. מהו שטחו?

Show the answer and the solution

שיפוע הרדיוס $\frac{3}{2}$ , שיפוע המשיק $-\frac{2}{3}$ : $y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}$ . חיתוכים: $(\frac{13}{2},0)$ ו- $(0,\frac{13}{3})$ . השטח $\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot\frac{13}{3}=\frac{169}{12}\approx 14.08$ .

5. איזה מרובע זה?

Interactive activity

שאלה 5

נתונות הנקודות $A(-2,1)$ , $B(2,3)$ , $C(4,-1)$ ו- $D(0,-3)$ . האם המרובע $ABCD$ הוא ריבוע? נמקו.

מאיפה מתחילים?

בודקים אם הצלעות הנגדיות מקבילות.

Show the answer and the solution

כן. זוג אחרי זוג: קודם מקבילית, אחר כך מה שמעבר לה.

בודקים שכל ארבע הצלעות שוות.

Show the answer and the solution

צלעות שוות נותנות מעוין — ומעוין אינו בהכרח ריבוע. זה חצי מהדרך.

מודדים את האלכסונים.

Show the answer and the solution

אפשרי, אבל זה כלי של מלבן. נתחיל מהבסיס — מקבילות.

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \quad m_{BC} &= m_{AD} \\ &= -2\end{aligned}

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות — מקבילית.

מה עוד חסר כדי שזה יהיה ריבוע?

זווית ישרה וזוג צלעות סמוכות שוות.

Show the answer and the solution

כן. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן; מלבן עם צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

שום דבר — מקבילית היא ריבוע.

Show the answer and the solution

לא כל מקבילית היא ריבוע. חסרות עוד שתי תכונות.

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot (-2) &= -1 \Rightarrow AB \perp BC; \quad AB^2 \\ &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

זווית ישרה, וצלעות סמוכות שוות.

Show the answer and the solution

כן, $ABCD$ ריבוע: מקבילית (שני זוגות מקבילים), עם זווית ישרה ועם צלעות סמוכות שוות. המלכודת: לעצור אחרי «ארבע צלעות שוות» — כך מוכיחים רק מעוין.

Do the activity on elev

תורכם: האם המרובע $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ הוא ריבוע?

Show the answer and the solution

לא. $m_{AB}=m_{DC}=\frac{1}{3}$ ו- $m_{BC}=m_{AD}=3$ — מקבילית. $AB^2=BC^2=10$ — מעוין. אבל $\frac{1}{3}\cdot 3=1\neq -1$ — אין זווית ישרה, ולכן זה מעוין שאינו ריבוע.

Exercises

Exercise 1

נתונות הנקודות $P(0,1)$ , $Q(2,5)$ ו- $R(10,1)$ . הוכיחו שבמשולש $PQR$ הזווית ב- $Q$ ישרה, וחשבו את שטח המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\begin{aligned}m_{PQ} &= 2 \\ \ m_{QR} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מכפלת השיפועים $-1$ — הזווית ב- $Q$ ישרה

\begin{aligned}PQ &= \sqrt{20} \\ \ QR &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורכי הניצבים

\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{80}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{1600}}{2} \\ &= 20\end{aligned}

$S=20$ . המלכודת: לקחת את $PR=10$ כניצב — $PR$ הוא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר $y=kx+2$ משיק לפרבולה $y=x^2+4x+6$ עבור שני ערכים של $k$ . מהו הערך החיובי?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 + 4x + 6 &= kx + 2 \Rightarrow x^2 + (4-k)x + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}\Delta &= (4-k)^2 - 16 \\ &= 0 \Rightarrow 4 - k \\ &= \pm 4\end{aligned}

משיק — $\Delta=0$

\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 8\end{aligned}

הערך החיובי: $8$

$k=8$ . המלכודת: לכתוב $4-k=4$ בלבד ולקבל רק $k=0$ — השורש של $16$ הוא $\pm 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

מרכז מעגל נמצא על הישר $y=x-1$ , והמעגל עובר דרך $A(0,5)$ ו- $B(4,3)$ . מצאו את $R^2$ .

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}M_{AB} &= (2,4) \\ \ m_{AB} &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

אמצע ושיפוע של $AB$

\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 2x\end{aligned}

האנך האמצעי

2x = x - 1 \Rightarrow (-1,-2)

המרכז — חיתוך עם הישר הנתון

\begin{aligned}R^2 &= 1^2 + 7^2 \\ &= 50\end{aligned}

המרחק בריבוע אל $A$ ; בדיקה עם $B$ : $25+25=50$

$R^2=50$ . המלכודת: המרכז אינו אמצע $AB$ — $(2,4)$ אינו על הישר $y=x-1$ בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 4

המשיק למעגל $x^2+y^2=10$ בנקודה $(1,3)$ יוצר משולש עם הצירים. חשבו את שטח המשולש, ועגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 16.67

Worked solution:

\begin{aligned}m_1 &= 3 \Rightarrow m_2 \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, ושיפוע המשיק המאונך לו

\begin{aligned}y - 3 &= -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}\end{aligned}

משוואת המשיק

(10,0), \ \left(0, \tfrac{10}{3}\right)

חיתוכים עם הצירים

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10}{3} \\ &= \frac{50}{3} \approx 16.67\end{aligned}

$\frac{50}{3}\approx 16.67$ . המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס כשיפוע המשיק — ישר כזה עובר דרך הראשית ואין משולש בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: המרובע $ABCD$ שקודקודיו $A(0,0)$ , $B(4,2)$ , $C(6,6)$ , $D(2,4)$ הוא מלבן.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= m_{DC} \\ &= \frac{1}{2} \\ \ m_{BC} &= m_{AD} \\ &= 2\end{aligned}

שני זוגות מקבילים — מקבילית

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \neq -1

הצלעות הסמוכות אינן מאונכות

\begin{aligned}AB^2 &= BC^2 \\ &= 20\end{aligned}

הצלעות שוות — זה מעוין

לא נכון. זה מעוין שאינו מלבן. המלכודת: שיפועים $\frac{1}{2}$ ו- $2$ נראים «הופכיים», אבל למאונכות צריך גם סימן הפוך.

Check the answer on elev

1. משולש ישר זווית ומעגל חוסם

2. ישר עם פרמטר מול פרבולה

3. מעגל שמרכזו על ישר נתון

4. משיק למעגל ושטח משולש

5. איזה מרובע זה?

Exercises

Keep practising on elev