Sign of the derivative: increase, decrease and extreme points

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

דמיינו מטייל שהולך על הגרף משמאל לימין. בכל צעד הוא מרגיש את שיפוע השביל מתחת לרגליו: לפעמים הוא מטפס, לפעמים יורד, ולרגע קצר הוא עומד על מקום שטוח. השיפוע הזה הוא בדיוק שיפוע המשיק — כלומר f′(x)f'(x).

ב-x=1x=1 המשיק לגרף של f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 נוטה כלפי מטה. מה הסימן של f′(1)f'(1), ומה עושה הפונקציה סביב x=1x=1?

Show the answer and the solution

f′(x)=3x2−6xf'(x)=3x^2-6x, ולכן f′(1)=3−6=−3f'(1)=3-6=-3 — שלילי. שיפוע שלילי פירושו שהפונקציה יורדת סביב x=1x=1. שימו לב: לא שאלנו אם f(1)f(1) חיובי — רק לאן הגרף הולך.

מהסימן של f′f' אל העלייה והירידה של ff

f′(x)>0f'(x) > 0

בכל התחום — הפונקציה עולה בתחום (↗).

f′(x)<0f'(x) < 0

בכל התחום — הפונקציה יורדת בתחום (↘).

תחומי עלייה וירידה נכתבים בעזרת xx בלבד: «ff עולה בתחום x<1x<1». את ערכי yy לא כותבים שם. ונקודה בודדת שבה f′=0f'=0 לא «שוברת» עלייה: y=x3y=x^3 עולה לכל xx, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0.

נקודות קיצון

נקודת מקסימום מקומי היא נקודה שבה ערך הפונקציה גדול מכל הערכים בסביבתה הקרובה — ראש של גבעה. נקודת מינימום מקומי היא תחתית של עמק. בשתיהן, בפולינום, המשיק אופקי: f′(x)=0f'(x)=0. לכן נקודה שבה f′(x)=0f'(x)=0 נקראת נקודה חשודה לקיצון.

+ → −+ \ \to \ -

הפונקציה עלתה ואז ירדה — מקסימום.

− → +- \ \to \ +

הפונקציה ירדה ואז עלתה — מינימום.

+ → +או− → −+ \ \to \ + \quad \text{או} \quad - \ \to \ -

אין החלפת סימן — אין קיצון, רק משיק אופקי.

נתון f′(x)=(x−2)2f'(x)=(x-2)^2. האם יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=2x=2?

Show the answer and the solution

לא. (x−2)2≥0(x-2)^2 \ge 0, ולכן הנגזרת חיובית משני צדי x=2x=2 ומתאפסת רק בנקודה עצמה. אין החלפת סימן — הפונקציה עולה לפני 22 וממשיכה לעלות אחריו.

פולינום ממעלה רביעית: f(x)=x4−8x2f(x)=x^4-8x^2

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון.

f′(x)=4x3−16xf'(x)=4x^3-16x

גוזרים איבר-איבר

4x(x−2)(x+2)=04x(x-2)(x+2)=0

מוציאים גורם משותף 4x4x, ומפרקים הפרש ריבועים

x=−2  x=0  x=2\begin{aligned}x &= -2 \\ \ \ x &= 0 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

f′(−3)=−60<0  f′(−1)=12>0  f′(1)=−12<0  f′(3)=60>0\begin{aligned}f'(-3) &= -60<0 \\ \ \ f'(-1) &= 12>0 \\ \ \ f'(1) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 60>0\end{aligned}

מציבים נקודה אחת מכל תחום

min⁡ (−2, −16),max⁡ (0, 0),min⁡ (2, −16)\min\ (-2,\,-16),\quad \max\ (0,\,0),\quad \min\ (2,\,-16)

קוראים את מעברי הסימן, ומציבים ב-ff

↗: −2<x<0 או x>2↘: x<−2 או 0<x<2\nearrow:\ -2<x<0 \ \text{או} \ x>2 \qquad \searrow:\ x<-2 \ \text{או} \ 0<x<2

תחומי העלייה והירידה

שתי הטעויות שעולות הכי הרבה נקודות.

ymax⁡=f′(1)=0\begin{aligned}y_{\max} &= f'(1) \\ &= 0\end{aligned}
ymax⁡=f(1)=5\begin{aligned}y_{\max} &= f(1) \\ &= 5\end{aligned}

בנקודה חשודה הנגזרת תמיד אפס — זה מה שהגדיר אותה. את שיעור ה-yy של הקיצון מקבלים מהצבה ב-ff.

3(x−1)(x−3)<0 ⇒ x<1 או x>33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ x<1 \ \text{או}\ x>3
3(x−1)(x−3)<0 ⇒ 1<x<33(x-1)(x-3)<0 \ \Rightarrow\ 1<x<3

הנגזרת היא פרבולה פתוחה כלפי מעלה, והיא שלילית בין השורשים. כשלא בטוחים — מציבים מספר מהתחום.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו שיעור ה-xx של נקודת המינימום של ff?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 6x^2-6x-12 \\ &= 6(x-2)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1  x=2\begin{aligned}x &= -1 \\ \ \ x &= 2\end{aligned}

הנקודות החשודות

f′(0)=−12<0  f′(3)=24>0\begin{aligned}f'(0) &= -12<0 \\ \ \ f'(3) &= 24>0\end{aligned}

סביב x=2x=2 הסימן עובר מ-−- ל-++

המינימום ב-x=2x=2. ב-x=−1x=-1 יש מקסימום — שתי הנקודות החשודות אינן מאותו סוג, והטבלה היא שמבדילה ביניהן.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. באיזה תחום ff יורדת?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<2x<2
  3. x<−1x<-1 או x>2x>2
  4. −1<x<2-1<x<2
Show the answer and the solution

Answer: D −1<x<2-1<x<2

Worked solution:

f′(x)=6(x−2)(x+1)f'(x)=6(x-2)(x+1)

פרבולה פתוחה כלפי מעלה

f′(x)<0  ⟺  −1<x<2f'(x)<0 \iff -1<x<2

שלילית בין השורשים

התשובה: −1<x<2-1<x<2. «x<−1x<-1 או x>2x>2» הם תחומי העלייה, ו-«−2<x<1-2<x<1» בא משורשים עם סימן הפוך: x+1=0x+1=0 נותן x=−1x=-1, לא x=1x=1.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5. מהו ערך המקסימום המקומי של ff (שיעור ה-yy)?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

f′(−2)=24>0  f′(0)=−12<0\begin{aligned}f'(-2) &= 24>0 \\ \ \ f'(0) &= -12<0\end{aligned}

סביב x=−1x=-1 המעבר מ-++ ל-−- — מקסימום

f(−1)=2(−1)3−3(−1)2−12(−1)+5f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+5

מציבים ב-ff

=−2−3+12+5=12=-2-3+12+5=12

בזהירות עם הסימנים

ערך המקסימום הוא 1212. הטעות הנפוצה: (−1)2=1(-1)^2=1, ולכן −3(−1)2=−3-3(-1)^2=-3 ולא +3+3.

Check the answer on elev

Exercise 4

אם f′(3)=0f'(3)=0, אז בהכרח יש ל-ff נקודת קיצון ב-x=3x=3.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=(x−3)3f(x)=(x-3)^3

דוגמה נגדית

f′(x)=3(x−3)2≥0f'(x)=3(x-3)^2 \ge 0

הנגזרת מתאפסת ב-33 אך אינה מחליפה סימן

לא נכון. f′(3)=0f'(3)=0 הוא תנאי הכרחי לקיצון בפולינום, אבל לא מספיק. רק החלפת סימן של הנגזרת מבטיחה קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 5

לכל פונקציה נתונה הנגזרת שלה ונקודה שבה הנגזרת מתאפסת. מיינו: האם יש שם נקודת קיצון?

  • יש קיצון
  • אין קיצון
  • f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1
  • f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2
  • f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3
  • f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4
  • f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0
Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=x(x−4)f'(x)=x(x-4), בנקודה x=4x=4 — יש קיצון · f′(x)=(x−1)2f'(x)=(x-1)^2, בנקודה x=1x=1 — אין קיצון · f′(x)=(x+3)3f'(x)=(x+3)^3, בנקודה x=−3x=-3 — יש קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=2x=2 — אין קיצון · f′(x)=(x−2)2(x+1)f'(x)=(x-2)^2(x+1), בנקודה x=−1x=-1 — יש קיצון · f′(x)=x4f'(x)=x^4, בנקודה x=0x=0 — אין קיצון

Worked solution:

f′(x)=(x−1)2 ⇒ f′(0)=1>0 f′(2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x-1)^2 \ \Rightarrow\ f'(0) \\ &= 1>0 \\ \ f'(2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בריבוע: אותו סימן משני הצדדים — אין קיצון

f′(x)=(x+3)3 ⇒ f′(−4)=−1<0 f′(−2)=1>0\begin{aligned}f'(x) &= (x+3)^3 \ \Rightarrow\ f'(-4) \\ &= -1<0 \\ \ f'(-2) &= 1>0\end{aligned}

גורם בחזקה שלישית: הסימן מתחלף — יש קיצון

הכלל: גורם בחזקה זוגית לא מחליף סימן, ולכן אין קיצון; גורם בחזקה אי-זוגית מחליף סימן. בספק — מציבים נקודה משני הצדדים.

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(x)=3x2+3f'(x)=3x^2+3

גוזרים

3x2+3=0 ⇒ x2=−1\begin{aligned}3x^2+3 &= 0 \ \Rightarrow\ x^2 \\ &= -1\end{aligned}

אין פתרון

f′(x)≥3>0f'(x)\ge 3>0

הנגזרת חיובית לכל xx

אין אף נקודה חשודה, ולכן אפס נקודות קיצון — ff עולה לכל xx. הטעות היא «לפתור בכוח» ולכתוב x=±1x=\pm 1.

Check the answer on elev

Exercise 7

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)=−x4+2x2f(x)=-x^4+2x^2?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=−4x3+4x=−4x(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -4x^3+4x \\ &= -4x(x-1)(x+1)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

x=−1 0 1\begin{aligned}x &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1\end{aligned}

שלוש חשודות, כל אחת בחזקה 11

+ → − → + → −+\ \to\ -\ \to\ +\ \to\ -

הסימן מתחלף בכל אחת

שלוש: מקסימום ב-x=±1x=\pm1 ומינימום ב-x=0x=0. המקדם השלילי הופך את סדר הסימנים — לכן כדאי להציב נקודה ולא לנחש.

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרו את שלבי מציאת נקודות הקיצון של פולינום

  • בונים טבלת סימנים של f′f'
  • גוזרים את ff
  • מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy
  • משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים
  • קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום
Show the answer and the solution

Answer: גוזרים את ff · משווים את f′(x)f'(x) לאפס ופותרים · בונים טבלת סימנים של f′f' · קובעים לפי החלפת הסימן אם זה מקסימום או מינימום · מציבים ב-ff ומוצאים את שיעור ה-yy

Worked solution:

f′→f′=0→טבלה→סוג→f(x0)f' \to f'=0 \to \text{טבלה} \to \text{סוג} \to f(x_0)

חמשת השלבים

הטבלה באה לפני קביעת הסוג: בלעדיה נקודה חשודה נשארת חשודה.

Check the answer on elev

Exercise 9

מהי נקודת המקסימום של f(x)=−x3+3x+2f(x)=-x^3+3x+2?

  1. (−1, 0)(-1,\ 0)
  2. (1, 4)(1,\ 4)
  3. (1, 0)(1,\ 0)
  4. (−1, 4)(-1,\ 4)
Show the answer and the solution

Answer: B (1, 4)(1,\ 4)

Worked solution:

f′(x)=−3x2+3=−3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2+3 \\ &= -3(x-1)(x+1)\end{aligned}

פרבולה פתוחה כלפי מטה

f′(0)=3>0  f′(2)=−9<0\begin{aligned}f'(0) &= 3>0 \\ \ \ f'(2) &= -9<0\end{aligned}

סביב x=1x=1: מ-++ ל-−-

f(1)=−1+3+2=4\begin{aligned}f(1) &= -1+3+2 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-ff

המקסימום ב-(1, 4)(1,\ 4). (−1, 0)(-1,\ 0) היא נקודת המינימום — מי שהניח «כמו תמיד, השמאלית היא המקסימום» שכח שהמקדם של x3x^3 שלילי. ו-(1, 0)(1,\ 0) לקחה את ערך הנגזרת במקום את ערך הפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5. הוכיחו כי ff עולה לכל xx.

  • f(x)=x3+x−5f(x)=x^3+x-5

ff עולה לכל xx

Show the answer and the solution
  1. f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1 — גזירה איבר-איבר
  2. 3x2≥03x^2 \ge 0 לכל xx — ריבוע של מספר אינו שלילי
  3. f′(x)≥1>0f'(x) \ge 1 > 0 לכל xx — מוסיפים 11 לשני האגפים
  4. ff עולה לכל xx — נגזרת חיובית בכל תחום — הפונקציה עולה בו
Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade