Graphical links between f and f’

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבגרות שואלים את זה בשני הכיוונים: נתון גרף של ff — זהו את הגרף של f′f'; או נתון גרף של f′f' — מה אפשר לומר על ff. זה אותו קשר, וכדאי לראות אותו קודם על ציור אחד.

בווידג'ט: באילו ערכי xx הנקודה התחתונה נמצאת בדיוק על ציר ה-xx? ומה קורה באותם ערכים בגרף העליון?

Show the answer and the solution

ב-x=−1x=-1 וב-x=1x=1, כי x2−1=0x^2-1=0 שם. בדיוק מעליהן הגרף העליון מגיע לפסגה (x=−1x=-1) ולשפל (x=1x=1). הגובה של הגרף התחתון הוא השיפוע של הגרף העליון.

הקשר כולו מסתכם בשורה אחת: f′(x)f'(x) הוא הגובה של גרף הנגזרת, והוא שיפוע המשיק בגרף הפונקציה.

שלוש השורות שצריך לדעת

f′>0f' > 0

הגרף התחתון מעל הציר ← ff עולה.

f′<0f' < 0

הגרף התחתון מתחת לציר ← ff יורדת.

f′=0f' = 0

הגרף התחתון חותך את הציר ← ל-ff יש שם נקודת קיצון.

המילה החשובה בשורה השלישית היא חותך, לא «נוגע». אם גרף f′f' נוגע בציר ולא עובר לצד השני, הסימן לא התחלף — ואין שם קיצון, רק משיק אופקי. זו בדיוק ההבחנה שנבדקת.

מגרף הנגזרת אל גרף הפונקציה

גרף הנגזרת: פרבולה שחותכת את ציר x ב־1− וב־3
x=−1x=3-2-101234-5-4-3-2-11234567xy
זה גרף של הנגזרת, לא של הפונקציה. מה שחשוב בו: איפה הוא מעל הציר, איפה מתחת, ואיפה הוא חוצה.

זה הכיוון שמפחיד, והוא דווקא הקל יותר — אין מה לחשב, רק לקרוא סימנים. מחפשים איפה הגרף חוצה את הציר, ורושמים טבלה.

קריאה מגרף הנגזרת

בציור: גרף f′f', פרבולה פתוחה כלפי מעלה החותכת את ציר ה-xx ב-−1-1 וב-33. מה אפשר לומר על ff?

x<−1 : f′>0x < -1 \ : \ f' > 0

הפרבולה מעל הציר — ff עולה

x=−1 : +→−x = -1 \ : \ + \to -

מעבר מפלוס למינוס — מקסימום של ff

−1<x<3 : f′<0-1 < x < 3 \ : \ f' < 0

מתחת לציר — ff יורדת

x=3 : −→+x = 3 \ : \ - \to +

מעבר ממינוס לפלוס — מינימום של ff

x>3 : f′>0x > 3 \ : \ f' > 0

ff עולה שוב

לא חישבנו את ff עצמה, ובכל זאת אנחנו יודעים איך היא נראית. גרף הנגזרת מספר את כל הסיפור של הפונקציה — חוץ מהגובה. את הגובה נמצא בהמשך הפרק, בעזרת נקודה אחת ופונקציה קדומה.

ובכיוון ההפוך: מגרף הפונקציה אל גרף הנגזרת

גרף הפונקציה f
x=−1x=1-2-1012-3-2-1123xy
גרף הנגזרת f′ — מערכת צירים נפרדת
x=−1x=1-2-1012-4-2246810xy
אותו ציר x, אבל ציר y אחר: הגובה בגרף העליון נמדד ביחידות של f, והגובה בגרף התחתון ביחידות של שיפוע.

שני הגרפים מצוירים במערכות צירים נפרדות, זו מעל זו. הסיבה: ערך של ff וערך של f′f' הם גדלים שונים — גובה מול שיפוע — ואין טעם להשוות ביניהם על אותו ציר yy. מה שמשותף הוא ציר ה-xx, ולכן הקווים המקווקווים עוברים בשני הגרפים באותם מקומות.

↗\nearrow

קטע שבו ff עולה ← שם f′f' נמצאת מעל הציר.

פסגה\text{פסגה}

מקסימום או מינימום של ff ← שם f′f' חוצה את הציר.

תלול\text{תלול}

ככל שהעלייה תלולה יותר, כך f′f' גבוהה יותר.

בגרף העליון, איפה ff תלולה יותר: ב-x=0x=0 או ב-x=2x=2? בדקו את תשובתכם בגרף התחתון.

Show the answer and the solution

ב-x=2x=2. שם הגרף העליון עולה בחדות, ובגרף התחתון f′(2)=9f'(2)=9. ב-x=0x=0 הפונקציה יורדת בעדינות: f′(0)=−3f'(0)=-3. תלול יותר = רחוק יותר מהציר בגרף הנגזרת.

הדרגה יורדת באחד: אם ff היא פרבולה, הנגזרת שלה היא ישר. אם ff ממעלה שלישית, הנגזרת היא פרבולה. זו בדיקה מהירה כשמוצעים לכם כמה גרפים לבחירה.

שתי הטעויות של הקריאה הגרפית.

f′>0⇒f>0f' > 0 \Rightarrow f > 0
f′>0⇒f עולהf' > 0 \Rightarrow f \ \text{עולה}

הנגזרת מדברת על הכיוון, לא על הגובה. פונקציה יכולה להיות שלילית ולעלות.

max⁡f′⇒max⁡f\max f' \Rightarrow \max f
f′(x0)=0⇒max⁡f / min⁡ff'(x_0) = 0 \Rightarrow \max f \ / \ \min f

לא «מקסימום של f′f' נותן מקסימום של ff», אלא «אפס של f′f' נותן קיצון של ff». מה שמעניין בגרף התחתון הוא החיתוך עם הציר, לא הפסגה שלו.

בגרף הנגזרת f′f' חותכת את ציר ה-xx ועוברת ממינוס לפלוס. מה קורה ב-ff?

Show the answer and the solution

מינימום. ff ירדה ואז עלתה. מעבר מפלוס למינוס — מקסימום. גרף f′f' מספר על ff, לא על עצמו: הפסגה של f′f' עצמה לא מעניינת כאן.

Exercises

Exercise 1

בקטע מסוים f′(x)<0f'(x) < 0. מה קורה ל-ff?

  1. שלילית
  2. קבועה
  3. עולה
  4. יורדת
Show the answer and the solution

Answer: D יורדת

Worked solution:

f′(x)<0f'(x) < 0

שיפוע המשיק שלילי בכל נקודה של הקטע

⇒f יורדת\Rightarrow f \ \text{יורדת}

שיפוע שלילי = הגרף הולך למטה

התשובה: יורדת. «שלילית» היא מלכודת: הנגזרת מדברת על הכיוון, לא על הגובה — פונקציה יכולה להיות חיובית ולרדת.

Check the answer on elev

Exercise 2

גרף f′f' חוצה את ציר ה-xx מפלוס למינוס בנקודה x=2x = 2. מה יש ל-ff שם?

  1. מקסימום
  2. נקודת חיתוך עם הציר
  3. מינימום
  4. כלום מיוחד
Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום

Worked solution:

+→−+ \rightarrow -

משמאל ל-22 הנגזרת חיובית, מימין שלילית

↗ ואז ↘\nearrow \ \text{ואז} \ \searrow

ff עלתה ואז ירדה

התשובה: מקסימום. «נקודת חיתוך עם הציר» מבלבלת בין הגרפים: f′f' חותכת את הציר, לא ff — וערך f(2)f(2) אינו ידוע.

Check the answer on elev

Exercise 3

ff היא פונקציה ממעלה שלישית. מה צורת גרף הנגזרת שלה?

  1. ישר
  2. גם ממעלה שלישית
  3. פרבולה
  4. קבוע
Show the answer and the solution

Answer: C פרבולה

Worked solution:

(ax3+bx2+cx+d)′=3ax2+2bx+c(ax^3+bx^2+cx+d)' = 3ax^2+2bx+c

הדרגה יורדת באחד

a≠0⇒פרבולהa \neq 0 \Rightarrow \text{פרבולה}

מקדם x2x^2 בנגזרת הוא 3a≠03a \neq 0

התשובה: פרבולה. מי שבחר «גם ממעלה שלישית» שכח שהגזירה מורידה את החזקה.

Check the answer on elev

Exercise 4

גרף f′f' נוגע בציר ה-xx בנקודה אחת ואינו חוצה אותו. מה ב-ff?

  1. מקסימום
  2. שתי נקודות קיצון
  3. אין שם קיצון
  4. מינימום
Show the answer and the solution

Answer: C אין שם קיצון

Worked solution:

f′(a)=0f'(a) = 0

המשיק ל-ff אופקי בנקודה

f′≥0f' \ge 0

משני הצדדים: נגיעה בלי מעבר — הסימן לא התחלף

התשובה: אין שם קיצון. y=x3y=x^3 בנקודה 00 היא הדוגמה: משיק אופקי, והפונקציה ממשיכה לעלות.

Check the answer on elev

Exercise 5

ff עולה בכל תחום ההגדרה. מה נכון על f′f'?

  1. f′f' עולה
  2. f′>0f' > 0 בהכרח בכל נקודה
  3. f′≥0f' \geq 0 בכל התחום
  4. f′f' קבועה
Show the answer and the solution

Answer: C f′≥0f' \geq 0 בכל התחום

Worked solution:

x3 עולה (x3)′=3x2\begin{aligned}x^3 \ \text{עולה} \\ \ (x^3)' &= 3x^2\end{aligned}

דוגמה

3⋅02=03 \cdot 0^2 = 0

הנגזרת מתאפסת בנקודה בודדת

התשובה: f′≥0f' \geq 0 בכל התחום. «f′>0f' > 0 בהכרח בכל נקודה» נופל ב-y=x3y=x^3 ב-00; «f′f' עולה» מבלבל בין הפונקציה לנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 6

גרף הנגזרת f′
-3-2-1012-5-4-3-2-1123xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. באיזה ערך של xx יש ל-ff נקודת מקסימום?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=0  ⟺  x=−2 או x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= -2 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}

קוראים מהגרף את נקודות החיתוך עם הציר

x=−2: −→+x=-2: \ - \to +

משמאל ל-−2-2 הגרף מתחת לציר, מימין מעליו — מינימום

x=1: +→−x=1: \ + \to -

משמאל ל-11 מעל הציר, מימין מתחת — מקסימום

המקסימום של ff ב-x=1x=1. הפסגה של הפרבולה עצמה (ב-x=−0.5x=-0.5) היא מלכודת: שם ff עולה בקצב הגדול ביותר, אבל אין לה קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 7

גרף הנגזרת f′
-1012345-5-4-3-2-1123456xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. באיזה תחום ff עולה?

  1. 0<x<40<x<4
  2. x<2x<2
  3. x<0x<0 או x>4x>4
  4. x>2x>2
Show the answer and the solution

Answer: C x<0x<0 או x>4x>4

Worked solution:

f′(x)=0  ⟺  x=0 x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים עם הציר

f′>0  ⟺  x<0 או x>4f'>0 \iff x<0 \ \text{או} \ x>4

שם הגרף מעל הציר

התשובה: x<0x<0 או x>4x>4. «0<x<40<x<4» הוא תחום הירידה. «x>2x>2» נובע מקריאה שגויה — שם הנגזרת עולה, אבל עדיין שלילית עד x=4x=4.

Check the answer on elev

Exercise 8

גרף הנגזרת f′
-3-2-1012-16-14-12-10-8-6-4-2246810xy

בציור גרף הנגזרת f′f' של פונקציה ff. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=−2x=-2 ונוגע בו ב-x=1x=1. כמה נקודות קיצון יש ל-ff?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x=−2: −→+x=-2: \ - \to +

הגרף חוצה את הציר — מינימום של ff

x=1: +→+x=1: \ + \to +

הגרף נוגע וחוזר למעלה — אין החלפת סימן

11

נקודת קיצון אחת

יש אחת בלבד. מי שספר 22 ספר כל נקודה שבה f′=0f'=0 — אבל נגיעה בלי מעבר אינה קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 9

גרף הפונקציה f
-2-1012-3-2-1123xy

בציור גרף של הפונקציה ff, ממעלה שלישית. יש לה מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=1x=1. איזה תיאור מתאים לגרף הנגזרת f′f'?

  1. פרבולה פתוחה כלפי מטה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11
  2. פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11
  3. עקומה שחותכת את ציר xx בשלוש הנקודות שבהן ff חותכת אותו
  4. ישר עולה שעובר דרך הראשית
Show the answer and the solution

Answer: B פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-11

Worked solution:

x<−1: f↗⇒f′>0x<-1: \ f \nearrow \Rightarrow f'>0

לפני המקסימום הנגזרת חיובית

−1<x<1: f↘⇒f′<0-1<x<1: \ f \searrow \Rightarrow f'<0

בין הקיצונים — שלילית

x>1: f↗⇒f′>0x>1: \ f \nearrow \Rightarrow f'>0

חיובית, מתחת-מעל: פרבולה פתוחה כלפי מעלה

התשובה: פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שחותכת ב-−1-1 וב-11. «שחותכת בנקודות החיתוך של ff» מעתיקה את השורשים של ff במקום את הקיצונים שלה; פרבולה כלפי מטה הופכת עלייה לירידה.

Check the answer on elev

Exercise 10

גרף הנגזרת f′
-2-10123-3-2-11234xy

בציור גרף הנגזרת f′f', פרבולה החותכת את ציר xx ב-−1-1 וב-22. מיינו כל טענה על ff.

  • נכון בהכרח
  • לא נכון בהכרח
  • f(−1)=0f(-1)=0
  • f(2)<f(0)f(2)<f(0)
  • ff יורדת בתחום 0<x<10<x<1
  • ff עולה בתחום x>2x>2
  • ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1
  • ל-ff יש מקסימום ב-x=−1x=-1
Show the answer and the solution

Answer: ff עולה בתחום x>2x>2 — נכון בהכרח · ל-ff יש מקסימום ב-x=−1x=-1 — נכון בהכרח · ff יורדת בתחום 0<x<10<x<1 — נכון בהכרח · f(2)<f(0)f(2)<f(0) — נכון בהכרח · ל-ff יש מינימום ב-x=−1x=-1 — לא נכון בהכרח · f(−1)=0f(-1)=0 — לא נכון בהכרח

Worked solution:

x<−1:f′>0,  −1<x<2:f′<0,  x>2:f′>0x<-1: f'>0,\ \ -1<x<2: f'<0,\ \ x>2: f'>0

קוראים את הסימנים מהגרף

0<2 ובקטע f יורדת⇒f(2)<f(0)0<2 \ \text{ובקטע} \ f \ \text{יורדת} \Rightarrow f(2)<f(0)

פונקציה יורדת: xx גדול יותר, ערך קטן יותר

המלכודת היא f(−1)=0f(-1)=0: הגרף מראה ש-f′(−1)=0f'(-1)=0, ועל הגובה של ff הוא לא אומר דבר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade