The circle on the coordinate plane · Introduction to analytic geometry · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מעגל הוא אוסף כל הנקודות שנמצאות במרחק קבוע $R$ מנקודה קבועה — המרכז. יש לנו כבר נוסחת מרחק, ולכן אפשר לכתוב את ההגדרה הזאת כמשוואה.

ארבע נקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו

5

. בדקו אחת:

3^2+4^2=9+16=25=5^2

. ומה עם

(-4,3)

? גם

16+9=25

המעגל הקנוני — מרכז בראשית

נקודה $(x,y)$ נמצאת על המעגל שמרכזו $O(0,0)$ ורדיוסו $R$ אם ורק אם המרחק שלה מ- $O$ הוא $R$ : $\sqrt{x^2+y^2}=R$ . מעלים בריבוע:

x^2 + y^2 = R^2

המעגל הקנוני — מרכזו בראשית הצירים

האם הנקודה $(1,-5)$ נמצאת על המעגל $x^2+y^2=25$ ? ואם לא — בתוכו או מחוצה לו?

Show the answer and the solution

$1+25=26>25$ . הנקודה מחוץ למעגל: המרחק שלה מהמרכז, $\sqrt{26}$ , גדול מהרדיוס $5$ .

מעגל שמרכזו בכל נקודה

Interactive activity

מנוסחת המרחק למשוואת המעגל

M(a,b), \quad R

לחצו «להתחיל». אותה הגדרה בדיוק — רק שהמרכז זז מהראשית אל $M(a,b)$ .

ההגדרה

PM = R

הנקודה $P(x,y)$ על המעגל אם ורק אם מרחקה מהמרכז הוא $R$ .

נוסחת המרחק

\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = R

המרחק בין $P(x,y)$ ל- $M(a,b)$ .

מעלים בריבוע

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

שני האגפים אינם שליליים, ולכן מותר להעלות בריבוע.

דוגמה

\begin{aligned}M(2,-1) \\ \ R &= 5: \quad (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

שימו לב: $y-(-1)$ נכתב $y+1$ .

המשוואה היא נוסחת המרחק בתחפושת. מי שזוכר את זה לא מתבלבל בסימנים של המרכז.

Do the activity on elev

(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

מעגל שמרכזו $(a,b)$ ורדיוסו $R$

המרכז $(a,\, b)$ , הרדיוס $R$ . באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע, ובתוך הסוגריים מינוס — לכן סימני המרכז הפוכים לסימנים שרואים במשוואה.

מהו רדיוס המעגל $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ , ומהו מרכזו?

Show the answer and the solution

הרדיוס 5, ולא 25. המרכז $(2,-1)$ — הסימן של $b$ מתהפך, כי $y+1=y-(-1)$ .

מציאת משוואת מעגל

כדי לכתוב משוואת מעגל צריך שני דברים בלבד: מרכז ורדיוס. בדרך כלל אחד מהם חבוי בנתונים.

M, \ P

נתונים מרכז ונקודה על המעגל — $R$ הוא המרחק $MP$ .

A, \ B

נתונים קצות קוטר — המרכז הוא אמצע $AB$ , והרדיוס חצי מאורך $AB$ .

מעגל לפי קוטר

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-1,4)$ ו- $B(5,-4)$ . מצאו את משוואת המעגל.

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4-4}{2}\right) \\ &= (2,0)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

אורך הקוטר

R = 5

הרדיוס — חצי הקוטר

(x-2)^2 + y^2 = 25

משוואת המעגל

ישר ומעגל

כמו בישר ופרבולה: מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש.

2

הישר חותך את המעגל.

1

הישר משיק לו.

0

הישר אינו פוגש אותו.

המשיק — הרדיוס מאונך לו

מהגאומטריה אנחנו יודעים: הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק. בהנדסה אנליטית זה אומר שהשיפועים שלהם מקיימים $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

1

מוצאים את שיפוע הרדיוס — ממרכז המעגל אל נקודת ההשקה.

2

שיפוע המשיק הוא ההופכי בסימן הפוך.

3

ומשם — משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

משיק למעגל

מעגל שמרכזו $(0,0)$ ורדיוסו $5$ . מצאו את המשיק בנקודה $(-4,3)$ .

\begin{aligned}m_1 &= \frac{3 - 0}{-4 - 0} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

m_2 = \frac{4}{3}

שיפוע המשיק: הופכי וסימן הפוך

y - 3 = \frac{4}{3}(x + 4)

מציבים את נקודת ההשקה

y = \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}

משוואת המשיק. בדיקה: $\frac{4}{3}\cdot(-4)+\frac{25}{3}=3$

נתונים מרכז מעגל ונקודת השקה. איך מוצאים את שיפוע המשיק?

Show the answer and the solution

קודם שיפוע הרדיוס — מהמרכז אל נקודת ההשקה — ואז ההופכי בסימן הפוך, כי הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

שלוש הטעויות של המעגל.

\begin{aligned}(x-2)^2 + (y+1)^2 &= 25 \Rightarrow R \\ &= 25\end{aligned}

R = 5

באגף הימני יושב הרדיוס בריבוע.

(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25 \Rightarrow M(-2,1)

M(2,-1)

בתוך הסוגריים יש מינוס: $x-2$ פירושו $a=2$ .

m_2 = m_1

m_1 \cdot m_2 = -1

המשיק והרדיוס מאונכים, לא מקבילים.

Exercises

Exercise 1

מהו רדיוס המעגל $x^2 + y^2 = 36$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

R^2 = 36

האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע

R = 6

שורש — הרדיוס חיובי

$R=6$ . מי שענה $36$ שכח שבאגף הימני יושב $R^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $5$ . מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה $(3,\, 4)$ ?

$\frac{4}{3}$
$-\frac{3}{4}$
$-\frac{4}{3}$
$\frac{3}{4}$

Show the answer and the solution

Answer: B $-\frac{3}{4}$

Worked solution:

\begin{aligned}m_1 &= \frac{4-0}{3-0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס, מהמרכז לנקודה

m_2 = -\frac{3}{4}

הופכי וסימן הפוך

הבחירה הנכונה: « $-\frac{3}{4}$ ». « $\frac{4}{3}$ » — שיפוע הרדיוס עצמו. « $-\frac{4}{3}$ » — הפך רק את הסימן. « $\frac{3}{4}$ » — הפך רק את השבר.

Check the answer on elev

Exercise 3

הצבת משוואת ישר במשוואת מעגל נתנה משוואה ממעלה שנייה עם פתרון יחיד. מה המצב ההדדי של הישר והמעגל?

הישר עובר דרך מרכז המעגל
הישר חותך את המעגל בשתי נקודות
הישר אינו פוגש את המעגל
הישר משיק למעגל

Show the answer and the solution

Answer: D הישר משיק למעגל

Worked solution:

\Rightarrow

פתרון אחד נותן נקודת מפגש אחת: כל פתרון של המשוואה הוא שיעור $x$ של נקודת מפגש

הבחירה הנכונה: «הישר משיק למעגל». «עובר דרך המרכז» — ישר כזה חותך את המעגל תמיד בשתי נקודות, קצות קוטר. «אינו פוגש» — מתאים לאפס פתרונות, לא לאחד. «חותך בשתי נקודות» — מתאים לשני פתרונות, לא לאחד.

Check the answer on elev

Exercise 4

מהו מרכז המעגל $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$ ?

$(-2,\, -5)$
$(2,\, 5)$
$(2,\, -5)$
$(-2,\, 5)$

Show the answer and the solution

Answer: C $(2,\, -5)$

Worked solution:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

הצורה של משוואת מעגל

\begin{aligned}x - 2 \Rightarrow a &= 2; \quad y + 5 \\ &= y - (-5) \Rightarrow b \\ &= -5\end{aligned}

הנוסחה מחסרת

הבחירה הנכונה: « $(2,-5)$ ». « $(-2,5)$ » — הפך את שני הסימנים. « $(2,5)$ » — קרא את $b$ בלי להפוך. « $(-2,-5)$ » — הפך את $a$ ולא את $b$ . פלוס בסוגריים — מינוס במרכז.

Check the answer on elev

Exercise 5

מעגל שמרכזו $M(-1,2)$ עובר דרך הנקודה $P(3,5)$ . השלימו את משוואתו.

$(x+1)^2+(y-2)^2=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $(x+1)^2+(y-2)^2=$ 25

Worked solution:

\begin{aligned}R^2 &= MP^2 \\ &= (3-(-1))^2 + (5-2)^2\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה

= 16 + 9 = 25

אין צורך בשורש — המשוואה צריכה את $R^2$

$25$ . מי שכתב $5$ חישב את $R$ ושכח שבמשוואה יושב $R^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הקטע $AB$ הוא קוטר במעגל, כאשר $A(-2,1)$ ו- $B(4,9)$ . מהי משוואת המעגל?

$(x+1)^2+(y+5)^2=25$
$(x-1)^2+(y-5)^2=5$
$(x-1)^2+(y-5)^2=100$
$(x-1)^2+(y-5)^2=25$

Show the answer and the solution

Answer: D $(x-1)^2+(y-5)^2=25$

Worked solution:

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+9}{2}\right) \\ &= (1,5)\end{aligned}

המרכז — אמצע הקוטר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36+64} \\ &= 10 \Rightarrow R \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס — חצי הקוטר

(x-1)^2 + (y-5)^2 = 25

הבחירה הנכונה: « $(x-1)^2+(y-5)^2=25$ ». « $=100$ » — לקח את הקוטר כרדיוס. « $(x+1)^2+(y+5)^2=25$ » — טעות בסימני המרכז. « $=5$ » — כתב $R$ במקום $R^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון המעגל $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ . מיינו את הנקודות: בתוך המעגל או מחוצה לו?

בתוך המעגל
מחוץ למעגל

$(-4,1)$
$(0,-2)$
$(3,-2)$
$(4,5)$
$(5,6)$
$(7,0)$

Show the answer and the solution

Answer: $(4,5)$ — בתוך המעגל · $(5,6)$ — מחוץ למעגל · $(0,-2)$ — בתוך המעגל · $(-4,1)$ — מחוץ למעגל · $(3,-2)$ — בתוך המעגל · $(7,0)$ — מחוץ למעגל

Worked solution:

(4,5): \ 9 + 9 = 18 < 25

מציבים ומשווים ל- $R^2$ : קטן — בפנים

(-4,1): \ 25 + 1 = 26 > 25

גדול — בחוץ

משווים את המרחק בריבוע ל- $R^2=25$ , לא ל- $R=5$ : מי שמשווה $18$ ל- $5$ «מוציא» את כל הנקודות מהמעגל.

Check the answer on elev

Exercise 8

הישר $y=x+1$ חותך את המעגל $x^2+y^2=25$ בשתי נקודות. מצאו אותן.

ברביע הראשון: $($ ____ $,$ ____ $)$ ; ברביע השלישי: $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: ברביע הראשון: $($ 3 $,$ 4 $)$ ; ברביע השלישי: $($ -4 $,$ -3 $)$

Worked solution:

x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}

פותחים ומחלקים ב- $2$

\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -4\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 3: \ y \\ &= 4; \quad x \\ &= -4: \ y \\ &= -3\end{aligned}

מציבים בישר

$(3,4)$ ו- $(-4,-3)$ . הטעות: $(x+1)^2 = x^2+1$ — שוכחים את האיבר האמצעי $2x$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

הנקודה $(k,2)$ נמצאת על המעגל $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ , ו- $k>3$ . מצאו את $k$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(k-3)^2 + (2+2)^2 = 25

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}(k-3)^2 &= 9 \Rightarrow k - 3 \\ &= \pm 3\end{aligned}

שני ערכים אפשריים

\begin{aligned}k &= 6 \ \text{או} \ k \\ &= 0\end{aligned}

רק $k=6$ גדול מ- $3$

$k=6$ . הטעות: $(2+2)^2$ נכתב $(2-2)^2=0$ — מי שמציב $y=2$ צריך $y+2=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

הנקודה $A(3,2)$ נמצאת על המעגל $(x-1)^2+(y+2)^2=20$ . דרך $A$ העבירו משיק למעגל. באיזו נקודה חותך המשיק את ציר $y$ ? כתבו את שיעור ה- $y$ (כשבר עשרוני).

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

\begin{aligned}(3-1)^2 + (2+2)^2 &= 4 + 16 \\ &= 20 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: $A$ על המעגל

\begin{aligned}m_1 &= \frac{2-(-2)}{3-1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע הרדיוס $MA$ , כאשר $M(1,-2)$

m_2 = -\frac{1}{2}

המשיק מאונך לרדיוס

\begin{aligned}y - 2 &= -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -\frac{1}{2}x + 3.5\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 3.5\end{aligned}

$3.5$ . הטעות הנפוצה: לקחת את המרכז $(-1,2)$ במקום $(1,-2)$ — ואז כל השיפועים יוצאים שגויים.

Check the answer on elev

המעגל הקנוני — מרכז בראשית

מעגל שמרכזו בכל נקודה

מציאת משוואת מעגל

ישר ומעגל

המשיק — הרדיוס מאונך לו

Exercises

Keep practising on elev