Full investigation of a polynomial · Investigating a polynomial and the antiderivative · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חקירה מלאה היא שאלה שלמה בבגרות, והיא נפתרת בסדר קבוע. נעשה את כל הסעיפים על פונקציה אחת: $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

1

תחום הגדרה

2

נקודות חיתוך עם הצירים

3

נגזרת ונקודות חשודות לקיצון

4

טבלת סימנים — עלייה, ירידה וסוג הקיצון

5

תחומי חיוביות ושליליות, ולפעמים זוגיות

6

שרטוט, ואחריו שאלות על הגרף: קטע סגור, $f(x)=k$

1. תחום הגדרה

$f$ היא פולינום: אין מכנה ואין שורש, ולכן התחום הוא כל $x$ . הסעיף הזה קצר כאן — אבל הוא הראשון תמיד, וברציונלית הוא זה שקובע את כל השאר.

2. נקודות חיתוך עם הצירים

\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow f(0) \\ &= 0\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$ בנקודה $(0,\, 0)$ .

x^3 - 3x^2 = 0

ולחיתוך עם ציר $x$ משווים לאפס.

פתרון המשוואה

מוצאים את נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ .

x^2(x - 3) = 0

מוציאים גורם משותף — תמיד לפני כל דבר אחר

\begin{aligned}x &= 0 \ \ \text{או} \ \ x \\ &= 3\end{aligned}

מכפלה מתאפסת

(0,\, 0) \ , \ (3,\, 0)

שתי נקודות החיתוך

3. נגזרת ונקודות קיצון

החשודות

גוזרים ומשווים לאפס.

f'(x) = 3x^2 - 6x

גוזרים איבר-איבר

3x(x - 2) = 0

מפרקים לגורמים

\begin{aligned}x &= 0 \ \ \text{או} \ \ x \\ &= 2\end{aligned}

שתי נקודות חשודות

הן חשודות בלבד. $f'(a) = 0$ הוא תנאי הכרחי לקיצון, לא מספיק — ב- $y = x^3$ הנגזרת מתאפסת ב- $0$ ואין שם קיצון כלל. הטבלה היא שמכריעה.

4. טבלת הסימנים

x < 0 \ , \ x > 2

תחומי עלייה — שם $f' > 0$ .

0 < x < 2

תחום ירידה — שם $f' < 0$ .

למה בטבלה בודקים את הסימן של $f'$ ולא את הערך שלה?

Show the answer and the solution

כי מה שקובע עלייה או ירידה הוא הסימן בלבד. $f'(1) = -3$ ו- $f'(1.5) = -2.25$ שונים בערכם, אבל שניהם שליליים — ובשני המקומות הפונקציה יורדת. חישוב הערך המדויק הוא בזבוז זמן במבחן.

5. תחומי חיוביות ושליליות

שימו לב להבדל: עד כאן בדקנו את הסימן של הנגזרת. עכשיו בודקים את הסימן של הפונקציה עצמה — שאלה אחרת לגמרי, עם שורשים אחרים.

סימן הפונקציה

מתי $f(x) > 0$ ומתי $f(x) < 0$ ?

f(x) = x^2(x - 3)

חוזרים לצורה המפורקת

x^2 \geq 0 \ \ \text{תמיד}

הגורם הראשון לעולם אינו שלילי

\Rightarrow (x-3)

ולכן הסימן נקבע על ידי $(x-3)$

f(x) > 0 \iff x > 3

חיובית

f(x) < 0 \iff x < 3 \ , \ x \neq 0

שלילית, פרט לשורש הכפול

ב- $x = 0$ הפונקציה מתאפסת ולא מחליפה סימן — זה מה שעושה שורש כפול. הגרף נוגע בציר ולא חוצה אותו.

זוגיות — חוסכת חצי מהעבודה

בפולינום שבו כל החזקות זוגיות, כמו $g(x)=x^4-2x^2$ , מתקיים $g(-x)=g(x)$ : הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . לכן כל נקודת קיצון מימין לציר מופיעה גם משמאלו, באותו גובה.

ל- $g(x)=x^4-2x^2$ יש מינימום בנקודה $(1,\,-1)$ . בלי לגזור: איפה עוד יש מינימום, ומה אפשר לומר על $x=0$ ?

Show the answer and the solution

ב- $(-1,\,-1)$ , בגלל הסימטריה. ב- $x=0$ הגרף חייב להיות אופקי (שני הצדדים תמונת ראי), וכאן $g(0)=0>-1$ — זה מקסימום. בדיקה: $g'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ .

השרטוט

הגרף של f(x) = x³ − 3x², אחרי החקירה

רק עכשיו משרטטים: שתי נקודות החיתוך, שתי נקודות הקיצון, ובין כל שתיים — עלייה או ירידה לפי הטבלה.

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל- $f(x) = k$

שאלה שחוזרת בבגרות: מצאו את ערכי $k$ שעבורם לישר $y = k$ יש 3 נקודות חיתוך עם הגרף. היא נראית חדשה, אבל כל הנתונים כבר בידינו.

$y = k$ הוא ישר אופקי. השאלה היא באיזה גובה להעביר אותו כדי שיפגוש את הגרף שלוש פעמים — והתשובה נקראת ישירות מהקיצון.

k > 0

הישר גבוה מהמקסימום — נקודה אחת.

k = 0

עובר דרך המקסימום — שתי נקודות.

-4 < k < 0

בין המינימום למקסימום — שלוש נקודות.

k = -4

עובר דרך המינימום — שתי נקודות.

k < -4

נמוך מהמינימום — נקודה אחת.

התשובה: $-4 < k < 0$ , ממש בין ערך המינימום לערך המקסימום. שני הקצוות אינם נכללים — שם הישר משיק לקיצון ומספר הנקודות יורד לשתיים.

עבור אילו ערכי $k$ יש לישר $y = k$ בדיוק שתי נקודות חיתוך?

Show the answer and the solution

$k = 0$ או $k = -4$ בלבד — בדיוק בגובה הקיצון. שם הישר נוגע בקצה ולא חוצה אותו, ושתי נקודות מתאחדות לאחת.

7. ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

לפעמים השאלה מגבילה את $x$ לקטע, למשל $1 \le x \le 4$ . בקטע סגור הגרף הוא חתיכה עם שני קצוות — והערך הגדול ביותר יכול לשבת בקצה, לא בנקודת קיצון. לכן משווים בין כל המועמדים.

Interactive activity

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר של $f(x)=x^3-3x^2$ בקטע $1 \le x \le 4$

\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 3x^2 \\ \quad 1 \le x \le 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». לפני כל שלב, נסו לנחש: מי מהמועמדים ינצח?

חשודות

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow\ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

את החשודות כבר מצאנו בחקירה.

בתוך הקטע?

\begin{aligned}x &= 2 \in [1,\,4] \\ \quad x &= 0 \notin [1,\,4]\end{aligned}

$x=0$ נפסל — הוא מחוץ לקטע, ולא מציבים אותו.

הקצוות

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2 \\ \quad f(4) &= 64 - 48 \\ &= 16\end{aligned}

שני הקצוות הם תמיד מועמדים.

החשודה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 \\ &= -4\end{aligned}

והנקודה החשודה שבתוך הקטע.

משווים

\begin{aligned}\max &= f(4) \\ &= 16 \\ \quad \min &= f(2) \\ &= -4\end{aligned}

הגדול ביותר נמצא בקצה $x=4$ , ולא בנקודת קיצון.

שלושה מועמדים בלבד: שני הקצוות, והחשודות שבתוך הקטע. ההשוואה היא בערכי $f$ , לא בערכי $x$ .

Do the activity on elev

מה הערך הגדול ביותר של אותה $f$ בקטע $-1 \le x \le 1$ ?

Show the answer and the solution

$0$ , ב- $x=0$ . המועמדים: $f(-1)=-4$ , $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ . הפעם החשודה $x=0$ בתוך הקטע, והיא שמנצחת.

שתי הטעויות של החקירה.

f'(a) = 0 \Rightarrow \text{קיצון}

צריך טבלת סימנים: בלי הטבלה אי אפשר לדעת. ב- $y = x^3$ הנגזרת מתאפסת ב- $0$ , הסימן אינו מתחלף, ואין שם קיצון.

\text{סימן } f' \ = \ \text{סימן } f

שתי שאלות נפרדות. תחומי עלייה באים מסימן הנגזרת; תחומי חיוביות מסימן הפונקציה. כאן $f$ שלילית ב- $x=1$ ובאותו מקום גם יורדת — אבל זה צירוף מקרים, לא כלל.

\begin{aligned}\max_{[1,4]} f &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\max_{[1,4]} f &= f(4) \\ &= 16\end{aligned}

בקטע סגור מציבים רק חשודות שבתוך הקטע, ותמיד גם את שני הקצוות. מקסימום מקומי אינו בהכרח הערך הגדול ביותר.

Exercises

Exercise 1

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהו ערך המקסימום המקומי?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 3x(x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ 2\end{aligned}

החשודות

+ \rightarrow - \ \text{ב-} x=0

הטבלה

f(0) = 0

הערך

שימו לב: השאלה מבקשת את הערך $f(0)$ , לא את המיקום $x=0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהו ערך המינימום המקומי?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x = 2

מהטבלה

\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב- $f$

מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ — ב- $f'$ התוצאה תמיד אפס.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מהם תחומי העלייה?

$x>3$
כל $x$
$x<0$ או $x>2$
$0<x<2$

Show the answer and the solution

Answer: C $x<0$ או $x>2$

Worked solution:

f'(x)=3x(x-2)

הנגזרת מפורקת

f'>0 \iff x<0 \ \text{או} \ x>2

פרבולה פתוחה כלפי מעלה — חיובית מחוץ לשורשים

התשובה: $x<0$ או $x>2$ . « $0<x<2$ » הוא תחום הירידה, ו-« $x>3$ » הוא תחום החיוביות של $f$ — שאלה אחרת, עם שורשים אחרים.

Check the answer on elev

Exercise 4

עבור אילו $k$ יש לישר $y = k$ שלוש נקודות חיתוך עם $f(x) = x^3 - 3x^2$ ?

$k > 0$
$k < -4$
$-4 \leq k \leq 0$
$-4 < k < 0$

Show the answer and the solution

Answer: D $-4 < k < 0$

Worked solution:

\begin{aligned}\text{מקסימום} &= 0 \\ \ \text{מינימום} &= -4\end{aligned}

מהחקירה

-4 < k < 0

ממש בין השניים

הקצוות אינם נכללים: ב- $k=0$ וב- $k=-4$ הישר עובר דרך הקיצון עצמו, ואז יש רק שתי נקודות.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון $f(x) = x^3 - 3x^2$ . מתי $f(x) > 0$ ?

$0 < x < 3$
$x > 0$
$x > 3$
$x < 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x > 3$

Worked solution:

f(x) = x^2(x-3)

מפרקים

x^2 \geq 0

הגורם הראשון אינו שלילי

x - 3 > 0

ולכן הסימן תלוי רק בו

אל תבלבלו עם תחומי העלייה — שאלה אחרת, שורשים אחרים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון $g(x) = x^3 - 12x$ . מהו ערך המינימום המקומי?

Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים

x = \pm 2

שתי חשודות

\begin{aligned}g(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

והמינימום ב- $x=2$

ב- $x = -2$ יש מקסימום, וערכו $16$ . שני קיצונים, שני ערכים.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה $f(x) = x^3 - 3x^2$ . הוכיחו שב- $x = 2$ יש נקודת מינימום.

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
$f'(2) = 0$

ב- $x = 2$ יש מינימום

Show the answer and the solution

$f'(1) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) = -3 < 0$ — הצבת נקודה מהתחום $0 < x < 2$
$f'(3) = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 > 0$ — הצבת נקודה מהתחום $x > 2$
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית סביב $x = 2$ — השוואת שני הסימנים משני צדי הנקודה
ב- $x = 2$ יש מינימום — מעבר של הנגזרת מ- $-$ ל- $+$ מעיד על מינימום

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה $g(x)=2x^3-9x^2+12x$ . מהו הערך הגדול ביותר של $g$ בקטע $0 \le x \le 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}g'(x) &= 6x^2-18x+12 \\ &= 6(x-1)(x-2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 2 \in [0,\,3]\end{aligned}

שתי החשודות בתוך הקטע

\begin{aligned}g(0) &= 0 \\ \ \ g(1) &= 5 \\ \ \ g(2) &= 4 \\ \ \ g(3) &= 54-81+36 \\ &= 9\end{aligned}

ארבעה מועמדים

\begin{aligned}\max &= g(3) \\ &= 9\end{aligned}

הגדול ביותר — בקצה

המקסימום המקומי $g(1)=5$ אינו הערך הגדול ביותר בקטע: בקצה $x=3$ הפונקציה כבר עלתה ל- $9$ . בלי הצבת הקצוות מפספסים אותו.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה $h(x)=x^3-12x$ . מהו הערך הגדול ביותר של $h$ בקטע $-1 \le x \le 3$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

\begin{aligned}h'(x) &= 3x^2-12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

החשודות

x=-2 \notin [-1,\,3]

נפסלת — מחוץ לקטע

\begin{aligned}h(-1) &= 11 \\ \ \ h(2) &= -16 \\ \ \ h(3) &= -9\end{aligned}

הקצוות והחשודה שבפנים

\begin{aligned}\max &= h(-1) \\ &= 11\end{aligned}

בקצה השמאלי

המלכודת היא $h(-2)=16$ : זה אכן מקסימום מקומי, אבל $x=-2$ מחוץ לקטע. בודקים שייכות לקטע לפני שמציבים.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה $f(x)=x^4-8x^2+3$ . מהן נקודות הקיצון של $f$ ?

מינימום $(0,\ 3)$ , מקסימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$
מקסימום $(0,\ 0)$ , מינימום $(2,\ 0)$ ו- $(-2,\ 0)$
מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$
מקסימום $(0,\ 3)$ ומינימום $(2,\ -13)$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: C מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(2,\ -13)$ ו- $(-2,\ -13)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3-16x \\ &= 4x(x-2)(x+2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f'(-3)<0,\ f'(-1)>0,\ f'(1)<0,\ f'(3)>0

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(\pm 2) &= 16-32+3 \\ &= -13 \\ \ \ f(0) &= 3\end{aligned}

מציבים ב- $f$ ; זוגית — אותו ערך ב- $\pm 2$

התשובה: מקסימום $(0,\ 3)$ , מינימום $(\pm 2,\ -13)$ . מי ששכח את $x=-2$ איבד את הסימטריה של פונקציה זוגית; מי שכתב $y=0$ הציב בנגזרת.

Check the answer on elev

1. תחום הגדרה

2. נקודות חיתוך עם הצירים

3. נגזרת ונקודות קיצון

4. טבלת הסימנים

5. תחומי חיוביות ושליליות

זוגיות — חוסכת חצי מהעבודה

השרטוט

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל-f(x)=kf(x) = kf(x)=k

7. ערך גדול ביותר וקטן ביותר בקטע סגור

Exercises

Keep practising on elev

6. וסעיף מיוחד: כמה פתרונות ל- $f(x) = k$