עלייה, ירידה, קיצון ואסימפטוטות של 1/f

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשיעור הקודם הפכנו גובה אחד בכל פעם. עכשיו נסתכל על הצורה של הגרף: איפה g=1fg=\frac{1}{f} עולה, איפה היא יורדת, איפה יש לה נקודת קיצון, ומה קורה ליד הנקודות שבהן ff מתאפסת. שוב, הכול נקרא מהגרף של ff.

הפרבולה f והגרף של 1/f
x = −1x = 3(1, −4)(1, −¼)-3-2-1012345-5-4-3-2-112345xy
  • f(x) = x² − 2x − 3
  • g(x) = 1/f(x)
עקבו אחרי הקודקוד (1,−4)(1,-4) של ff: הוא הנקודה הנמוכה ביותר של ff, ומעליו gg מגיעה לנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות, (1,−14)\left(1,-\frac{1}{4}\right). ליד x=−1x=-1 ו-x=3x=3 הגרף של gg בורח למעלה או למטה בלי סוף. ורחוק משם, כש-ff גדלה מאוד, gg נצמדת לציר ה-xx.

בשרטוט, ff יורדת בתחום x<1x<1. מה עושה gg באותו תחום?

להציג את התשובה והפתרון

gg עולה, אבל בשני חלקים נפרדים: ב-x<−1x<-1 וב-−1<x<1-1<x<1. ב-x=−1x=-1 יש אסימפטוטה, ושם הגרף של gg נקטע. לא כותבים «gg עולה ב-x<1x<1».

עלייה וירידה מתהפכות

נניח ש-ff חיובית ועולה: f(a)=2f(a)=2 ו-f(b)=5f(b)=5. אז g(a)=12g(a)=\frac{1}{2} ו-g(b)=15g(b)=\frac{1}{5}, ו-gg ירדה. ככל שהמכנה גדל, השבר קטן. כך גם כש-ff שלילית: ff עולה מ-−5-5 ל-−2-2, ו-gg יורדת מ-−15-\frac{1}{5} ל-−12-\frac{1}{2}.

f↗ ⇒ g↘f \nearrow \ \Rightarrow \ g \searrow

בכל קטע שבו ff עולה ואינה מתאפסת, gg יורדת — ולהפך

min⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\min f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למקסימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

max⁡f=(a, b) b≠0\begin{aligned}\max f &= (a,\,b) \\ \ b \neq 0\end{aligned}

הופך למינימום של gg בנקודה (a, 1b)\left(a,\,\frac{1}{b}\right)

לכן את נקודת הקיצון של 1f\frac{1}{f}, כש-ff היא פרבולה, מוצאים מהקודקוד של הפרבולה — בלי לגזור. שיעור ה-xx נשאר, שיעור ה-yy מתהפך, וסוג הקיצון מתחלף.

אסימפטוטות — אנכיות ואופקית

ליד אפס של ff הגובה של ff קטן מאוד, ולכן הגובה של gg גדול מאוד בערכו המוחלט. הגרף של gg מתקרב לישר האנכי x=ax=a ואינו נוגע בו: זו אסימפטוטה אנכית. הסימן של ff משני צדי האפס קובע אם gg בורחת למעלה או למטה.

ורחוק מהראשית פרבולה (או ישר שאינו אופקי) גדלה בערכה המוחלט בלי גבול. לכן gg מתקרבת ל-00, והגרף נצמד לציר ה-xx: הישר y=0y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

(x−1)(x−3)(x-1)(x-3)

שני אפסים: שתי אסימפטוטות אנכיות, x=1x=1 ו-x=3x=3. בין שתיהן gg שלילית

(x−2)2(x-2)^2

אפס אחד שבו הפרבולה נוגעת בציר: אסימפטוטה אחת, x=2x=2, ו-gg חיובית משני צדיה

(x−2)2+1(x-2)^2+1

אין אפסים: אין אסימפטוטה אנכית, ו-gg חסומה

נתונה f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2. מה עושה הגרף של g=1fg=\frac{1}{f} כש-xx מתקרב ל-22 משמאל ומימין?

להציג את התשובה והפתרון

משני הצדדים ff חיובית וקטנה מאוד, ולכן gg חיובית וגדולה מאוד משני הצדדים: הגרף עולה למעלה לאורך x=2x=2 גם משמאל וגם מימין.

תיאור מלא של 1f\frac{1}{f} כשאין ל-ff אפסים

נתונה f(x)=x2+2x+2f(x)=x^2+2x+2 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מצאו את תחום ההגדרה של gg, את האסימפטוטות, את נקודת הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של gg.

Δ=4−8=−4<0\begin{aligned}\Delta &= 4-8 \\ &= -4<0\end{aligned}

ל-ff אין אפסים, והיא פתוחה למעלה: f>0f>0 לכל xx

Dg: כל xD_g: \ \text{כל } x

תחום ההגדרה. ולכן אין אסימפטוטה אנכית

f(x)=(x+1)2+1⇒min⁡f=(−1, 1)\begin{aligned}f(x) &= (x+1)^2+1 \Rightarrow \min f \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

הקודקוד של ff

max⁡g=(−1, 11)=(−1, 1)\begin{aligned}\max g &= \left(-1,\,\frac{1}{1}\right) \\ &= (-1,\,1)\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

x<−1: g↗x>−1: g↘x<-1: \ g \nearrow \qquad x>-1: \ g \searrow

ff יורדת ואז עולה, ולכן gg עולה ואז יורדת

y=0y=0

אסימפטוטה אופקית: רחוק מהראשית ff גדלה מאוד

בשאלה על 1f\frac{1}{f} ציירו קודם את האסימפטוטות האנכיות בקו מקווקו. הן מחלקות את הציר לקטעים, ובכל קטע עובדים לחוד: סימן, עלייה או ירידה, וקיצון.

שלוש טעויות בצורה של 1f\frac{1}{f}.

min⁡f=(1, −4)⇒min⁡g=(1, −14)\begin{aligned}\min f &= (1,\,-4) \Rightarrow \min g \\ &= \left(1,\,-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}
max⁡g=(1, −14)\max g=\left(1,\,-\frac{1}{4}\right)

סוג הקיצון מתחלף. בשרטוט רואים זאת: מעל הקודקוד של ff, gg נמצאת בנקודה הגבוהה ביותר שלה בין האסימפטוטות.

x<1: g↗x<1: \ g \nearrow
x<−1 וגם −1<x<1: g↗x<-1 \ \text{וגם} \ -1<x<1: \ g \nearrow

אסימפטוטה קוטעת את הגרף. תחום עלייה לא עובר דרך נקודה שאינה בתחום.

f(x)=(x−2)2⇒min⁡g=(2, 0)\begin{aligned}f(x) &= (x-2)^2 \Rightarrow \min g \\ &= (2,\,0)\end{aligned}
x=2 אסימפטוטהx=2 \ \text{אסימפטוטה}

המינימום של ff כאן הוא אפס, ואפס אין להפוך. במקום נקודת קיצון מקבלים אסימפטוטה אנכית.

תרגילים

תרגיל 1

לפונקציה ff נקודת מקסימום (2, 5)(2,\,5). מה ידוע על g=1fg=\frac{1}{f} ב-x=2x=2?

  1. ל-gg מקסימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
  2. ל-gg מקסימום (2, 5)(2,\,5)
  3. ל-gg מינימום (2, −5)(2,\,-5)
  4. ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ל-gg מינימום (2, 15)\left(2,\,\frac{1}{5}\right)

הפתרון:

g(2)=15g(2)=\frac{1}{5}

הופכים את הגובה

max⁡f⇒min⁡g\max f \Rightarrow \min g

הסוג מתחלף

הנכונה: מינימום (2,15)\left(2,\frac{1}{5}\right). סביב x=2x=2 הערכים של ff קטנים מ-55, ולכן ההופכיים שלהם גדולים מ-15\frac{1}{5}. −5-5 הוא הנגדי, לא ההופכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x2−6x+8f(x)=x^2-6x+8. מהי נקודת הקיצון של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)} בין האסימפטוטות, ומה סוגה?

  1. מקסימום (3, 1)(3,\,1)
  2. מינימום (3, 1)(3,\,1)
  3. מקסימום (3, −1)(3,\,-1)
  4. מינימום (3, −1)(3,\,-1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקסימום (3, −1)(3,\,-1)

הפתרון:

xv=62=3 f(3)=9−18+8=−1\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \ f(3) &= 9-18+8 \\ &= -1\end{aligned}

קודקוד הפרבולה: מינימום (3,−1)(3,-1)

g(3)=1−1=−1\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-1} \\ &= -1\end{aligned}

ההופכי של −1-1 הוא −1-1

הנכונה: מקסימום (3,−1)(3,-1). שיעור ה-yy לא השתנה כי 1−1=−1\frac{1}{-1}=-1, אבל הסוג השתנה: מינימום של ff הוא מקסימום של gg.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2+4x+8f(x)=x^2+4x+8. מהו הערך הגדול ביותר של g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f(x)=(x+2)2+4f(x)=(x+2)^2+4

השלמה לריבוע

min⁡f=4 (x=−2)\min f=4 \ (x=-2)

f≥4>0f \geq 4>0

max⁡g=14=0.25\begin{aligned}\max g &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

המינימום של ff הופך למקסימום של gg

ff חיובית לכל xx, ולכן gg מוגדרת בכל מקום וחסומה. הערך הגדול ביותר של gg מתקבל היכן ש-ff הכי קטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. מיינו את הקטעים: באילו gg עולה ובאילו gg יורדת?

  • gg עולה
  • gg יורדת
  • 0<x<20<x<2
  • 2<x<42<x<4
  • x<0x<0
  • x>4x>4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x<0x<0 — gg עולה · 0<x<20<x<2 — gg עולה · 2<x<42<x<4 — gg יורדת · x>4x>4 — gg יורדת

הפתרון:

f(x)=x(x−4) min⁡f=(2, −4)\begin{aligned}f(x) &= x(x-4) \\ \ \min f &= (2,\,-4)\end{aligned}

אפסים 00 ו-44, קודקוד ב-x=2x=2

x<2:f↘⇒g↗x<2: f \searrow \Rightarrow g \nearrow

משני צדי האסימפטוטה x=0x=0

x>2:f↗⇒g↘x>2: f \nearrow \Rightarrow g \searrow

משני צדי האסימפטוטה x=4x=4

שני הקטעים הראשונים הם שני תחומי עלייה נפרדים. ביניהם האסימפטוטה x=0x=0, ולכן לא מאחדים אותם ל-x<2x<2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה g(x)=1x2−9g(x)=\frac{1}{x^2-9}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: x=x= ____ (השמאלית) ו-x=x= ____ (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטות אנכיות: x=x= -3 (השמאלית) ו-x=x= 3 (הימנית) ; אסימפטוטה אופקית: y=y= 0

הפתרון:

x2−9=0⇒x=±3\begin{aligned}x^2-9 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 3\end{aligned}

האפסים של המכנה

∣x∣→∞⇒x2−9→∞⇒g→0|x| \to \infty \Rightarrow x^2-9 \to \infty \Rightarrow g \to 0

רחוק מהראשית

האסימפטוטה האופקית היא ציר ה-xx, y=0y=0. היא לא y=−9y=-9 ולא y=1y=1: רחוק מהראשית המכנה גדל, והשבר קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2. כש-xx מתקרב ל-11, משני הצדדים, g=1fg=\frac{1}{f} מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x)=(x−1)2>0 x≠1\begin{aligned}f(x) &= (x-1)^2>0 \\ \ x \neq 1\end{aligned}

חיובית משני הצדדים

f(x)→0+⇒g(x)→+∞f(x) \to 0^+ \Rightarrow g(x) \to +\infty

קטנה וחיובית — ההופכי גדול וחיובי

הטענה נכונה. הפרבולה נוגעת בציר ואינה חוצה אותו, ולכן ff לא מחליפה סימן, וגם gg לא: שני הענפים עולים למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

עבור איזו מהפונקציות ff אין לגרף של g=1fg=\frac{1}{f} אסימפטוטה אנכית?

  1. f(x)=x2−2x+1f(x)=x^2-2x+1
  2. f(x)=x2−1f(x)=x^2-1
  3. f(x)=x2+1f(x)=x^2+1
  4. f(x)=x2f(x)=x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f(x)=x2+1f(x)=x^2+1

הפתרון:

x2+1≥1x^2+1 \geq 1

אין אפסים

x2−1, x2, (x−1)2x^2-1 ,\ x^2 ,\ (x-1)^2

לשלושתן יש אפס

הנכונה: x2+1x^2+1. אסימפטוטה אנכית של 1f\frac{1}{f} נמצאת בכל אפס של ff. גם אפס שבו הפרבולה רק נוגעת בציר (x2x^2, (x−1)2(x-1)^2) נותן אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f
(−1, −2)-4-3-2-1012-3-2-11234xy

בשרטוט: הגרף של הפרבולה ff, והקודקוד שלה (−1, −2)(-1,\,-2). לפונקציה g=1fg=\frac{1}{f} יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

min⁡f=(−1, −2)\min f=(-1,\,-2)

קוראים את הקודקוד

g(−1)=1−2=−0.5\begin{aligned}g(-1) &= \frac{1}{-2} \\ &= -0.5\end{aligned}

ההופכי, עם אותו סימן

max⁡g=(−1, −0.5)\max g=(-1,\,-0.5)

מקסימום, בין שתי האסימפטוטות

שיעור ה-yy הוא −12-\frac{1}{2}, לא 12\frac{1}{2} ולא 22: הקודקוד מתחת לציר, ולכן גם הקיצון של gg מתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל תיאור של ff בקטע (בלי אפסים בקטע) את התיאור של g=1fg=\frac{1}{f} באותו קטע.

  • ff יורדת וחיובית
  • ff עולה ושלילית
  • ff עולה וחיובית
  • ff יורדת ושלילית
  • gg יורדת וחיובית
  • gg יורדת ושלילית
  • gg עולה וחיובית
  • gg עולה ושלילית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ff יורדת וחיובית — gg עולה וחיובית · ff עולה ושלילית — gg יורדת ושלילית · ff עולה וחיובית — gg יורדת וחיובית · ff יורדת ושלילית — gg עולה ושלילית

הפתרון:

−5→−2 ⇒ −15→−12-5 \to -2 \ \Rightarrow \ -\tfrac{1}{5} \to -\tfrac{1}{2}

דוגמה: ff עולה ושלילית, gg יורדת

2→5 ⇒ 12→152 \to 5 \ \Rightarrow \ \tfrac{1}{2} \to \tfrac{1}{5}

דוגמה: ff עולה וחיובית, gg יורדת

שני כללים בכל שורה: הסימן נשמר והכיוון מתהפך. כדאי לבדוק כל שורה בשני מספרים, כמו בפתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=−x2+2x+8f(x)=-x^2+2x+8 ו-g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}. השלימו.

אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטות אנכיות של gg: x=x= -2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של gg: 1

הפתרון:

−x2+2x+8=−(x−4)(x+2)-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)

האפסים: −2-2 ו-44

xv=−2−2=1 f(1)=9\begin{aligned}x_v &= \frac{-2}{-2} \\ &= 1 \\ \ f(1) &= 9\end{aligned}

מקסימום של ff: (1, 9)(1,\,9)

min⁡g=(1, 19)\min g=\left(1,\,\frac{1}{9}\right)

מינימום של gg

הפרבולה פתוחה למטה, ולכן הקודקוד שלה הוא מקסימום, ובין האסימפטוטות gg חיובית ויש לה מינימום. שיעור ה-xx של הקיצון זהה לזה של הקודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת