בעיות גאומטריות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כל מה שלמדנו מתחבר כאן לגאומטריה: ∣z1−z2∣|z_1 - z_2| הוא מרחק, כפל ב-cis α\text{cis}\,\alpha הוא סיבוב, ופתרונות של zn=wz^n = w הם מצולע. שאלות הבגרות בנויות בדיוק על החיבורים האלה.

מקום גאומטרי: מעגל

אילו נקודות zz מקיימות ∣z−(2+i)∣=2|z - (2 + i)| = 2? ∣z−z0∣|z - z_0| הוא המרחק של zz מ-z0z_0. אלה כל הנקודות שהמרחק שלהן מ-2+i2 + i הוא 22: מעגל.

∣z−z0∣=r|z - z_0| = r

כל הנקודות האלה יוצרות מעגל שמרכזו z0z_0 והרדיוס שלו rr.

הסימן של המרכז.

∣z+3−i∣=2⇒z0=3−i\begin{aligned}|z + 3 - i| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= 3 - i\end{aligned}
∣z−(−3+i)∣=2⇒z0=−3+i\begin{aligned}|z - (-3 + i)| &= 2 \Rightarrow z_0 \\ &= -3 + i\end{aligned}

כותבים קודם בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|: המרכז הוא מה שמחסרים.

מקום גאומטרי: האנך האמצעי

אילו נקודות zz מקיימות ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|? אלה הנקודות שנמצאות באותו מרחק מ-00 ומ-2+2i2 + 2i: האנך האמצעי של הקטע ביניהן.

האם z=2iz = 2i נמצא על הישרה ∣z∣=∣z−(2+2i)∣|z| = |z - (2 + 2i)|?

להציג את התשובה והפתרון

כן. ∣2i∣=2|2i| = 2, ו-∣2i−2−2i∣=∣−2∣=2|2i - 2 - 2i| = |-2| = 2. המרחקים שווים. (וגם x+y=0+2=2x + y = 0 + 2 = 2.)

סיבוב סביב הראשית

כפל ב-r cis αr\,\text{cis}\,\alpha מסובב ב-α\alpha ומותח פי rr. כדי לסובב נקודה zz ב-60∘60^\circ סביב הראשית, כופלים אותה ב-cis 60∘\text{cis}\,60^\circ. בשאלות על משולש שווה צלעות זה הכלי: הקדקוד השלישי הוא סיבוב של השני ב-60∘60^\circ.

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים

בסדרה הנדסית כל איבר הוא הקודם כפול qq. כש-q=r cis αq = r\,\text{cis}\,\alpha, כל צעד הוא סיבוב ב-α\alpha ומתיחה פי rr. האיברים יוצרים ספירלה, ממש כמו החזקות של zz.

zn=z1qn−1z_n = z_1 q^{n-1}

האיבר הכללי

Sn=z1(qn−1)q−1S_n = \frac{z_1(q^n - 1)}{q - 1}

סכום nn איברים ראשונים, כש-q≠1q \ne 1

∣zn∣=∣z1∣⋅∣q∣n−1|z_n| = |z_1| \cdot |q|^{n-1}

הערכים המוחלטים: סדרה הנדסית ממשית

כש-qn=1q^n = 1, הסכום מתאפס

הסדרה 1,i,−1,−i,…1, i, -1, -i, \ldots (q=iq = i). מה הסכום של שמונה האיברים הראשונים?

S8=1⋅(i8−1)i−1S_8 = \frac{1 \cdot (i^8 - 1)}{i - 1}
i8=1⇒S8=0\begin{aligned}i^8 &= 1 \Rightarrow S_8 \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס

תרגילים

תרגיל 1

ראשית הצירים נמצאת על המעגל ∣z−(3+4i)∣=5|z - (3 + 4i)| = 5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∣0−(3+4i)∣=∣3+4i∣=5\begin{aligned}|0 - (3 + 4i)| &= |3 + 4i| \\ &= 5\end{aligned}

מציבים z=0z = 0

המרחק של 00 מהמרכז 3+4i3 + 4i שווה בדיוק לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו המרכז של המעגל ∣z+2−i∣=3|z + 2 - i| = 3?

  1. (−2,1)(-2, 1)
  2. (2,1)(2, 1)
  3. (−2,−1)(-2, -1)
  4. (2,−1)(2, -1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (−2,1)(-2, 1)

הפתרון:

∣z−(−2+i)∣=3|z - (-2 + i)| = 3

כותבים בצורה ∣z−z0∣|z - z_0|

z+2−i=z−(−2+i)z + 2 - i = z - (-2 + i): המרכז הוא −2+i-2 + i.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הרדיוס של המעגל ∣2z−6i∣=8|2z - 6i| = 8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∣2(z−3i)∣=2∣z−3i∣=8\begin{aligned}|2(z - 3i)| &= 2|z - 3i| \\ &= 8\end{aligned}

מוציאים את 22 מהערך המוחלט

∣z−3i∣=4|z - 3i| = 4

קודם מחלקים ב-22: המקדם של zz חייב להיות 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המקום הגאומטרי ∣z−2∣=∣z−4i∣|z - 2| = |z - 4i| הוא ישר. באיזו נקודה (0,y)(0, y) הוא חותך את הציר המדומה? מצאו את yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

(x−2)2+y2=x2+(y−4)2(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 4)^2

מציבים z=x+yiz = x + yi

−4x+4=−8y+16⇒x−2y=−3\begin{aligned}-4x + 4 &= -8y + 16 \Rightarrow x - 2y \\ &= -3\end{aligned}
x=0⇒y=1.5\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 1.5\end{aligned}

בודקים: (0,1.5)(0, 1.5) רחוקה 2.52.5 גם מ-(2,0)(2, 0) וגם מ-(0,4)(0, 4).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מסובבים את z=4+2iz = 4 + 2i ב-90∘90^\circ נגד כיוון השעון סביב הראשית. מהו החלק הממשי של התמונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

iz=i(4+2i)=4i−2\begin{aligned}iz &= i(4 + 2i) \\ &= 4i - 2\end{aligned}

סיבוב ב-90∘90^\circ הוא כפל ב-ii

סיבוב ב-90∘90^\circ שולח (a,b)(a, b) ל-(−b,a)(-b, a).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במה צריך לכפול את zz כדי לסובב אותו ב-60∘60^\circ סביב הראשית, בלי לשנות את המרחק שלו ממנה?

  1. 60i60i
  2. 6060
  3. 2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ
  4. cis 60∘\text{cis}\,60^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד cis 60∘\text{cis}\,60^\circ

הפתרון:

z⋅cis 60∘=r cis(θ+60∘)z \cdot \text{cis}\,60^\circ = r\,\text{cis}(\theta + 60^\circ)

2 cis 60∘2\,\text{cis}\,60^\circ מסובב, אבל גם מכפיל את המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודות 3+i3 + i, −1+3i-1 + 3i, −3−i-3 - i, 1−3i1 - 3i הן קדקודים של ריבוע. מהו השטח שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

a=∣(3+i)−(−1+3i)∣=∣4−2i∣=20\begin{aligned}a &= |(3 + i) - (-1 + 3i)| \\ &= |4 - 2i| \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

צלע

S=a2=20\begin{aligned}S &= a^2 \\ &= 20\end{aligned}

או דרך האלכסונים: כל אחד באורך 2∣3+i∣=2102|3 + i| = 2\sqrt{10}, ו-d22=20\frac{d^2}{2} = 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית z1=2z_1 = 2 ו-q=iq = i. מהו z5z_5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

z5=2⋅i4=2\begin{aligned}z_5 &= 2 \cdot i^4 \\ &= 2\end{aligned}

ארבעה סיבובים של 90∘90^\circ הם סיבוב שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית z1=1+iz_1 = 1 + i ו-q=1+iq = 1 + i. מהו החלק הממשי של z3z_3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

z3=z1q2=(1+i)3\begin{aligned}z_3 &= z_1 q^2 \\ &= (1 + i)^3\end{aligned}
(1+i)2=2i⇒(1+i)3=2i(1+i)=−2+2i\begin{aligned}(1 + i)^2 &= 2i \Rightarrow (1 + i)^3 \\ &= 2i(1 + i) \\ &= -2 + 2i\end{aligned}

z3=z1q2z_3 = z_1 q^{2}, לא z1q3z_1 q^3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה הנדסית z1=1z_1 = 1 ו-q=cis 45∘q = \text{cis}\,45^\circ. מהו סכום שמונת האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

q8=cis 360∘=1\begin{aligned}q^8 &= \text{cis}\,360^\circ \\ &= 1\end{aligned}
S8=q8−1q−1=0\begin{aligned}S_8 &= \frac{q^8 - 1}{q - 1} \\ &= 0\end{aligned}

שמונת האיברים הם קדקודים של מתומן משוכלל: הם הפתרונות של z8=1z^8 = 1, והסכום שלהם 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הנקודות שמקיימות ∣z∣=2|z| = 2 וגם Re(z)=1\mathrm{Re}(z) = 1 הן שתי נקודות. מהו הארגומנט הקטן מבין השניים (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

1+y2=4⇒y=±3\begin{aligned}1 + y^2 &= 4 \Rightarrow y \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
1−i3=2 cis 300∘1 - i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,300^\circ

החיתוך של המעגל ∣z∣=2|z| = 2 עם הישר x=1x = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הנקודות zz, iziz, −z-z ו-−iz-iz (כאשר z≠0z \ne 0) הן קדקודים של:

  1. מעוין שאינו ריבוע
  2. מלבן שאינו ריבוע
  3. ריבוע
  4. דלתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ריבוע

הפתרון:

∣z∣=∣iz∣=∣−z∣=∣−iz∣\begin{aligned}|z| &= |iz| \\ &= |-z| \\ &= |-iz|\end{aligned}

כולן על מעגל אחד

90∘90^\circ

וביניהן סיבובים של 90∘90^\circ

ארבעה קדקודים במרווחים של 90∘90^\circ על מעגל: מצולע משוכלל עם ארבע צלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת