Families of functions with a parameter

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות הפונקציה מגיעה לעתים קרובות עם אות: f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. האות aa היא פרמטר — מספר קבוע שעוד לא ידוע. כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת, וכולן יחד הן משפחה. יש שני סוגי שאלות: «מצאו את aa לפי נתון», ו«עבור אילו aa קורה משהו».

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה

אם ff ממעלה שלישית, אז f′(x)=Ax2+Bx+Cf'(x)=Ax^2+Bx+C — פרבולה. מספר נקודות הקיצון של ff תלוי רק בשאלה כמה פעמים הפרבולה הזאת חוצה את ציר ה-xx. בווידג'ט למטה, חשבו על הפרבולה כעל הגרף של f′f'.

בווידג'ט, כשהפרבולה f′f' נוגעת בציר בנקודה אחת בדיוק — כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

Show the answer and the solution

אפס. בנקודת הנגיעה f′=0f'=0, אבל משני הצדדים הפרבולה באותו צד של הציר, והסימן לא מתחלף. לכן לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת — לעולם לא אחת בדיוק.

Δ>0\Delta > 0

לפרבולה f′f' שני שורשים — שתי נקודות קיצון ל-ff.

Δ=0\Delta = 0

נגיעה בציר — אין קיצון, ff מונוטונית.

Δ<0\Delta < 0

אין שורשים — אין קיצון, ff מונוטונית.

כאן Δ\Delta הוא הדיסקרימיננטה של הנגזרת f′f', לא של ff. «ff עולה לכל xx» פירושו f′≥0f' \ge 0 לכל xx: פרבולה פתוחה כלפי מעלה עם Δ≤0\Delta \le 0 — כולל השוויון.

מצאו את הפרמטר: שני נתונים, שתי משוואות

המשפט «ל-ff יש נקודת קיצון בנקודה (1, 5)(1,\,5)» מכיל שני נתונים: הנגזרת מתאפסת ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה. כל נתון נותן משוואה.

f′(x0)=0f(x0)=y0\begin{aligned}f'(x_0) &= 0 \qquad f(x_0) \\ &= y_0\end{aligned}

למה צריך את שני הנתונים? מה היה קורה אם היה נתון רק «ל-ff יש קיצון ב-x=1x=1»?

Show the answer and the solution

היינו מקבלים משוואה אחת בשני נעלמים, 2a+b=−32a+b=-3, ואינסוף זוגות (a, b)(a,\,b). כל נעלם דורש משוואה משלו — ולכן הגובה 55 הכרחי.

עבור אילו aa הפונקציה עולה לכל xx?

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. מצאו את כל ערכי aa שעבורם ff עולה לכל xx.

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

גוזרים — פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)≥0 לכל x  ⟺  Δ≤0f'(x) \ge 0 \ \text{לכל} \ x \iff \Delta \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

Δ=(2a)2−4⋅3⋅3=4a2−36\begin{aligned}\Delta &= (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \\ &= 4a^2 - 36\end{aligned}

הדיסקרימיננטה של f′f'

4a2−36≤0 ⇒ a2≤94a^2 - 36 \le 0 \ \Rightarrow\ a^2 \le 9

פותרים

−3≤a≤3-3 \le a \le 3

הקצוות נכללים: שם f′f' נוגעת בציר בלבד

שלוש הטעויות של שאלות הפרמטר.

f(1)=0f(1) = 0
f′(1)=0f'(1) = 0

«קיצון ב-x=1x=1» הוא נתון על הנגזרת. f(1)=0f(1)=0 פירושו שהגרף חותך את ציר xx — משהו אחר לגמרי.

Δf<0\Delta_f < 0
Δf′≤0\Delta_{f'} \le 0

הדיסקרימיננטה שקובעת את מספר הקיצונים היא של הנגזרת. ובשאלת «עולה לכל xx», גם Δ=0\Delta=0 מתקבל.

f′(1)=0 ⇒ קיצוןf'(1)=0 \ \Rightarrow\ \text{קיצון}
f′(1)=0 ⇒ ?f'(1)=0 \ \Rightarrow\ ?

מ-f′(1)=0f'(1)=0 ממשיכים לבדיקת סימנים: אחרי שמצאתם את הפרמטר, בודקים שבאמת יש החלפת סימן. לפעמים הערך שמתקבל נותן נגיעה בלבד.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x3+ax2−9x+1f(x)=x^3+ax^2-9x+1. ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=3x2+2ax−9f'(x)=3x^2+2ax-9

גוזרים; aa הוא מספר קבוע

f′(1)=3+2a−9=0\begin{aligned}f'(1) &= 3+2a-9 \\ &= 0\end{aligned}

בקיצון הנגזרת מתאפסת

2a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}2a &= 6 \ \Rightarrow\ a \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

מי שהציב f(1)=0f(1)=0 קיבל a=7a=7 — אבל הנתון הוא על הנגזרת. «קיצון» אומר משיק אופקי, לא חיתוך עם הציר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x3+3x2−9x+1f(x)=x^3+3x^2-9x+1 (הערך a=3a=3 מהשאלה הקודמת). מה סוג נקודת הקיצון ב-x=1x=1, והיכן נקודת הקיצון השנייה?

  1. מקסימום; השנייה ב-x=3x=3
  2. מקסימום; השנייה ב-x=−3x=-3
  3. מינימום; השנייה ב-x=3x=3
  4. מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3
Show the answer and the solution

Answer: D מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3

Worked solution:

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2+6x-9 \\ &= 3(x+3)(x-1)\end{aligned}

מפרקים

f′(0)=−9<0  f′(2)=15>0\begin{aligned}f'(0) &= -9<0 \\ \ \ f'(2) &= 15>0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-−- ל-++

x=−3x=-3

השורש השני של הנגזרת — שם מקסימום

התשובה: מינימום; השנייה ב-x=−3x=-3. «השנייה ב-x=3x=3» נובעת מקריאת הגורם (x+3)(x+3) עם סימן הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה המשפחה f(x)=x3−3axf(x)=x^3-3ax. עבור אילו ערכי aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון?

  1. a>0a>0
  2. לכל aa
  3. a≥0a \ge 0
  4. a<0a<0
Show the answer and the solution

Answer: A a>0a>0

Worked solution:

f′(x)=3x2−3af'(x)=3x^2-3a

גוזרים

f′(x)=0  ⟺  x2=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x^2 \\ &= a\end{aligned}

משווים לאפס

a>0⇒x=±aa>0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{a}

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן

התשובה: a>0a>0. ב-a=0a=0 מתקבל f(x)=x3f(x)=x^3: הנגזרת 3x23x^2 נוגעת בציר ואינה מחליפה סימן — אין קיצון. לכן a≥0a \ge 0 שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 4

קיים פולינום ממעלה שלישית שיש לו בדיוק נקודת קיצון אחת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(x)=Ax2+Bx+C A≠0\begin{aligned}f'(x) &= Ax^2+Bx+C \\ \ A \ne 0\end{aligned}

הנגזרת היא פרבולה

Δ>0: 2Δ≤0: 0\Delta>0: \ 2 \qquad \Delta \le 0: \ 0

שני שורשים פשוטים — שתי החלפות סימן; אחרת אין החלפה

לא נכון. לפולינום ממעלה שלישית יש שתי נקודות קיצון או אף אחת. שורש כפול של הנגזרת נותן משיק אופקי בלי קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x. ff עולה לכל xx בדיוק כאשר aa נמצא בקטע סגור. השלימו את קצות הקטע.

הערך הקטן ביותר של aa הוא ____, והערך הגדול ביותר של aa הוא ____

Show the answer and the solution

Answer: הערך הקטן ביותר של aa הוא -3, והערך הגדול ביותר של aa הוא 3

Worked solution:

f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

Δ=4a2−36≤0\Delta=4a^2-36 \le 0

הפרבולה לא יורדת מתחת לציר

a2≤9  ⟺  −3≤a≤3a^2 \le 9 \iff -3 \le a \le 3

פותרים

בשני הקצוות Δ=0\Delta=0: הנגזרת נוגעת בציר בנקודה אחת, ו-ff עדיין עולה. מי שכתב אי-שוויון חזק איבד את a=±3a=\pm 3.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=ax3+bxf(x)=ax^3+bx. ל-ff יש נקודת קיצון ב-(1, −2)(1,\,-2). מצאו את bb.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3a+b \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון: הנגזרת מתאפסת

f(1)=a+b=−2\begin{aligned}f(1) &= a+b \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=2⇒a=1  b=−3\begin{aligned}2a &= 2 \Rightarrow a \\ &= 1 \\ \ \ b &= -3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

השאלה מבקשת את bb, לא את a=1a=1. ובדיקה: f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x, ו-f(1)=−2f(1)=-2 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 7

תלמיד חיפש kk כך שלפונקציה f(x)=x3+kx2f(x)=x^3+kx^2 תהיה נקודת קיצון ב-x=2x=2. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2+2kxf'(x) = 3x^2 + 2kx
f′(2)=12+4kf'(2) = 12 + 4k
12+4k=012 + 4k = 0
k=3k = 3
Show the answer and the solution

Answer: k=3k = 3 → k=−3k = -3

Worked solution:

4k=−12⇒k=−3\begin{aligned}4k &= -12 \Rightarrow k \\ &= -3\end{aligned}

מעבירים אגף — הסימן מתהפך

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-6x \\ &= 3x(x-2)\end{aligned}

בדיקה: סביב x=2x=2 מ-−- ל-++, מינימום

הטעות בהעברת אגף: 4k=−124k=-12, ולכן k=−3k=-3. עם k=3k=3 הנגזרת 3x2+6x3x^2+6x מתאפסת ב-x=−2x=-2, לא ב-x=2x=2.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה המשפחה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. מצאו את הערך החיובי של kk שעבורו גרף ff משיק לציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2-3 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm1\end{aligned}

הקיצונים לא תלויים ב-kk

f(1)=−2+k  f(−1)=2+k\begin{aligned}f(1) &= -2+k \\ \ \ f(-1) &= 2+k\end{aligned}

הגבהים של המינימום ושל המקסימום

f(1)=0⇒k=2\begin{aligned}f(1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

המינימום על הציר — הגרף נוגע בו

f(−1)=0⇒k=−2\begin{aligned}f(-1) &= 0 \Rightarrow k \\ &= -2\end{aligned}

הערך השני, השלילי

kk מזיז את הגרף למעלה ולמטה בלי לשנות את מקום הקיצונים. גרף משיק לציר xx = נקודת קיצון בגובה 00.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=x3−3x+kf(x)=x^3-3x+k. עבור אילו kk יש ל-ff שלושה שורשים?

  1. k<−2k<-2 או k>2k>2
  2. k>2k>2
  3. −2<k<2-2<k<2
  4. −2≤k≤2-2 \le k \le 2
Show the answer and the solution

Answer: C −2<k<2-2<k<2

Worked solution:

max⁡=f(−1)=2+k  min⁡=f(1)=−2+k\begin{aligned}\max &= f(-1) \\ &= 2+k \\ \ \ \min &= f(1) \\ &= -2+k\end{aligned}

הגבהים של הקיצונים

2+k>0 וגם −2+k<02+k>0 \ \text{וגם} \ -2+k<0

המקסימום מעל הציר והמינימום מתחתיו

−2<k<2-2<k<2

שלוש נקודות חיתוך

התשובה: −2<k<2-2<k<2. בקצוות k=±2k=\pm2 אחד הקיצונים נוגע בציר, ונשארים שני שורשים — לכן אי-שוויון חזק.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x. הוכיחו כי לכל ערך של aa יש ל-ff שתי נקודות קיצון.

  • f(x)=x3+ax2−xf(x)=x^3+ax^2-x
  • aa מספר ממשי כלשהו

ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=3x2+2ax−1f'(x)=3x^2+2ax-1 — גזירה איבר-איבר
  2. Δ=4a2+12\Delta=4a^2+12 — הדיסקרימיננטה של הנגזרת
  3. Δ>0\Delta>0 לכל aa — 4a2≥04a^2 \ge 0, ולכן 4a2+12≥124a^2+12 \ge 12
  4. ל-f′f' שני שורשים שונים, ובכל אחד מהם היא מחליפה סימן — לפרבולה עם Δ>0\Delta>0 שני שורשים פשוטים
  5. ל-ff שתי נקודות קיצון לכל aa — החלפת סימן של הנגזרת — נקודת קיצון
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade