אומדן — לחשוב על הגודל לפני שמחשבים

ב-elev Bar-Ilan השיעור הזה מגיע עם:

  • כל תרגיל נבדק ברגע שעונים
  • רמז בדיוק כשנתקעים
  • מעקב אחרי ההתקדמות, פרק אחרי פרק
לתרגל ב-elev Bar-Ilan

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: הנדסת המישור

בשאלות של בחינת הכניסה לכיתה ח׳ המספרים כבר לא נוחים: עשרוניים קטנים, מספרים שליליים, שורשים ואחוזים. דווקא שם אומדן חוסך הכי הרבה זמן — ומגן מטעות בנקודה העשרונית או בסימן.

כרטיס שיטה: חמש שאלות לפני כל חישוב

  1. (−)×(−)=(+)(-) \times (-) = (+)

    הסימן — כמה גורמים שליליים יש? מספר זוגי: חיובי

  2. 0.0048×52,000≈0.005×50,0000.0048 \times 52{,}000 \approx 0.005 \times 50{,}000

    עיגול נוח — לספרה הראשונה, גם במספר עשרוני

  3. 10−3×104=1010^{-3} \times 10^{4} = 10

    סדר גודל — סופרים מקומות אחרי הנקודה ואפסים

  4. …3−…6→…7\ldots 3 - \ldots 6 \to \ldots 7

    ספרת האחדות — בחיבור, בחיסור ובכפל

  5. 112<130<12211^{2} < 130 < 12^{2}

    גבולות — ריבועים, חזקות או עיגול למטה ולמעלה

השלבים: (1) קוראים את התשובות. (2) קובעים סימן וסדר גודל — זה לבד פוסל לרוב שתי תשובות. (3) עיגול נוח בין התשובות שנשארו. (4) אם שתיים עדיין קרובות: ספרת אחדות או גבולות.

עשרוניים: כפל וחילוק במספר קטן מ-11

כפל במספר קטן מ-11 מקטין, וחילוק בו מגדיל. לפני שמחשבים, כדאי להחליט לאיזה כיוון התוצאה הולכת: 2985:0.482985 : 0.48 גדול מ-29852985, לא קטן ממנו.

עשרוני נוח הוא כזה שמתרגמים לשבר: 0.5=120.5 = \frac{1}{2}, 0.25=140.25 = \frac{1}{4}, 0.2=150.2 = \frac{1}{5}, 0.125=180.125 = \frac{1}{8}. חילוק ב-0.50.5 הוא כפל ב-22.

פעילות אינטראקטיבית

2985:0.482985 : 0.48 — בערך כמה?

כדאי לנסות: 0.50.5 הוא חצי, ולכן חילוק בו הוא כפל ב-22.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: שלושה מספרים, שתי נקודות

איזה מספר הכי קרוב ל-0.0023×41000.47\frac{0.0023 \times 4100}{0.47}: 0.20.2, 22, 2020 או 200200?

0.0023×4100≈0.002×4000=80.0023 \times 4100 \approx 0.002 \times 4000 = 8

שלושה מקומות אחרי הנקודה, ושלושה אפסים: מתבטלים

0.47≈0.50.47 \approx 0.5
8:0.5=168 : 0.5 = 16

חילוק בחצי: כפל ב-22

16≈2016 \approx 20

עיגלנו את 0.00230.0023 ואת 41004100 למטה, והתוצאה גבוהה מ-1616: התשובה 2020 (בדיוק: כ-20.0620.06)

שתי טעויות של נקודה עשרונית.

2985:0.48≈15002985 : 0.48 \approx 1500
2985:0.48≈60002985 : 0.48 \approx 6000

חילוק במספר קטן מ-11 מגדיל: חילוק בחצי הוא כפל ב-22

0.33=0.90.3^{3} = 0.9
0.33=0.0270.3^{3} = 0.027

כל כפל ב-0.30.3 מוסיף מקום אחרי הנקודה: שלושה גורמים — שלושה מקומות

בלי לחשב: 7.920.019\frac{7.92}{0.019} — בערך 4040, 400400 או 40004000?

להציג את התשובה והפתרון

400400. 7.92≈87.92 \approx 8 ו-0.019≈0.020.019 \approx 0.02, ו-8:0.02=800:2=4008 : 0.02 = 800 : 2 = 400. (בדיוק: כ-417417.)

שורשים וחזקות באומדן

שורש שאינו שלם מעריכים בעזרת שני ריבועים שכנים. וחזקות גדולות מעריכים בעזרת 210=1024≈10002^{10} = 1024 \approx 1000: לכן 220≈1,000,0002^{20} \approx 1{,}000{,}000.

פעילות אינטראקטיבית

130\sqrt{130} — בין אילו שלמים?

נגיעה במספר בונה עמודה בגובה הריבוע שלו. מחפשים ריבוע אחד מתחת ל-130130 ואחד מעליו.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

מה לא עושים עם שורשים.

50+50=100\sqrt{50} + \sqrt{50} = \sqrt{100}
50+50≈7+7=14\sqrt{50} + \sqrt{50} \approx 7 + 7 = 14

שורשים לא מתחברים מתחת לשורש אחד

0.81=0.09\sqrt{0.81} = 0.09
0.81=0.9\sqrt{0.81} = 0.9

השורש של מספר בין 00 ל-11 גדול ממנו: 0.9×0.9=0.810.9 \times 0.9 = 0.81

מה גדול יותר: 10+10\sqrt{10} + \sqrt{10} או 66?

להציג את התשובה והפתרון

10+10\sqrt{10} + \sqrt{10}. כי 32=9<103^{2} = 9 < 10, ולכן 10>3\sqrt{10} > 3, והסכום גדול מ-66 (בערך 6.326.32).

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev Bar-Ilan כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev Bar-Ilan

סימן וספרת אחדות: לפסול בשנייה

במכפלה, מספר זוגי של גורמים שליליים נותן תוצאה חיובית, ומספר אי-זוגי — שלילית. ובחיסור, ספרת האחדות נקבעת "עם השאלה": 9013−47869013 - 4786 מסתיים ב-13−6=713 - 6 = 7.

פעילות אינטראקטיבית

מה התוצאה של 9013−47869013 - 4786?

הגבולות בחיסור: המחוסר עוגל הפוך מהמחסר — כך מקבלים את הקטן ביותר ואת הגדול ביותר.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

גבולות בחיסור ובשליליים.

9000−4000≤…≤10,000−50009000 - 4000 \leq \ldots \leq 10{,}000 - 5000
9000−5000≤…≤10,000−40009000 - 5000 \leq \ldots \leq 10{,}000 - 4000

כדי לקבל את הגבול התחתון מחסרים את המספר הגדול ביותר

(−3)×(−4)×(−5)=60(-3) \times (-4) \times (-5) = 60
(−3)×(−4)×(−5)=−60(-3) \times (-4) \times (-5) = -60

שלושה גורמים שליליים: מספר אי-זוגי, ולכן התוצאה שלילית

גבולות: כשהתשובות קרובות

כשהתשובות רחוקות זו מזו בפחות מ-10%10\%, עיגול אחד לא מכריע. מעגלים הכול למטה וגם הכול למעלה: התוצאה בין השניים, ולרוב רק תשובה אחת נשארת שם.

פעילות אינטראקטיבית

12.6×8.412.6 \times 8.4 — מה התוצאה?

שלוש תשובות "נראות נכון". רק הגבולות מכריעים.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: אחוז על אחוז

מחיר עלה ב-19%19\%, ואחר כך ירד ב-19%19\%. בערך כמה אחוזים מהמחיר המקורי הוא עכשיו?

1.19×0.811.19 \times 0.81

עלייה: כפל ב-1.191.19. ירידה: כפל ב-0.810.81

(1+0.19)(1−0.19)=1−0.192(1 + 0.19)(1 - 0.19) = 1 - 0.19^{2}
0.192≈0.22=0.040.19^{2} \approx 0.2^{2} = 0.04

בערך 4%4\% פחות

1−0.0361=0.9639≈96%1 - 0.0361 = 0.9639 \approx 96\%

הירידה מחושבת על מחיר גדול יותר, ולכן לא חוזרים ל-100%100\%

אומדן בשאלה מילולית

בשאלה מילולית, קודם כותבים את התרגיל במילים, ורק אז מעגלים. וכדאי לזכור: יממה =86,400= 86{,}400 שניות ≈9×104\approx 9 \times 10^{4}, ושנה ≈3×107\approx 3 \times 10^{7} שניות.

דוגמה פתורה: אור השמש

אור עובר כ-300,000300{,}000 ק״מ בשנייה, והשמש רחוקה כ-150,000,000150{,}000{,}000 ק״מ. בערך כמה דקות לוקח לאור להגיע? התשובות: 0.80.8, 88, 8080, 500500.

150,000,000:300,000=1500:3=500\begin{aligned}150{,}000{,}000 : 300{,}000 &= 1500 : 3 \\ &= 500\end{aligned}

שניות

500:60≈8500 : 60 \approx 8

דקות

המלכודת: לענות ביחידה הלא נכונה.

500500
500 s≈8 min500 \text{ s} \approx 8 \text{ min}

500500 היא התשובה בשניות — והשאלה על דקות. התשובה השגויה הזאת תמיד מופיעה בין האפשרויות

מניה עלתה ב-4%4\% בכל חודש במשך שנה. האם היא גדלה פי 1.481.48, פחות או יותר?

להציג את התשובה והפתרון

יותר: כל עלייה מחושבת על מחיר גבוה יותר. בערך פי 1.61.6 (1.0412≈1.601.04^{12} \approx 1.60). 1.481.48 הוא מה שיוצא למי שחיבר 12×4%12 \times 4\%.

סיכום השיטה: סימן ← סדר גודל (נקודה, אפסים, חזקות של 1010) ← עיגול נוח ← ספרת אחדות או גבולות ← יחידות ובדיקת היגיון.

השיעור הבא מחכה ב-elev Bar-Ilan

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev Bar-Ilanלגלות את elev Bar-Ilan לכיתה הזאת

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: הנדסת המישור