פותרים יחד · קדם אנליזה · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלון 35471. בבחינה הנושא הזה מופיע כסעיף בתוך שאלה על פונקציה: «נתונה $g=\frac{1}{f}$ », « $g(x)=-f(x)+k$ », « $g(x)=f(x-3)$ », « $g=|f|$ ». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בשאלות האלה כמעט הכול נקרא מהאפסים ומהקודקוד של הפרבולה שבמכנה.

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ המקבילות לצירים. ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ .

f(x)=\frac{1}{x^2-6x+5}

לחצו «להתחיל». נקרא למכנה $q(x)=x^2-6x+5$ , וכל התשובות יבואו ממנו.

א. תחום

\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \ \Rightarrow \ x \neq 1 \\ \ x \neq 5\end{aligned}

מוציאים את האפסים של המכנה.

ב. אנכיות

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5\end{aligned}

בכל אפס של המכנה, והמונה $1$ אינו מתאפס.

ב. אופקית

y=0

רחוק מהראשית המכנה גדל מאוד, והשבר מתקרב ל- $0$ .

ג. הקודקוד

\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \quad q(3) &= 9-18+5 \\ &= -4\end{aligned}

למכנה מינימום $(3,\,-4)$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}f(3) &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4} \ \Rightarrow \ \max\left(3,\,-\tfrac{1}{4}\right)\end{aligned}

מינימום של המכנה הוא מקסימום של השבר.

ד. עלייה

x<1 \ ,\ 1<x<3

שם המכנה יורד, ולכן $f$ עולה. שני קטעים נפרדים.

ד. ירידה

3<x<5 \ ,\ x>5

שם המכנה עולה, ולכן $f$ יורדת.

בכל הפתרון לא גזרנו אף פעם: הקודקוד של המכנה נתן את הקיצון, וכיוון העלייה של המכנה נתן, הפוך, את כיוון העלייה של $f$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הנקודה $\left(3,\,-\frac{1}{4}\right)$ היא הערך הגדול ביותר של $f$ בכל התחום?

להציג את התשובה והפתרון

לא. היא מקסימום רק בין האסימפטוטות. ב- $x<1$ וב- $x>5$ המכנה חיובי, ולכן $f$ חיובית, למשל $f(0)=\frac{1}{5}>-\frac{1}{4}$ . זו נקודת מקסימום מקומי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

פעילות אינטראקטיבית

מציאת k מהאסימפטוטה

נתונה $f(x)=\frac{3}{x-2}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=1$ . מצאו את $k$ , ואת נקודות החיתוך של $g$ עם הצירים.

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=-1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,0.5)$

$k=1$ ; $(-1,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$

$k=1$ ; $(5,\,0)$ ו- $(0,\,-0.5)$

מהי האסימפטוטה האופקית של $-f$ ?

$y=0$

להציג את התשובה והפתרון

שיקוף בציר ה- $x$ משאיר את ציר ה- $x$ במקומו.

$y=-3$

להציג את התשובה והפתרון

המונה $3$ הוא מתיחה, לא הזזה.

\begin{aligned}-f(x) &= -\frac{3}{x-2} \ : \ y \\ &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $-f$ : $x=2$ ו- $y=0$

אז מה עושה ה- $+k$ ?

מזיז את $y=0$ ל- $y=k$ , ולכן $k=1$

להציג את התשובה והפתרון

הזזה אנכית מזיזה גם את האסימפטוטה האופקית.

מזיז את $x=2$ ל- $x=2+k$

להציג את התשובה והפתרון

$k$ נמצא מחוץ לשבר: הוא לא נוגע במכנה.

\begin{aligned}y &= 0+k \\ &= 1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

$g(x)=-\frac{3}{x-2}+1$

איך מוצאים את החיתוך עם ציר ה- $x$ ?

פותרים $g(x)=0$

להציג את התשובה והפתרון

נקודה על ציר ה- $x$ : $y=0$ .

מציבים $x=0$

להציג את התשובה והפתרון

זה החיתוך עם ציר ה- $y$ .

\begin{aligned}\frac{3}{x-2} &= 1 \ \Rightarrow \ x-2 \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה $(5,\,0)$

ומה החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

$g(0)=-\frac{3}{-2}+1=2.5$

להציג את התשובה והפתרון

מינוס כפול מינוס.

$g(0)=-\frac{3}{2}+1=-0.5$

להציג את התשובה והפתרון

$0-2=-2$ , ולכן $-\frac{3}{-2}=+\frac{3}{2}$ .

\begin{aligned}g(0) &= \frac{3}{2}+1 \\ &= 2.5\end{aligned}

הנקודה $(0,\,2.5)$

להציג את התשובה והפתרון

$k=1$ , והנקודות $(5,\,0)$ ו- $(0,\,2.5)$ . בדיקה: $g(5)=-\frac{3}{3}+1=0$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

מהי האסימפטוטה האנכית של $g$ , והאם ה- $k$ השפיע עליה?

להציג את התשובה והפתרון

$x=2$ , כמו של $f$ . לא: $k$ ו-המינוס נמצאים מחוץ לשבר, והאסימפטוטה האנכית תלויה רק במכנה $x-2$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ , ו- $g(x)=f(x-3)$ . א. מצאו את האסימפטוטות של $g$ המקבילות לצירים. ב. חשבו את $g(3)$ . ג. הפונקציה $f$ זוגית. האם גם $g$ זוגית? נמקו.

\begin{aligned}g(x) &= f(x-3) \\ &= \frac{1}{(x-3)^2-4}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הזזה אופקית מזיזה כל נקודה, וגם כל אסימפטוטה אנכית.

א. של $f$

\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות של $f$ .

א. הזזה

x-3 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{ימינה}

כל אסימפטוטה אנכית זזה ב- $3$ .

א. של $g$

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

$-2+3=1$ ו- $2+3=5$ . האופקית לא זזה בהזזה אופקית.

ב.

\begin{aligned}g(3) &= f(0) \\ &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

הקודקוד של המכנה זז גם הוא: מ- $x=0$ ל- $x=3$ .

ג.

\begin{aligned}x &= 1 \notin D_g \\ \quad x &= -1 \in D_g\end{aligned}

$g(-1)=f(-4)=\frac{1}{12}$ , אבל $g(1)$ לא מוגדר.

ג. מסקנה

g(-x) \neq g(x)

התחום שלה אינו סימטרי סביב $0$ . הגרף סימטרי סביב $x=3$ , לא סביב ציר ה- $y$ .

בשאלות «האם $g$ זוגית» מספיקה דוגמה נגדית אחת: נקודה $a$ שבה $g(a) \neq g(-a)$ , או ש- $a$ בתחום ו- $-a$ לא.

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו היו שואלים על $h(x)=f(x)+3$ במקום $f(x-3)$ : אילו אסימפטוטות היו משתנות?

להציג את התשובה והפתרון

רק האופקית: $y=0$ הופכת ל- $y=3$ . האנכיות $x=\pm 2$ נשארות, כי הזזה אנכית לא משנה את המקומות שבהם $f$ לא מוגדרת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=x^2+2x-8$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ ואת הקודקוד שלה. ב. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ וקבעו את סוגן. ג. עבור אילו ערכים של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק ארבעה פתרונות? ד. ועבור אילו ערכים בדיוק שני פתרונות?

g(x)=|x^2+2x-8|

לחצו «להתחיל». את $g$ משרטטים מ- $f$ : מה שמתחת לציר עולה למעלה.

א. אפסים

\begin{aligned}x^2+2x-8 &= (x+4)(x-2) \ \Rightarrow \ x \\ &= -4 \\ \ x &= 2\end{aligned}

$(-4,\,0)$ ו- $(2,\,0)$ .

א. קודקוד

\begin{aligned}x_v &= -1 \\ \quad f(-1) &= 1-2-8 \\ &= -9\end{aligned}

הקודקוד $(-1,\,-9)$ , מתחת לציר.

ב. מינימום

(-4,\,0) ,\ (2,\,0)

באפסים $g=0$ , והיא לא יורדת מתחת לאפס.

ב. מקסימום

(-1,\,-9) \to (-1,\,9)

הקודקוד משתקף ונעשה מקסימום מקומי.

ג.

0<k<9

ישר אופקי בין $0$ ל- $9$ חותך את שני הענפים ואת הכיפה: ארבע נקודות.

ד.

k=0 \ \text{או} \ k>9

ב- $k=0$ : רק האפסים. מעל $9$ : רק שני הענפים. וב- $k=9$ שלוש נקודות.

המספר $9$ הוא גובה הכיפה, כלומר הערך המוחלט של $f$ בקודקוד. הוא מפריד בין «ארבעה פתרונות» ל«שניים».

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש ל- $g(x)=-2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אף אחד. $g=|f|$ אינה שלילית לעולם, ולכן הישר $y=-2$ לא פוגש את הגרף שלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: מפגש של $f$ עם $\frac{1}{f}$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-8x+12}$ . השלימו.

אסימפטוטות אנכיות: $x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אסימפטוטות אנכיות: $x=$ 2 ו- $x=$ 6 (מהקטנה לגדולה) ; נקודת הקיצון: $x=$ 4 , $y=$ -0.25

הפתרון:

x^2-8x+12=(x-2)(x-6)

האפסים של המכנה

\begin{aligned}x_v &= 4 \\ \ q(4) &= 16-32+12 \\ &= -4\end{aligned}

קודקוד המכנה

f(4)=-\frac{1}{4}

מקסימום מקומי

שיעור ה- $y$ של הקיצון הוא ההופכי של גובה הקודקוד, $-\frac{1}{4}$ , לא $-4$ . והסוג: מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{4}{x+1}$ , ו- $g(x)=-f(x)+k$ . לגרף של $g$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ . השלימו.

$k=$ ____ ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k=$ 2 ; נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ : $x=$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}-f: \ y &= 0 \ \Rightarrow \ g: \ y \\ &= k \\ &= 2\end{aligned}

הזזה אנכית

\begin{aligned}-\frac{4}{x+1}+2 &= 0 \Rightarrow x+1 \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר $x$

האסימפטוטה האופקית של $-f$ היא $y=0$ , ולכן $k$ הוא האסימפטוטה החדשה. בדיקה: $g(1)=-2+2=0$ ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$ , ו- $g(x)=f(x+2)$ . מהן האסימפטוטות האנכיות של $g$ ?

$x=-1$ ו- $x=5$
$x=-5$ ו- $x=1$
$x=-3$ ו- $x=3$
$x=-7$ ו- $x=11$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=-5$ ו- $x=1$

הפתרון:

f: \ x=\pm 3

האפסים של $x^2-9$

\begin{aligned}x+2 &= \pm 3 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= -5\end{aligned}

הזזה של $2$ שמאלה

הנכונה: $x=-5$ ו- $x=1$ . $x+2$ מזיז שמאלה. $x=-1$ ו- $x=5$ הם הזזה ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=x^2-2x-15$ , ו- $g(x)=|f(x)|$ . עבור איזה ערך של $k$ יש למשוואה $g(x)=k$ בדיוק שלושה פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

\begin{aligned}x_v &= 1 \\ \ f(1) &= 1-2-15 \\ &= -16\end{aligned}

הקודקוד מתחת לציר

\max g=(1,\,16)

הכיפה

k=16

הישר נוגע בקצה הכיפה

שלושה פתרונות מתקבלים רק כשהישר נוגע בקצה הכיפה: שתי נקודות בענפים ונקודה אחת בקודקוד שהשתקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x^2+1$ . הגרפים של $f$ ושל $\frac{1}{f}$ נפגשים בנקודה אחת בדיוק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 1 \Rightarrow x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

נקודת מפגש אחת

\begin{aligned}f(x) &= -1 \Rightarrow x^2 \\ &= -2\end{aligned}

אין פתרון

הטענה נכונה. הגרפים נפגשים היכן ש- $f=1$ או $f=-1$ . כאן $f \geq 1$ , ולכן רק $(0,\,1)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה של 1f\frac{1}{f}f1​ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: g(x)=−f(x)+kg(x)=-f(x)+kg(x)=−f(x)+k

3 — הזזה אופקית: g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3)g(x)=f(x−3)

4 — ∣f∣|f|∣f∣ ומספר הפתרונות של ∣f(x)∣=k|f(x)|=k∣f(x)∣=k

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

1 — חקירה של $\frac{1}{f}$ בלי נגזרת

2 — טרנספורמציה עם פרמטר: $g(x)=-f(x)+k$

3 — הזזה אופקית: $g(x)=f(x-3)$

4 — $|f|$ ומספר הפתרונות של $|f(x)|=k$