טרנספורמציות ואסימפטוטות · קדם אנליזה · כיתה י״א

בכיתה י הזזנו, שיקפנו ומתחנו את $x^2$ ואת $\sqrt{x}$ . עכשיו נשתמש באותן פעולות על פרבולות כלליות ועל $\frac{1}{f}$ . השאלה החדשה היא אחת: לאן הולכות האסימפטוטות? התחילו מהווידג׳ט.

אחרי הפעולות בווידג׳ט התקבלה $f(x)=(x-1)^2-4$ . היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של $\frac{1}{f}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

באפסים של $f$ : $(x-1)^2=4$ , כלומר $x-1=\pm 2$ . האסימפטוטות הן $x=-1$ ו- $x=3$ . אלה האפסים $\pm 2$ של $x^2-4$ , אחרי הזזה של $1$ ימינה.

תזכורת: מה כל פעולה עושה לנקודה $(a,\,b)$

f(x)+k

$(a,\,b+k)$ : הזזה אנכית. האפסים משתנים

f(x-p)

$(a+p,\,b)$ : הזזה אופקית. גם האפסים זזים ב- $p$

-f(x)

$(a,\,-b)$ : שיקוף בציר ה- $x$ . האפסים נשארים

f(-x)

$(-a,\,b)$ : שיקוף בציר ה- $y$ . אפס $a$ עובר ל- $-a$

c \cdot f(x) ,\ c>0

$(a,\,cb)$ : מתיחה אנכית. האפסים נשארים

האסימפטוטות זזות עם הגרף

\begin{aligned}y &= \frac{a}{x-p}+k \quad : \quad x \\ &= p \\ \ \ y &= k\end{aligned}

$p$ הוא ההזזה האופקית, ולכן הוא האסימפטוטה האנכית. $k$ הוא ההזזה האנכית, ולכן הוא האסימפטוטה האופקית. המספר $a$ לא מזיז כלום: הוא מותח את הגרף, ואם $a<0$ הוא גם משקף אותו.

מהן האסימפטוטות של $y=\frac{3}{x+4}-1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x+4=x-(-4)$ , ולכן $p=-4$ ו- $k=-1$ . האסימפטוטות: $x=-4$ ו- $y=-1$ . המספר $3$ לא משפיע עליהן.

הזזה של $\frac{1}{f}$ כש- $f$ היא פרבולה

נתונה $g(x)=\frac{1}{x^2-4}$ ו- $h(x)=g(x-1)+2$ . מצאו את האסימפטוטות של $h$ ואת $h(1)$ .

\begin{aligned}g: \ x &= \pm 2 \\ \ y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $g$ : האפסים של $x^2-4$ , וציר ה- $x$

x-1 \ \Rightarrow \ 1 \ \text{ימינה}

האסימפטוטות האנכיות זזות ב- $1$ ימינה

\begin{aligned}h: \ x &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

$-2+1=-1$ ו- $2+1=3$

+2 \ \Rightarrow \ y=2

האסימפטוטה האופקית עולה מ- $y=0$ ל- $y=2$

\begin{aligned}h(1) &= g(0)+2 \\ &= -\frac{1}{4}+2 \\ &= 1.75\end{aligned}

הצבה: $g(0)=\frac{1}{-4}$

לפני ההיפוך או אחריו?

הזזה אנכית אחרי ההיפוך, $\frac{1}{f(x)}+k$ , מזיזה את כל הגרף של $\frac{1}{f}$ ב- $k$ . אבל הזזה לפני ההיפוך, $\frac{1}{f(x)+k}$ , משנה את המכנה: האפסים של המכנה משתנים, והאסימפטוטות משתנות איתם. זו פונקציה אחרת לגמרי.

\frac{1}{x^2}+1

הגרף של $\frac{1}{x^2}$ עלה ב- $1$ . אסימפטוטות: $x=0$ ו- $y=1$

\frac{1}{x^2+1}

המכנה אינו מתאפס: אין אסימפטוטה אנכית, והערך הגדול ביותר הוא $1$

-\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{-f(x)}

כאן הסדר לא משנה: שיקוף בציר ה- $x$ לפני ההיפוך או אחריו נותן אותו גרף

נתונה $f(x)=x^2-1$ . האם לפונקציה $\frac{1}{f(x)+1}$ יש אותן אסימפטוטות אנכיות כמו ל- $\frac{1}{f(x)}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x^2-1}$ עם אסימפטוטות $x=\pm 1$ . אבל $\frac{1}{f(x)+1}=\frac{1}{x^2}$ , ולה אסימפטוטה אנכית אחת: $x=0$ .

שלוש טעויות בהזזה של היפרבולות.

\begin{aligned}y &= \frac{1}{x+3}: \ x \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}y &= \frac{1}{x+3}: \ x \\ &= -3\end{aligned}

האסימפטוטה נמצאת היכן שהמכנה מתאפס: $x+3=0$ . בדיקה מהירה: $x=3$ נותן $\frac{1}{6}$ , ערך רגיל.

\begin{aligned}y &= \frac{2}{x-1}+5: \ y \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}y &= \frac{2}{x-1}+5: \ y \\ &= 5\end{aligned}

המונה $2$ הוא מתיחה. האסימפטוטה האופקית היא המספר שמוסיפים לשבר.

\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{x^2}+1

\frac{1}{x^2+1} \neq \frac{1}{x^2}+1

הופכי של סכום אינו סכום של הופכיים. בדיקה: ב- $x=1$ צד שמאל $\frac{1}{2}$ , וצד ימין $2$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהן האסימפטוטות של $y=\frac{1}{x-3}+2$ ?

$x=3$ ו- $y=-2$
$x=-3$ ו- $y=2$
$x=2$ ו- $y=3$
$x=3$ ו- $y=2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x=3$ ו- $y=2$

הפתרון:

\begin{aligned}x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

המכנה מתאפס

+2 \Rightarrow y=2

ההזזה האנכית

הנכונה: $x=3$ ו- $y=2$ . $\frac{1}{x}$ זזה $3$ ימינה ו- $2$ למעלה. מי שבחר $x=-3$ הפך את כיוון ההזזה האופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $y=-\frac{2}{x+1}+4$ . השלימו.

אסימפטוטה אנכית: $x=$ ____ ; אסימפטוטה אופקית: $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטה אנכית: $x=$ -1 ; אסימפטוטה אופקית: $y=$ 4

הפתרון:

\begin{aligned}x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

המכנה מתאפס

y=4

המספר שמוסיפים לשבר

המינוס והמספר $2$ במונה לא מזיזים את האסימפטוטות: הם משקפים ומותחים את הגרף סביבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

את הגרף של $y=x^2$ מזיזים $2$ יחידות שמאלה ו- $1$ יחידה למטה. מהי הפונקציה שמתקבלת?

$y=(x-2)^2-1$
$y=(x+2)^2-1$
$y=(x+2)^2+1$
$y=(x-2)^2+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=(x+2)^2-1$

הפתרון:

\text{שמאלה} \ 2: \ x \to x+2

הזזה אופקית הפוכה לסימן

\text{למטה} \ 1: \ -1

הזזה אנכית ישירה

הנכונה: $(x+2)^2-1$ . בדיקה: הקודקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, $x=-2$ , כלומר שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=x^2-4$ ו- $h(x)=f(x-3)$ . מהו סכום האפסים של $h$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f: \ x=\pm 2

האפסים של $f$

\begin{aligned}h: \ -2+3 &= 1 \\ \ 2+3 &= 5\end{aligned}

הזזה של $3$ ימינה

1+5=6

הסכום

כל אפס זז ב- $3$ ימינה. מי שמקבל $-6$ הזיז שמאלה: $x-3$ פירושו ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לגרף של $y=3f(x)$ יש אותם אפסים כמו לגרף של $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(a) &= 0 \Rightarrow 3f(a) \\ &= 0\end{aligned}

שלוש פעמים אפס הוא אפס

\begin{aligned}3f(a) &= 0 \Rightarrow f(a) \\ &= 0\end{aligned}

וגם בכיוון ההפוך

הטענה נכונה. מתיחה אנכית לא מזיזה נקודות על ציר ה- $x$ . לכן גם האסימפטוטות האנכיות של $\frac{1}{3f}$ הן בדיוק אלה של $\frac{1}{f}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לפונקציה $g=\frac{1}{f}$ אסימפטוטות אנכיות $x=-1$ ו- $x=5$ . היכן נמצאות האסימפטוטות האנכיות של $k(x)=\frac{1}{f(x+2)}$ ?

$x=1$ ו- $x=7$
$x=-2$ ו- $x=10$
$x=-1$ ו- $x=5$
$x=-3$ ו- $x=3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x=-3$ ו- $x=3$

הפתרון:

\begin{aligned}f(-1) &= f(5) \\ &= 0\end{aligned}

האפסים של $f$

\begin{aligned}x+2 &= -1 \Rightarrow x \\ &= -3 \\ \quad x+2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$f(x+2)=0$

הנכונה: $x=-3$ ו- $x=3$ . $x+2$ פירושו הזזה של $2$ שמאלה. $x=1$ ו- $x=7$ הם הזזה ימינה, בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הגרף של $g(x)=\frac{1}{x-2}$ עבר פעולה. מיינו: באילו מהפונקציות האסימפטוטה האנכית נשארת $x=2$ ?

נשארת $x=2$
זזה

$-\frac{1}{x-2}$
$\frac{1}{-x-2}$
$\frac{1}{x-2}+5$
$\frac{1}{x-5}$
$\frac{1}{x+2}$
$\frac{3}{x-2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{1}{x-2}+5$ — נשארת $x=2$ · $-\frac{1}{x-2}$ — נשארת $x=2$ · $\frac{3}{x-2}$ — נשארת $x=2$ · $\frac{1}{x-5}$ — זזה · $\frac{1}{-x-2}$ — זזה · $\frac{1}{x+2}$ — זזה

הפתרון:

x-2=0

שלוש הראשונות: אותו מכנה

\begin{aligned}-x-2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

שיקוף בציר ה- $y$ מעביר את $2$ ל- $-2$

האסימפטוטה האנכית תלויה רק במכנה. הזזה אנכית, שיקוף בציר ה- $x$ ומתיחה לא נוגעים בו. שיקוף בציר ה- $y$ והזזה אופקית כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של $y=\frac{a}{x-1}+2$ עובר בנקודה $(3,\,5)$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

5=\frac{a}{3-1}+2

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 3 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

$a$ אינו משנה את האסימפטוטות $x=1$ ו- $y=2$ . הוא קובע כמה רחוק הגרף מהן. בדיקה: $\frac{6}{2}+2=5$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=x^2-2x$ . מהו הקודקוד של הגרף של $y=-f(x)$ ?

$(-1,\,-1)$
$(1,\,1)$
$(1,\,-1)$
$(-1,\,1)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $(1,\,1)$

הפתרון:

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= -1\end{aligned}

הקודקוד של $f$ : $(1,\,-1)$

(a,\,b) \to (a,\,-b)

שיקוף בציר ה- $x$

הנכונה: $(1,1)$ , והוא נקודת מקסימום. $(-1,-1)$ הוא שיקוף בציר ה- $y$ : המינוס שם היה בתוך הסוגריים, לא מחוץ לפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $h(x)=\frac{1}{x^2-2x-3}+1$ . השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: $x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; אסימפטוטה אופקית: $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטות אנכיות: $x=$ -1 ו- $x=$ 3 (מהקטנה לגדולה) ; אסימפטוטה אופקית: $y=$ 1

הפתרון:

x^2-2x-3=(x-3)(x+1)

האפסים של המכנה

\frac{1}{x^2-2x-3} \to 0 \Rightarrow h \to 1

רחוק מהראשית

ה- $+1$ נמצא מחוץ לשבר, ולכן הוא מזיז רק את האסימפטוטה האופקית. אילו היה בתוך המכנה, $\frac{1}{x^2-2x-2}$ , היו משתנות האנכיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תזכורת: מה כל פעולה עושה לנקודה (a, b)(a,\,b)(a,b)

האסימפטוטות זזות עם הגרף

לפני ההיפוך או אחריו?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

תזכורת: מה כל פעולה עושה לנקודה $(a,\,b)$