שתי פרבולות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

השיטה זהה: משווים בין שתי הפונקציות. ההבדל הוא במה שקורה אחר כך.

כשלשתי הפרבולות אותו מקדם aa, איברי ה-x2x^2 מתבטלים. נשארת משוואה ממעלה ראשונה — ולכן לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

כשהמקדמים שווים, אין כאן שורש בכלל — המשוואה ירדה למעלה ראשונה. לכן אין שום דרך לקבל שתי נקודות.

ומה אם גם ה-bb שווה? למשל y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=x2+3y = x^2 + 3.

להציג את התשובה והפתרון

אין חיתוך. משווים ומקבלים 1=31 = 3 — אין פתרון. אותה צורה בדיוק, אחת מעל השנייה, והן לא נפגשות.

אותו מקדם — חיתוך יחיד

מצאו את נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12.

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

2x=−4x+122x = -4x + 12

ה-x2x^2 מתבטל משני האגפים

6x=126x = 12

מכנסים

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים באחת הפרבולות

(2, 8)(2,\, 8)

נקודת החיתוך היחידה

וכשהמקדמים שונים — ה-x2x^2 לא מתבטל, נשארת משוואה ריבועית, וחוזרים למקרה המוכר: שתי נקודות, אחת, או אף אחת.

מקדמים שונים

מצאו את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9.

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

מעבירים — נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני פתרונות — שני סימנים

y=2⋅9=18\begin{aligned}y &= 2 \cdot 9 \\ &= 18\end{aligned}

מציבים

(3, 18) , (−3, 18)(3,\, 18) \ , \ (-3,\, 18)

שתי נקודות

ציר הסימטריה

כזכור משלב הקודקוד, ציר הסימטריה הוא הקו האנכי שעובר דרך הקודקוד. המשוואה שלו:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

ולכן המרחק בין שני צירי סימטריה הוא פשוט הפרש שני ערכי ה-xx האלה — בערך מוחלט, כי מרחק לעולם אינו שלילי.

מרחק בין צירים

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

x1=42=2\begin{aligned}x_1 &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

המרחק ביניהם

הטעות של שתי פרבולות.

x2=9 ⇒ x=3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}
x2=9 ⇒ x=3  x=−3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. גם (−3)2=9(-3)^2 = 9.

שתי פרבולות⇒תמיד שתי נקודות\text{שתי פרבולות} \Rightarrow \text{תמיד שתי נקודות}
אותו a⇒לכל היותר נקודה אחת\text{אותו } a \Rightarrow \text{לכל היותר נקודה אחת}

כשהמקדמים שווים ה-x2x^2 מתבטל, והמשוואה יורדת למעלה ראשונה.

איך מוצאים נקודות חיתוך של פרבולה וישר?

להציג את התשובה והפתרון

משווים: x2−2x=x+4x^2 - 2x = x + 4, מעבירים אגף ופותרים משוואה ריבועית. כל שורש — נקודת חיתוך.

כמה נקודות חיתוך אפשריות בין פרבולה לישר?

להציג את התשובה והפתרון

0, 1 או 2 — כמספר הפתרונות של משוואת החיתוך: שני פתרונות, פתרון אחד, או אף אחד.

תרגילים

תרגיל 1

מהי נקודת החיתוך של y=x2+2xy = x^2 + 2x ושל y=x2−4x+12y = x^2 - 4x + 12?

  1. (−2, 0)(-2,\, 0)
  2. (2, 8)(2,\, 8)
  3. אין נקודת חיתוך
  4. (2, 4)(2,\, 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב (2, 8)(2,\, 8)

הפתרון:

x2+2x=x2−4x+12x^2 + 2x = x^2 - 4x + 12

משווים

6x=126x = 12

ה-x2x^2 מתבטל

x=2x = 2

ערך יחיד

y=4+4=8\begin{aligned}y &= 4 + 4 \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

אותו מקדם aa — ולכן נקודה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2+3xy = x^2 + 3x ול-y=x2−x+8y = x^2 - x + 8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

3x=−x+83x = -x + 8

ה-x2x^2 מתבטל

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

משוואה ממעלה ראשונה

ה-x2x^2 התבטל, ונשארה משוואה ממעלה ראשונה עם פתרון אחד — ולכן נקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהן נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9?

  1. (3, 18)(3,\, 18) בלבד
  2. (9, 162)(9,\, 162)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18)

הפתרון:

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9

משווים

x2=9x^2 = 9

נשאר ריבועי

x=3  x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני סימנים

y=18y = 18

אותו yy לשניהם

המקדמים שונים — ולכן ה-x2x^2 שרד, ויש שתי נקודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו ציר הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x? כתבו את ערך ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

הנוסחה

x=42=2\begin{aligned}x &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים a=1a = 1, b=−4b = -4

המינוס בנוסחה הופך את −4-4 ל-+4+4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו המרחק בין צירי הסימטריה של y=x2−4xy = x^2 - 4x ושל y=x2+6xy = x^2 + 6x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x1=2x_1 = 2

ציר הראשונה

x2=−62=−3\begin{aligned}x_2 &= \frac{-6}{2} \\ &= -3\end{aligned}

ציר השנייה

∣2−(−3)∣=5|2 - (-3)| = 5

הפרש בערך מוחלט

מרחק לעולם אינו שלילי — ולכן ערך מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

y=x2y = x^2 ו-y=9y = 9: כמה נקודות חיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x=±3x = \pm 3

ישר אופקי חותך פרבולה בשתי נקודות כשהוא מעל הקודקוד, באחת כשהוא נוגע בו, ובאף אחת מתחתיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

y=x2y = x^2 ו-y=2xy = 2x: מצאו את נקודת החיתוך שאינה הראשית — מהו ה-x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2=2x  x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 &= 2x \ \\ \ x(x-2) &= 0\end{aligned}

משווים את שני הביטויים ומפרקים. הראשית היא פתרון תמיד כאן — מבקשים את השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

y=x2+1y = x^2 + 1 ו-y=xy = x: כמה חיתוכים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0

דיסקרימיננטה שלילית — אין

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

y=x2−3xy = x^2 - 3x ו-y=x−3y = x - 3: מהו סכום שיעורי ה-x של החיתוכים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0
1+3=41 + 3 = 4

משווים, מסדרים למשוואה ריבועית, ומפרקים. סכום השורשים אפשר גם לקרוא ישירות מהמקדמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא 00. כמה פתרונות יש?

  1. אף אחד
  2. אחד בדיוק
  3. אינסוף
  4. שניים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אחד בדיוק

הפתרון:

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

פתרון אחד, ולכן נקודת חיתוך אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שתי פרבולות עם אותו מקדם aa נחתכות תמיד בנקודה אחת בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2+1=x2+3x^2 + 1 = x^2 + 3

למשל — אותו aa, וגם אותו bb

1=31 = 3

ה-x2x^2 מתבטל, ואין פתרון

אותו aa נותן לכל היותר נקודה אחת. אם גם bb שווה, הפרבולות לא נפגשות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מוצאים את נקודות החיתוך של y=2x2y = 2x^2 ושל y=x2+9y = x^2 + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

2x2=x2+92x^2 = x^2 + 9
x2=9x^2 = 9
x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=3x = 3 → x=3 , x=−3x = 3 \ , \ x = -3

הפתרון:

(−3)2=9(-3)^2 = 9

גם מינוס 3 בריבוע הוא 9

שורש ריבועי במשוואה נותן שני פתרונות. ולכן שתי נקודות חיתוך: (3, 18)(3,\, 18) ו-(−3, 18)(-3,\, 18).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת