ערך מוחלט וזיהוי גרפים · קדם אנליזה · כיתה י״א

טרנספורמציה אחרונה: ערך מוחלט. $y=|f(x)|$ לוקחת את הגובה של $f$ ומוחקת את הסימן שלו. גובה חיובי נשאר, גובה שלילי הופך לחיובי. הסתכלו מה זה עושה לפרבולה.

הפרבולה f והגרף של |f|

f(x) = x² − 2x − 3
y = |f(x)|

מה שמעל ציר ה-

x

נשאר במקומו. מה שמתחתיו משתקף למעלה: הקודקוד

(1,-4)

עובר ל-

(1,4)

, ונעשה נקודת מקסימום מקומי. באפסים

x=-1

ו-

x=3

הגרף נוגע בציר בפינה חדה: אלה נקודות מינימום. והישר המקווקו

y=2

חותך את הגרף בארבע נקודות.

באילו ערכים של $x$ הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

היכן ש- $f \geq 0$ : ב- $x \leq -1$ וב- $x \geq 3$ . שם $|f(x)|=f(x)$ . בין $-1$ ל- $3$ , $f$ שלילית, ו- $|f(x)|=-f(x)$ .

מה קורה לכל חלק של הגרף

f(x) \geq 0

$|f(x)|=f(x)$ : החלק נשאר

f(x)<0

$|f(x)|=-f(x)$ : החלק משתקף בציר ה- $x$ ועולה מעליו

f(a)=0

$(a,\,0)$ נשארת, ונעשית נקודת מינימום של $|f|$ — הגרף לא יורד מתחת לאפס

\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b<0\end{aligned}

הופך למקסימום מקומי $(a,\,-b)$ של $|f|$

הגרף של $|f|$ לעולם אינו יורד מתחת לציר ה- $x$ . ואם $f$ חיובית בכל מקום, למשל $x^2+1$ , אז $|f|=f$ ושום דבר לא משתנה.

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?

שאלה שחוזרת בבגרות: כמה פתרונות יש למשוואה $|f(x)|=c$ ? את המשוואה לא פותרים. מעבירים ישר אופקי $y=c$ וסופרים את נקודות החיתוך שלו עם הגרף של $|f|$ . בשרטוט, עם $f(x)=x^2-2x-3$ והמקסימום המקומי $(1,4)$ :

c<0

אין פתרונות: $|f|$ אינה שלילית

c=0

שני פתרונות: האפסים $x=-1$ ו- $x=3$

0<c<4

ארבעה פתרונות: שניים בענפים החיצוניים, ושניים בכיפה שהשתקפה

c=4

שלושה פתרונות: הישר נוגע בקצה הכיפה

c>4

שני פתרונות: הישר עובר מעל הכיפה

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-2x-3|=2$ ? היעזרו בשרטוט.

להציג את התשובה והפתרון

$0<2<4$ , ולכן ארבעה פתרונות. בדיקה אלגברית: $x^2-2x-3=2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{6}$ , ו- $x^2-2x-3=-2$ נותנת $x=1\pm\sqrt{2}$ .

לזהות את הגרף של $\frac{1}{f}$ לפי שלושה סימנים

הפרבולה $f(x)=-x^2+4$ נתונה. תלמידה שרטטה גרף ואמרה שזה הגרף של $g=\frac{1}{f}$ . אילו שלושה דברים היא צריכה לבדוק בגרף שלה?

f(x)=-(x-2)(x+2)

אפסים: $\pm 2$ . בגרף של $g$ חייבות להיות אסימפטוטות $x=-2$ ו- $x=2$

-2<x<2: \ f>0 \Rightarrow g>0

סימן: בין האסימפטוטות $g$ מעל הציר, ומחוצה להן מתחת

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

קיצון: בין האסימפטוטות יש ל- $g$ נקודת מינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$

בשאלות «התאימו גרף» אל תחפשו את כל הפרטים. בדקו קודם את האסימפטוטות האנכיות (האפסים של $f$ ). אחר כך את הסימן בכל קטע. ברוב המקרים שני אלה מספיקים לפסול את כל הגרפים השגויים.

שלוש טעויות עם ערך מוחלט.

|f|: \ \min f=(1,\,-4) \to \min (1,\,4)

\max (1,\,4)

הקודקוד שהיה הכי נמוך הופך לנקודה הכי גבוהה בכיפה. המינימומים של $|f|$ נמצאים באפסים.

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (-a,\,b)

|f(x)|: \ (a,\,b) \to (a,\,|b|)

ערך מוחלט פועל על הגובה, לא על $x$ . שום חלק של הגרף לא עובר מימין לשמאל.

|x^2-4|=-1: \ 2 \ \text{פתרונות}

|x^2-4|=-1: \ \varnothing

ערך מוחלט לעולם אינו שלילי. לפני שסופרים חיתוכים, בודקים את הסימן של $c$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=x^2-6x+5$ . מהו הערך של $|f(3)|$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

קודם $f$

|-4|=4

ואז ערך מוחלט

$x=3$ הוא קודקוד הפרבולה, מתחת לציר. בגרף של $|f|$ הוא הופך לנקודת המקסימום המקומי $(3,\,4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2-4|=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $4$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-4 &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{7}\end{aligned}

שני פתרונות

\begin{aligned}x^2-4 &= -3 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

עוד שניים

הנכונה: $4$ . המקסימום המקומי של $|x^2-4|$ הוא $(0,\,4)$ , ו- $0<3<4$ . מי שפותר רק $x^2-4=3$ מקבל שניים ושוכח את הכיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=x^2-2x-8$ . לגרף של $|f|$ יש נקודת מקסימום מקומי אחת. השלימו את שיעוריה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 1 , $y=$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד של $f$ : $(1,\,-9)$

|{-9}|=9

הקודקוד השלילי משתקף

המקסימום המקומי של $|f|$ הוא הקודקוד של $f$ אחרי שיקוף: $(1,9)$ . המינימומים נמצאים באפסים $x=-2$ ו- $x=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לכל פונקציה $f$ ולכל $x$ מתקיים $|f(x)| \geq f(x)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x) \geq 0: \ |f(x)|=f(x)

שוויון

f(x)<0: \ |f(x)|>0>f(x)

גדול ממש

הטענה נכונה. הגרף של $|f|$ נמצא תמיד על הגרף של $f$ או מעליו. הם מתלכדים היכן ש- $f \geq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עבור איזה ערך של $c$ יש למשוואה $|x^2-6x+5|=c$ בדיוק שלושה פתרונות?

$c=5$
$c=2$
$c=0$
$c=4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $c=4$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= (x-3)^2-4 \\ \ \min f &= (3,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max |f|=(3,\,4)

מקסימום מקומי של $|f|$

c=4

הישר נוגע בקצה הכיפה

הנכונה: $c=4$ . $c=5$ הוא הערך של $f(0)$ , והוא לא קשור לכיפה. $c=2$ נותן ארבעה פתרונות, ו- $c=0$ שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=x^2-9$ . מיינו את הערכים של $x$ : באילו $|f(x)|=f(x)$ ובאילו $|f(x)| \neq f(x)$ ?

$|f(x)|=f(x)$
$|f(x)| \neq f(x)$

$x=-1$
$x=-4$
$x=0$
$x=2$
$x=3$
$x=5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=-4$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=3$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=5$ — $|f(x)|=f(x)$ · $x=0$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=2$ — $|f(x)| \neq f(x)$ · $x=-1$ — $|f(x)| \neq f(x)$

הפתרון:

\begin{aligned}f(-4) &= 7 \\ \ f(3) &= 0 \\ \ f(5) &= 16\end{aligned}

לא שליליים

\begin{aligned}f(0) &= -9 \\ \ f(2) &= -5 \\ \ f(-1) &= -8\end{aligned}

שליליים

$|f(x)|=f(x)$ בדיוק כש- $f(x) \geq 0$ . הנקודה $x=3$ נכללת: $|0|=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו לכל פונקציה את מה שקורה לגרף של $f$ .

$y=|f(x)|$
$y=-f(x)$
$y=f(-x)$
$y=f(x)-3$

כל הגרף יורד ב- $3$
כל הגרף משתקף בציר ה- $x$
כל הגרף משתקף בציר ה- $y$
רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=|f(x)|$ — רק החלק שמתחת לציר ה- $x$ משתקף למעלה · $y=-f(x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $x$ · $y=f(-x)$ — כל הגרף משתקף בציר ה- $y$ · $y=f(x)-3$ — כל הגרף יורד ב- $3$

הפתרון:

|f| \geq 0

ערך מוחלט פועל רק על החלק השלילי

-f: \ (a,\,b) \to (a,\,-b)

מינוס מחוץ לפונקציה

ההבדל בין $|f|$ ל- $-f$ : ב- $-f$ כל הגרף מתהפך, גם מה שהיה מעל הציר. ב- $|f|$ מה שמעל הציר לא זז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f

בשרטוט: הגרף של $f(x)=-x^2+4$ . מה נכון לגבי $g=\frac{1}{f}$ ?

ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ מתאפסת ב- $x=\pm 2$ , ויש לה מקסימום $(0,\,4)$
ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מקסימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$
$g$ חיובית לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ל- $g$ אסימפטוטות $x=\pm 2$ , ונקודת מינימום $\left(0,\,\frac{1}{4}\right)$

הפתרון:

f(\pm 2)=0

אסימפטוטות

\begin{aligned}\max f &= (0,\,4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(0,\,\frac{1}{4}\right)\end{aligned}

הקיצון מתחלף

|x|>2: f<0 \Rightarrow g<0

לכן $g$ לא חיובית בכל התחום

הנכונה: אסימפטוטות $x=\pm 2$ ומינימום $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ . « $g$ מתאפסת» היא הטעות הקלאסית, ו«חיובית לכל $x$ » שוכחת את הענפים שמחוץ לאפסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=x^2+2x-3$ . לכמה ערכים שלמים של $c$ יש למשוואה $|f(x)|=c$ בדיוק ארבעה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2-4 \\ \ \min f &= (-1,\,-4)\end{aligned}

הקודקוד

0<c<4

ארבעה פתרונות

\begin{aligned}c &= 1 \\ \ 2 \\ \ 3\end{aligned}

שלושה ערכים שלמים

$c=0$ נותן שני פתרונות ו- $c=4$ שלושה, ולכן שני הקצוות לא נכללים. נשארים $1$ , $2$ ו- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אם לפרבולה $f$ אין אפסים, אז הגרף של $|f|$ זהה לגרף של $f$ או לגרף של $-f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\Delta<0 \Rightarrow f>0 \ \text{או} \ f<0

פרבולה בלי אפסים לא מחליפה סימן

\begin{aligned}f>0: |f| &= f \qquad f<0: |f| \\ &= -f\end{aligned}

שני המקרים

הטענה נכונה. ערך מוחלט «שובר» את הגרף רק באפסים. בלי אפסים, או שאין מה לשקף, או שמשקפים את כל הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מה קורה לכל חלק של הגרף

כמה פתרונות יש ל-∣f(x)∣=c|f(x)|=c∣f(x)∣=c?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

כמה פתרונות יש ל- $|f(x)|=c$ ?