סדרות ותבניות — לבדוק לפי הסדר

ב-elev Bar-Ilan השיעור הזה מגיע עם:

  • כל תרגיל נבדק ברגע שעונים
  • רמז בדיוק כשנתקעים
  • מעקב אחרי ההתקדמות, פרק אחרי פרק
לתרגל ב-elev Bar-Ilan

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: חשיבה מתמטית-לוגית

בכל מבחן כניסה יש כמה שאלות של סדרות. הן נראות כמו חידות, אבל רובן שייכות לחמש משפחות בלבד. מי שבודק אותן לפי סדר קבוע פותר סדרה בחצי דקה; מי שמנחש — מתבלבל דווקא בקלות.

כרטיס שיטה: חמש שאלות, לפי הסדר

  1. 5,  8,  11,  145,\; 8,\; 11,\; 14

    1. הפרש קבוע? מוסיפים בכל פעם אותו מספר

  2. 2,  5,  11,  20,  322,\; 5,\; 11,\; 20,\; 32

    2. הפרשים שגדלים? כותבים שורת הפרשים מתחת, ובודקים אותה

  3. 3,  6,  12,  243,\; 6,\; 12,\; 24

    3. כפל? כל איבר פי מספר קבוע מהקודם

  4. 1,  50,  3,  45,  91,\; 50,\; 3,\; 45,\; 9

    4. שתי סדרות שזורות? מקומות אי-זוגיים לחוד, זוגיים לחוד

  5. 2,  6,  3,  9,  62,\; 6,\; 3,\; 9,\; 6

    5. שני כללים לסירוגין? חץ אחרי חץ, אותם שני כללים

  6. 1,  1,  2,  3,  51,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5

    ואם אף אחד לא עובד: כל איבר נבנה משני הקודמים

השלבים: (1) כותבים את ההפרשים בין כל שני איברים. (2) אם הם קבועים — סיימנו. (3) אם לא — מסתכלים עליהם כעל סדרה חדשה. (4) אם ההפרשים קופצים למעלה ולמטה — בודקים שזירה או שני כללים. (5) לפני שבוחרים תשובה, בודקים את הכלל על כל האיברים, לא רק על שניים.

הפרשים שגדלים — שורה מתחת לשורה

כשההפרשים אינם קבועים, הם עצמם בונים סדרה. לפעמים ההפרש של ההפרשים קבוע, ולפעמים כל הפרש פי מספר קבוע מהקודם. רק אחרי שמזהים את הסדרה של ההפרשים — ממשיכים אותה צעד אחד.

פעילות אינטראקטיבית

2,5,11,20,32,…2, 5, 11, 20, 32, \ldots — מהו האיבר הבא?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

3,4,6,10,18,…3, 4, 6, 10, 18, \ldots — וכאן?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

המלכודת הכי נפוצה: לחזור על ההפרש האחרון.

32+12=4432 + 12 = 44
32+15=4732 + 15 = 47

ההפרשים 3,6,9,123, 6, 9, 12 ממשיכים ל-1515 — הם לא נעצרים

18+8=2618 + 8 = 26
18+16=3418 + 16 = 34

ההפרשים 1,2,4,81, 2, 4, 8 מוכפלים ב-22: הבא הוא 1616

מה הבא בסדרה 1,4,9,16,251, 4, 9, 16, 25? ולמה ההפרשים שלה הם 3,5,7,93, 5, 7, 9?

להציג את התשובה והפתרון

3636: אלה הריבועים 12,22,32,…1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots. ההפרש בין שני ריבועים עוקבים הוא תמיד מספר אי-זוגי: (n+1)2−n2=2n+1(n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1.

שני כללים, או שתי סדרות?

שתי משפחות נראות דומות, אבל הן שונות. בשני כללים לסירוגין יש סדרה אחת, וכל איבר נבנה מהקודם לו — פעם בכלל אחד, פעם בשני. בסדרה שזורה יש שתי סדרות נפרדות: כל איבר נבנה מהאיבר שני מקומות לפניו.

פעילות אינטראקטיבית

2,6,3,9,6,18,…2, 6, 3, 9, 6, 18, \ldots — איזה כלל על כל חץ?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

1,50,3,45,9,40,27,…1, 50, 3, 45, 9, 40, 27, \ldots — מהו האיבר ה-1212?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

בסדרה שזורה, האיבר הבא שייך לסדרה השנייה.

27×3=8127 \times 3 = 81
40−5=3540 - 5 = 35

האיבר השמיני נמצא במקום זוגי, ולכן ממשיך את 50,45,4050, 45, 40

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev Bar-Ilan כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev Bar-Ilan

מחזור: רק השארית קובעת

כשתבנית חוזרת על עצמה כל kk איברים, אין צורך לכתוב 100100 איברים. מחלקים את המקום ב-kk, והשארית אומרת איפה במחזור נמצאים. שארית 00 פירושה האיבר האחרון במחזור — לא הראשון.

פעילות אינטראקטיבית

אדום

כחול

ירוק

צהוב

לבן

חמישה צבעים חוזרים — מה הצבע במקום ה-8383?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

מהי ספרת האחדות של 3453^{45}?

כפל אחד ב-33

30=13^{0} = 1, ואחריו 3,9,7,1,…3, 9, 7, 1, \ldots — מחזור באורך 44. כמה סיבובים שלמים יש ב-4545, ומה נשאר?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: ימי השבוע

היום יום שלישי. איזה יום יהיה בעוד 100100 ימים?

100=7×14+2100 = 7 \times 14 + 2

אחרי 1414 שבועות שלמים — שוב יום שלישי

+2\text{+2}

ועוד יומיים: רביעי, חמישי

שתי טעויות של שארית.

84=4×21→184 = 4 \times 21 \to \text{1}
84=4×21→484 = 4 \times 21 \to \text{4}

שארית 00 היא סוף המחזור — האיבר האחרון שלו

345→45:33^{45} \to 45 : 3
345→45:43^{45} \to 45 : 4

מחלקים באורך המחזור (44), לא בבסיס

תבניות מצוירות

בתבנית מצוירת סופרים את השלבים הראשונים ורושמים טבלה: שלב, ומספר. אחר כך מחפשים כלל בטבלה, בדיוק כמו בסדרה. וזהירות מספירה כפולה: פינה ששייכת לשתי צלעות נספרת פעם אחת.

פעילות אינטראקטיבית

מדרגות של ריבועים

בכל שלב נוספת עמודה גבוהה ב-11 מהעמודה הקודמת: 1,3,6,10,…1, 3, 6, 10, \ldots

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

אריחים

מסגרת ריבועית: בכל צלע 1212 אריחים. כמה אריחים במסגרת?

מי שכופל 4×124 \times 12 סופר כל פינה פעמיים.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: ריבועים מגפרורים

ריבוע אחד בנוי מ-44 גפרורים, שני ריבועים צמודים — מ-77, שלושה — מ-1010. כמה גפרורים צריך ל-2020 ריבועים?

4,  7,  104,\; 7,\; 10

כל ריבוע חדש מוסיף 33 גפרורים: הצלע המשותפת כבר קיימת

4+3×19=614 + 3 \times 19 = 61

הריבוע הראשון, ועוד 1919 ריבועים

3×20+1=613 \times 20 + 1 = 61

או בכלל: 3n+13n + 1

במגדל המדרגות: 1,3,6,101, 3, 6, 10 ריבועים. כמה ריבועים בשלב ה-1010?

להציג את התשובה והפתרון

5555: 1+2+3+…+101 + 2 + 3 + \ldots + 10. קיצור: 10×112=55\frac{10 \times 11}{2} = 55 — זוגות של מספרים מהקצוות, שכל אחד מהם סכומו 1111.

סיכום השיטה: הפרשים ← הפרשי הפרשים או כפל ← שזירה או שני כללים ← שני הקודמים. מחזור ← שארית (ושארית 00 = הסוף). תבנית מצוירת ← טבלה, ואז כלל. ותמיד: בודקים את הכלל על כל האיברים.

השיעור הבא מחכה ב-elev Bar-Ilan

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev Bar-Ilanלגלות את elev Bar-Ilan לכיתה הזאת

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: חשיבה מתמטית-לוגית