Circle circumference and area

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מעגל אינו מצולע: אי אפשר לחתוך אותו למשולשים ולקבל נוסחת שטח. לכן הוא דורש מספר משלו — π\pi.

מאיפה בא פאי

π\pi הוא היחס בין ההיקף לקוטר. הוא זהה בכל מעגל בעולם, קטן או ענק. מסמנים PP להיקף ו-dd לקוטר:

π=Pd≈3.14\pi = \frac{P}{d} \approx 3.14

שתי הנוסחאות

P=2πrP = 2\pi r

היקף — הקו מסביב. נמדד ביחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

שטח — הפנים המלאים. נמדד ביחידות רבועות.

איך לא להתבלבל: בשטח יש ריבוע — ולכן היחידות בריבוע. בהיקף אין ריבוע ואין יחידות רבועות. שתי החזקות הולכות יחד, תמיד.

רדיוס וקוטר

הרדיוס הולך מהמרכז אל הקצה. הקוטר עובר דרך המרכז, מקצה לקצה, והוא פי שניים מהרדיוס.

d=2rd = 2r

רוב הטעויות בפרק הן בלבול בין רדיוס לקוטר. לפני כל חישוב שאלו: מה נתון — רדיוס או קוטר?

שתי הטעויות של המעגל.

S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

S=(3.14⋅5)2S = (3.14 \cdot 5)^2
S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

החזקה חלה רק על הרדיוס, לא על כל המכפלה. סדר פעולות: קודם חזקה, אחר כך כפל.

חצי עיגול, רבע עיגול, טבעת

בחלק של עיגול, השטח הוא אותו חלק מהשטח המלא. חצי עיגול — חצי מ-πr2\pi r^2.

ההיקף הוא לא רק חלק מהקשת. מוסיפים לו את הקטעים הישרים שסוגרים את הצורה.

לצורה שאין לה נוסחה — משלימים ומחסרים, בדיוק כמו במצולעים.

מה היקף רבע עיגול שרדיוסו 4? (השאירו את π\pi בתשובה)

Show the answer and the solution

2π+82\pi + 8: הקשת היא רבע מההיקף המלא 8π8\pi, כלומר 2π2\pi, ועוד שני רדיוסים — 4 ו-4 — שסוגרים את הצורה.

מהו שטח מעגל שרדיוסו 4? (עם פאי)

Show the answer and the solution

16π16\pi — הרדיוס בריבוע כפול פאי. לא הקוטר!

היקף מעגל הוא 10π10\pi. מהו הרדיוס?

Show the answer and the solution

5. ההיקף 2πr2\pi r — מחלקים ב-2π2\pi.

Exercises

Exercise 1

מהו היקף מעגל שרדיוסו 5? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 31.4

Worked solution:

P=2⋅3.14⋅5P = 2 \cdot 3.14 \cdot 5

מציבים

=31.4= 31.4

מחשבים

ביחידות אורך — אין ריבוע בנוסחה, אין ריבוע ביחידה.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו שטח עיגול שרדיוסו 5? (עם π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 78.5

Worked solution:

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2

קודם החזקה

=3.14⋅25=78.5= 3.14 \cdot 25 = 78.5

ואז הכפל

ביחידות רבועות — יש ריבוע בנוסחה.

Check the answer on elev

Exercise 3

קוטר מעגל הוא 12. מהו הרדיוס?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

r=122=6\begin{aligned}r &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר הוא פי שניים מהרדיוס

בכל נוסחת מעגל מציבים רדיוס — ולכן ההמרה הזאת קודמת לכול.

Check the answer on elev

Exercise 4

10

מהו שטח עיגול שקוטרו 10? (עם π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 78.5

Worked solution:

r=10:2=5\begin{aligned}r &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

קודם מהקוטר לרדיוס

S=3.14⋅25=78.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

ואז הנוסחה

הצבת הקוטר במקום הרדיוס מכפילה את התשובה פי ארבע.

Check the answer on elev

Exercise 5

30

הקוטר של פיצה הוא 30 ס״מ. מה שטחה, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 706.5

Worked solution:

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס: חצי מהקוטר

S=3.14⋅152=3.14⋅225=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 3.14 \cdot 225 \\ &= 706.5\end{aligned}

קודם החזקה, אחר כך הכפל

עם הקוטר במקום הרדיוס יוצא 3.14⋅900=28263.14 \cdot 900 = 2826 — פי ארבעה יותר מדי.

Check the answer on elev

Exercise 6

8

הקטע המודגש עובר דרך המרכז, ואורכו 8 ס״מ. מה היקף המעגל?

  1. 16π16\pi ס״מ
  2. 64π64\pi ס״מ
  3. 8π8\pi ס״מ
  4. 16π16\pi סמ״ר
Show the answer and the solution

Answer: C 8π8\pi ס״מ

Worked solution:

r=8:2=4\begin{aligned}r &= 8 : 2 \\ &= 4\end{aligned}

הקטע הוא קוטר

P=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}

נוסחת ההיקף

16π16\pi יוצא כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס. וסמ״ר הן יחידות של שטח, לא של היקף.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו π\pi?

  1. היחס בין הרדיוס לקוטר
  2. היחס בין השטח לרדיוס
  3. מספר שרירותי
  4. היחס בין ההיקף לקוטר
Show the answer and the solution

Answer: D היחס בין ההיקף לקוטר

Worked solution:

π=Pd\pi = \frac{P}{d}

ההגדרה

והוא זהה בכל מעגל בעולם — קטן או ענק.

Check the answer on elev

Exercise 8

מעגל שרדיוסו 6. מהו שטחו? (כתבו בלי פאי)

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

r2=36r^2 = 36

השטח 36π36\pi

Check the answer on elev

Exercise 9

מעגל שקוטרו 10. מהו היקפו? (בלי פאי)

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

P=dπ=10π\begin{aligned}P &= d\pi \\ &= 10\pi\end{aligned}

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי — או פעמיים הרדיוס כפול פאי.

Check the answer on elev

Exercise 10

?

שטח מעגל 49π49\pi. מהו הרדיוס?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

r2=49  r=7\begin{aligned}r^2 &= 49 \ \\ \ r &= 7\end{aligned}

מחלקים בפאי כדי לבודד את r2r^2, ורק אחר כך מוציאים שורש. שני שלבים, בסדר הזה.

Check the answer on elev

Exercise 11

4

חצי מעגל שרדיוסו 4 — מהו שטחו? (בלי פאי)

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

16π2=8π\frac{16\pi}{2} = 8\pi

מחשבים את העיגול השלם ואז חוצים. שימו לב שהתשובה נשארת עם פאי — לא כל שאלה דורשת מספר עשרוני.

Check the answer on elev

Exercise 12

r3r

פי כמה גדל שטח מעגל כשמכפילים את הרדיוס פי 3?

  1. פי 9
  2. פי 3
  3. פי 27
  4. פי 6
Show the answer and the solution

Answer: A פי 9

Worked solution:

(3r)2=9r2(3r)^2 = 9r^2

השטח תלוי בריבוע הרדיוס — הכפלה פי 3 מרובעת לפי 9.

Check the answer on elev

Exercise 13

מה מחשבים בכל מקרה — את ההיקף או את השטח?

  • היקף
  • שטח
  • כמה בצק צריך לפיצה עגולה
  • כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה
  • כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת
  • כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה
  • כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה
  • כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול
Show the answer and the solution

Answer: כמה מטרים של גדר צריך מסביב לגינה עגולה — היקף · כמה דשא צריך כדי לכסות גינה עגולה — שטח · כמה סרט צריך כדי להקיף עוגה עגולה — היקף · כמה צבע צריך כדי לצבוע שולחן עגול — שטח · כמה מטרים רץ מי שמקיף מזרקה עגולה פעם אחת — היקף · כמה בצק צריך לפיצה עגולה — שטח

Worked solution:

P=2πrP = 2\pi r

הקו מסביב — גדר, סרט, ריצה. יחידות אורך.

S=πr2S = \pi r^2

הפנים המלאים — דשא, צבע, בצק. יחידות רבועות.

שאלו: האם הולכים לאורך הקצה, או מכסים את כל הפנים? רק השני הוא שטח.

Check the answer on elev

Exercise 14

אם מכפילים את הרדיוס של עיגול פי 2, גם השטח שלו גדל פי 2.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

r=3:S=9π\begin{aligned}r &= 3: \quad S \\ &= 9\pi\end{aligned}

עיגול קטן

r=6:S=36π\begin{aligned}r &= 6: \quad S \\ &= 36\pi\end{aligned}

רדיוס כפול

36π:9π=436\pi : 9\pi = 4

השטח גדל פי 4

ברדיוס כפול, ההיקף גדל פי 2, אבל השטח גדל פי 4: הרדיוס בנוסחה בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 15

3

לעיגול שרדיוסו 3 ס״מ: התאימו לכל גודל את הערך שלו (עם π=3.14\pi = 3.14)

  • הרדיוס rr
  • הקוטר dd
  • ההיקף PP
  • השטח SS
  • 18.84 ס״מ
  • 28.26 סמ״ר
  • 3 ס״מ
  • 6 ס״מ
Show the answer and the solution

Answer: הרדיוס rr — 3 ס״מ · הקוטר dd — 6 ס״מ · ההיקף PP — 18.84 ס״מ · השטח SS — 28.26 סמ״ר

Worked solution:

d=2⋅3=6\begin{aligned}d &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר: פי שניים מהרדיוס

P=2⋅3.14⋅3=18.84\begin{aligned}P &= 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \\ &= 18.84\end{aligned}

ההיקף: ביחידות אורך

S=3.14⋅32=3.14⋅9=28.26\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 3^2 \\ &= 3.14 \cdot 9 \\ &= 28.26\end{aligned}

השטח: קודם החזקה, ויחידות רבועות

רק לשטח יש יחידות רבועות. מי שמחשב 3.14⋅623.14 \cdot 6^2 הציב קוטר במקום רדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 16

10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S=3.14⋅52S = 3.14 \cdot 5^2
S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2
Show the answer and the solution

Answer: S=π⋅(2⋅5)2S = \pi \cdot (2 \cdot 5)^2 → S=π⋅52S = \pi \cdot 5^2

Worked solution:

בנוסחת השטח מציבים רדיוס, לא קוטר. אם נתון קוטר — קודם מחלקים ב-2.

Check the answer on elev

Exercise 17

10

רבע עיגול שרדיוסו 10 ס״מ. מה שטחו, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 78.5

Worked solution:

S=3.14⋅102=314\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 10^2 \\ &= 314\end{aligned}

העיגול השלם

314:4=78.5314 : 4 = 78.5

רבע ממנו

חלק של עיגול מקבל את אותו חלק מהשטח: רבע עיגול — רבע מ-πr2\pi r^2. הרדיוס נשאר 10; לא מחלקים אותו ב-4.

Check the answer on elev

Exercise 18

5

מה היקף חצי עיגול שרדיוסו 5 ס״מ — כולל הקוטר שסוגר אותו? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 25.7

Worked solution:

2⋅3.14⋅5=31.42 \cdot 3.14 \cdot 5 = 31.4

היקף המעגל השלם

31.4:2=15.731.4 : 2 = 15.7

חצי — זו הקשת

15.7+10=25.715.7 + 10 = 25.7

ועוד הקוטר, 10

הקשת היא רק חצי מההיקף. בלי הקוטר הצורה לא סגורה — ו-15.7 היא הטעות הנפוצה ביותר בחצי עיגול.

Check the answer on elev

Exercise 19

53

טבעת נוצרת בין שני מעגלים בעלי אותו מרכז: רדיוס הגדול 5 ס״מ, ורדיוס הקטן 3 ס״מ. שטח הטבעת הוא מספר כפול π\pi (בסמ״ר). מהו המספר?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

π⋅52=25π\pi \cdot 5^2 = 25\pi

העיגול הגדול

π⋅32=9π\pi \cdot 3^2 = 9\pi

החור

25π−9π=16π25\pi - 9\pi = 16\pi

מחסרים שטחים

מחסרים שטחים, לא רדיוסים. π⋅(5−3)2=4π\pi \cdot (5 - 3)^2 = 4\pi היא הטעות: עיגול שרדיוסו 2 קטן בהרבה מהטבעת.

Check the answer on elev

Exercise 20

30

פיצה עגולה שקוטרה 30 ס״מ נחתכת ל-8 משולשים שווים מהמרכז. מה שטח משולש אחד, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14, ועגלו לעשירית)

Show the answer and the solution

Answer: 88.3

Worked solution:

r=30:2=15\begin{aligned}r &= 30 : 2 \\ &= 15\end{aligned}

קודם הרדיוס

S=3.14⋅152=706.5\begin{aligned}S &= 3.14 \cdot 15^2 \\ &= 706.5\end{aligned}

הפיצה כולה

706.5:8≈88.3706.5 : 8 \approx 88.3

משולש אחד

ה«משולש» של הפיצה הוא בעצם גזרה — שמינית מהעיגול. הטעות הנפוצה: להציב את הקוטר, 30, ולקבל פי 4.

Check the answer on elev

Exercise 21

10060

מסלול ריצה בנוי משני קטעים ישרים באורך 100 מ׳ כל אחד, ומשני חצאי מעגל בקצוות שקוטרם 60 מ׳. מה אורך הקפה אחת של המסלול, במטרים? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 388.4

Worked solution:

100+100=200100 + 100 = 200

שני הישרים

3.14⋅60=188.43.14 \cdot 60 = 188.4

שני חצאי מעגל = מעגל שלם אחד

200+188.4=388.4200 + 188.4 = 388.4

שני חצאי המעגל יחד הם מעגל שלם — היקפו πd\pi d. שוכחים לפעמים את אחד הישרים, או סופרים רק חצי מעגל אחד.

Check the answer on elev

Exercise 22

402020

מה נותן יותר פיצה: פיצה אחת שקוטרה 40 ס״מ, או שתי פיצות שקוטר כל אחת מהן 20 ס״מ?

  1. שתי הקטנות — יש שתיים
  2. בדיוק אותו דבר
  3. הפיצה הגדולה — פי 4 משתי הקטנות יחד
  4. הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד
Show the answer and the solution

Answer: D הפיצה הגדולה — פי 2 משתי הקטנות יחד

Worked solution:

π⋅202=400π\pi \cdot 20^2 = 400\pi

הגדולה, רדיוס 20

2⋅π⋅102=200π2 \cdot \pi \cdot 10^2 = 200\pi

שתי הקטנות, רדיוס 10

400π:200π=2400\pi : 200\pi = 2

קוטר כפול — שטח פי 4. לכן הגדולה שווה לארבע קטנות, ושתי קטנות הן רק חצי ממנה. «בדיוק אותו דבר» חושב שהשטח גדל כמו הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 23

1010

בריבוע שצלעו 10 ס״מ מצויר רבע עיגול: מרכזו בקודקוד של הריבוע, ורדיוסו כצלע הריבוע. מה שטח החלק האפור — הריבוע פחות רבע העיגול, בסמ״ר? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 21.5

Worked solution:

10⋅10=10010 \cdot 10 = 100

הריבוע

3.14⋅1024=78.5\frac{3.14 \cdot 10^2}{4} = 78.5

רבע העיגול

100−78.5=21.5100 - 78.5 = 21.5

מחסרים

הצורה האפורה אין לה נוסחה — משלימים לריבוע ומחסרים את רבע העיגול. השאלה לבדוק: האם רבע העיגול באמת נכנס כולו בתוך הריבוע? כן, כי הרדיוס שווה לצלע.

Check the answer on elev

Exercise 24

8

מעגל שקוטרו 8. מחשבים את ההיקף ואת השטח — שורה אחת שגויה, מצאו אותה

d=8 ⇒ r=4\begin{aligned}d &= 8 \ \Rightarrow \ r \\ &= 4\end{aligned}
P=2πr=2π⋅4=8π\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= 2\pi \cdot 4 \\ &= 8\pi\end{aligned}
S=πr2=π⋅82=64π\begin{aligned}S &= \pi r^2 \\ &= \pi \cdot 8^2 \\ &= 64\pi\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: S=πr2=π⋅82=64πS = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi → S=π⋅42=16πS = \pi \cdot 4^2 = 16\pi

Worked solution:

S=π⋅42=16π\begin{aligned}S &= \pi \cdot 4^2 \\ &= 16\pi\end{aligned}

מציבים את הרדיוס, 4

בשורה השלישית הוצב הקוטר במקום הרדיוס — והתשובה יצאה פי 4. את הרדיוס כבר חישבו בשורה הראשונה; צריך רק להשתמש בו.

Check the answer on elev

Exercise 25

?

היקף שולחן עגול הוא 314 ס״מ. מהו קוטר השולחן, בס״מ? (השתמשו ב-π=3.14\pi = 3.14)

Show the answer and the solution

Answer: 100

Worked solution:

P=π⋅dP = \pi \cdot d

ההיקף הוא הקוטר כפול פאי

d=314:3.14=100\begin{aligned}d &= 314 : 3.14 \\ &= 100\end{aligned}

הולכים אחורה

מחלקים ב-π\pi ומקבלים את הקוטר. מי שמחלק ב-2π2\pi מקבל 50 — שזה הרדיוס, לא הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 26

36

כשמכפילים את הרדיוס של מעגל פי 2, גם ההיקף שלו גדל פי 2.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2π⋅3=6π2\pi \cdot 3 = 6\pi

רדיוס 3

2π⋅6=12π2\pi \cdot 6 = 12\pi

רדיוס 6 — פי 2

ההיקף תלוי ברדיוס עצמו, בלי ריבוע — ולכן גדל פי 2. השטח, לעומתו, גדל פי 4: π⋅62=36π\pi \cdot 6^2 = 36\pi לעומת 9π9\pi.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade