איך ניגשים לשאלה בבגרות · מספרים מרוכבים · כיתה י״ב

בבחינה, השאלה על מספרים מרוכבים היא כמעט תמיד שאלה 3, והיא בנויה מסעיפים שנשענים זה על זה: פותרים משוואה $z^n = w$ , מזהים את המצולע שהפתרונות יוצרים, ואז מחשבים שטח, מסובבים, או מעלים בחזקה. נעבור על שאלה שלמה, סעיף אחרי סעיף.

פעילות אינטראקטיבית

שאלה לדוגמה: $z^6 = -64$

z^6 = -64

לחצו «להתחיל». א. פתרו את המשוואה. ב. הראו שהפתרונות הם קדקודים של משושה משוכלל, וחשבו את שטחו. ג. $w$ הוא הפתרון ברביע הראשון: חשבו את $w^3$ .

א. אגף ימין

-64 = 64\,\text{cis}\,180^\circ

כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית. תמיד הצעד הראשון.

א. הנוסחה

\begin{aligned}z_k &= \sqrt[6]{64}\,\text{cis}\,\frac{180^\circ + 360^\circ k}{6} \\ &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k)\end{aligned}

$k = 0, 1, \ldots, 5$ : שישה פתרונות.

א. הרשימה

2\,\text{cis}\,30^\circ, \ 2\,\text{cis}\,90^\circ, \ 2\,\text{cis}\,150^\circ, \ 2\,\text{cis}\,210^\circ, \ 2\,\text{cis}\,270^\circ, \ 2\,\text{cis}\,330^\circ

כותבים את כל הפתרונות. אם מבקשים הצגה אלגברית: $\pm\sqrt{3} \pm i$ ו- $\pm 2i$ .

ב. המצולע

\begin{aligned}|z_k| &= 2 \\ \quad \alpha_{k+1} - \alpha_k &= 60^\circ\end{aligned}

כולם על המעגל $|z| = 2$ , והזוויות המרכזיות בין שכנים שוות: לכן גם הצלעות שוות, והמשושה משוכלל.

ב. השטח

\begin{aligned}S &= 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שישה משולשים שווים עם קדקוד בראשית.

ג. הפתרון ברביע הראשון

\begin{aligned}w &= 2\,\text{cis}\,30^\circ \\ &= \sqrt{3} + i\end{aligned}

הזווית בין $0^\circ$ ל- $90^\circ$ .

ג. החזקה

\begin{aligned}w^3 &= 2^3\,\text{cis}\,90^\circ \\ &= 8i\end{aligned}

דה-מואבר. בדיקה: $(w^3)^2 = (8i)^2 = -64 \ \checkmark$

התבנית חוזרת בכל שנה: הצגה קוטבית של אגף ימין, הנוסחה עם $360^\circ k$ , רשימה מלאה, ורק אז גאומטריה.

לעשות את הפעילות ב-elev

איך כותבים בבחינה. זוויות כותבים במעלות ( $\text{cis}\,30^\circ$ ), ומשאירים ערכים מדויקים ( $\sqrt{3}$ , לא $1.73$ ). מצולע «משוכלל» מוכיחים בשני נימוקים: כל הקדקודים על מעגל אחד, וגם הזוויות המרכזיות שוות.

נקודות שהולכות לאיבוד בבחינה.

\begin{aligned}z^6 &= -64 \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,30^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}z_k &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 60^\circ k) \\ \ k &= 0 \\ \ldots \\ 5\end{aligned}

פתרון אחד במקום שישה: כל השאלה שאחריו נופלת.

\sqrt[6]{-64} = -2

\sqrt[6]{64} = 2

מוציאים שורש מהערך המוחלט של $w$ , שהוא תמיד חיובי.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה המשוואה $z^4 = -4$ . א. מהי ההצגה הקוטבית של $-4$ ?

$-4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,180^\circ$
$4\,\text{cis}\,0^\circ$
$4\,\text{cis}\,90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4\,\text{cis}\,180^\circ$

הפתרון:

-4 = 4\,\text{cis}\,180^\circ

החלק השלילי של הציר הממשי

בהצגה קוטבית $r$ תמיד חיובי: הסימן עובר לזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$z^4 = -4$ . ב. מהו הערך המוחלט של הפתרונות? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.41

הפתרון:

\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.41

$\sqrt[4]{4} = 4^{1/4} = 2^{1/2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$z^4 = -4$ . ג. מהו החלק הממשי של הפתרון שנמצא ברביע הראשון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

z_k = \sqrt{2}\,\text{cis}(45^\circ + 90^\circ k)

\begin{aligned}z_0 &= \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ \\ &= 1 + i\end{aligned}

בדיקה: $(1 + i)^2 = 2i$ , ו- $(2i)^2 = -4 \ \checkmark$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$z^4 = -4$ . ד. הפתרונות הם הקדקודים של:

טרפז
מעוין שאינו ריבוע
ריבוע
מלבן שאינו ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע

הפתרון:

\pm 1 \pm i

ארבעת הפתרונות

\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ

על מעגל אחד, במרווחים שווים

מצולע משוכלל עם ארבעה קדקודים הוא ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$z^4 = -4$ . ה. מהו השטח של המצולע שהפתרונות יוצרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}a &= |(1 + i) - (-1 + i)| \\ &= 2\end{aligned}

הצלע

\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 4\end{aligned}

או בנוסחה: $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot \sin 90^\circ = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$z^4 = -4$ . ו. מהו ההיקף של המצולע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

4 \cdot 2 = 8

ארבע צלעות באורך $2$

הצלע היא המרחק בין שני קדקודים סמוכים, לא בין קדקודים נגדיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$z^4 = -4$ , ו- $w = 1 + i$ הוא הפתרון ברביע הראשון. ז. חשבו את $w^{10}$ . מהו החלק המדומה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

w^{10} = (\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,450^\circ

= 32\,\text{cis}\,90^\circ = 32i

$450^\circ - 360^\circ = 90^\circ$

$(\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$z^4 = -4$ . ח. מהו סכום ארבעת הפתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

(1 + i) + (-1 + i) + (-1 - i) + (1 - i) = 0

הסכום של כל הפתרונות של $z^n = w$ הוא תמיד $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$z^4 = -4$ . ט. כופלים כל פתרון ב- $\text{cis}\,45^\circ$ . הנקודות החדשות הן הפתרונות של $z^4 = c$ . מצאו את $c$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

(z \cdot \text{cis}\,45^\circ)^4 = z^4 \cdot \text{cis}\,180^\circ

= -4 \cdot (-1) = 4

הסיבוב ב- $45^\circ$ מעביר את הריבוע לקדקודים $\sqrt{2}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}, -\sqrt{2}i$ : הפתרונות של $z^4 = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$z^4 = -4$ . י. כל הפתרונות נמצאים על המעגל $|z| = \sqrt{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}|z|^4 &= |-4| \\ &= 4 \Rightarrow |z| \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

הערך המוחלט של כל פתרון הוא $\sqrt[4]{|w|}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev