המספר i

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

נסו לפתור את המשוואה x2=−1x^2 = -1. אין מספר ממשי שמקיים אותה: ריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אפס או חיובי, ולכן הוא לא יכול לצאת −1-1. המתמטיקאים לא ויתרו. הם הוסיפו מספר חדש, ובנו סביבו עולם שלם של מספרים.

i2=−1i^2 = -1

ii הוא המספר שהריבוע שלו שווה ל-−1-1. האות ii באה מהמילה imaginary: מדומה.

מהו (−i)2(-i)^2?

להציג את התשובה והפתרון

(−i)2=(−1)2⋅i2=1⋅(−1)=−1(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1. גם −i-i פותר את המשוואה x2=−1x^2 = -1: למשוואה יש שני פתרונות, ii ו-−i-i.

עכשיו אפשר להוציא שורש גם ממספר שלילי. למשל −9=3i\sqrt{-9} = 3i, כי (3i)2=9⋅i2=−9(3i)^2 = 9 \cdot i^2 = -9. ולכן גם למשוואה x2=−9x^2 = -9 יש שני פתרונות: x=3ix = 3i ו-x=−3ix = -3i.

החזקות של ii חוזרות על עצמן

i1=ii^1 = i

ההתחלה

i2=−1i^2 = -1

ההגדרה

i3=i2⋅i=−i\begin{aligned}i^3 &= i^2 \cdot i \\ &= -i\end{aligned}

כופלים שוב ב-ii

i4=i2⋅i2=1\begin{aligned}i^4 &= i^2 \cdot i^2 \\ &= 1\end{aligned}

וחוזרים ל-11

כדי לחשב ini^n, מחלקים את nn ב-4 ומסתכלים על השארית. שארית 00 נותנת 11, שארית 11 נותנת ii, שארית 22 נותנת −1-1, ושארית 33 נותנת −i-i. למשל i27i^{27}: 27=4⋅6+327 = 4 \cdot 6 + 3, ולכן i27=i3=−ii^{27} = i^3 = -i.

כמה זה i+i2+i3+i4i + i^2 + i^3 + i^4?

להציג את התשובה והפתרון

i+(−1)+(−i)+1=0i + (-1) + (-i) + 1 = 0. ארבע חזקות רצופות של ii מסתכמות תמיד ב-00 — נשתמש בזה בסכומים ארוכים.

מספר מרוכב: חלק ממשי וחלק מדומה

z=a+biab∈R\begin{aligned}z &= a + bi \qquad a \\ b \in \mathbb{R}\end{aligned}

זו ההצגה האלגברית של מספר מרוכב.

Re(z)=a\mathrm{Re}(z) = a

החלק הממשי: המספר שעומד לבד

Im(z)=b\mathrm{Im}(z) = b

החלק המדומה: המקדם של ii, בלי ה-ii

מזהים את שני החלקים

בכל מספר כותבים קודם את הצורה a+bia + bi, ורק אז קוראים את aa ואת bb.

z=3−5i⇒Re(z)=3 Im(z)=−5\begin{aligned}z &= 3 - 5i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 3 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -5\end{aligned}

הסימן שייך לחלק המדומה

z=4i⇒Re(z)=0 Im(z)=4\begin{aligned}z &= 4i \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 4\end{aligned}

מספר מדומה טהור

z=7⇒Re(z)=7 Im(z)=0\begin{aligned}z &= 7 \Rightarrow \mathrm{Re}(z) \\ &= 7 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= 0\end{aligned}

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב

הטעויות של המתחילים.

Im(3−4i)=−4i\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4i
Im(3−4i)=−4\mathrm{Im}(3 - 4i) = -4

החלק המדומה הוא מספר ממשי: המקדם של ii, בלי ii.

−4⋅−9=36=6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}
−4⋅−9=2i⋅3i=−6\begin{aligned}\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} &= 2i \cdot 3i \\ &= -6\end{aligned}

הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} נכון רק למספרים חיוביים. קודם מוציאים את ii, ואחר כך כופלים.

מתי שני מספרים מרוכבים שווים

שני מספרים מרוכבים שווים רק כשהחלקים הממשיים שלהם שווים, וגם החלקים המדומים שלהם שווים. משוואה אחת בין מספרים מרוכבים נותנת לכן שתי משוואות בין מספרים ממשיים.

מוצאים שני נעלמים ממשוואה אחת

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר x,yx, y ממשיים.

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את החלקים הממשיים

3=y−1⇒y=4\begin{aligned}3 &= y - 1 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

משווים את החלקים המדומים

תרגילים

תרגיל 1

מהו i2i^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

i2=−1i^2 = -1

זו ההגדרה של ii

i2i^2 הוא מספר ממשי, −1-1, ולא ii ולא −i-i.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהם הפתרונות של המשוואה x2=−16x^2 = -16?

  1. x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i
  2. x=4x = 4 ו-x=−4x = -4
  3. x=16ix = 16i
  4. אין פתרונות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x=4ix = 4i ו-x=−4ix = -4i

הפתרון:

x2=−16=16⋅(−1)=16i2\begin{aligned}x^2 &= -16 \\ &= 16 \cdot (-1) \\ &= 16i^2\end{aligned}

כותבים את −1-1 בתור i2i^2

x=±4ix = \pm 4i

בודקים: (4i)2=16⋅(−1)=−16(4i)^2 = 16 \cdot (-1) = -16

42=164^2 = 16, לא −16-16. ובמספרים המרוכבים יש פתרונות: שניים, צמודים זה לזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את i23i^{23}.

  1. −i-i
  2. ii
  3. −1-1
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −i-i

הפתרון:

23=4⋅5+323 = 4 \cdot 5 + 3

מחלקים ב-4: השארית היא 33

i23=i3=−i\begin{aligned}i^{23} &= i^{3} \\ &= -i\end{aligned}

מה שקובע הוא השארית בחלוקה ב-4, ולא האם 2323 זוגי או אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את i100i^{100}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

100=4⋅25100 = 4 \cdot 25

השארית בחלוקה ב-4 היא 00

i100=(i4)25=125=1\begin{aligned}i^{100} &= (i^4)^{25} \\ &= 1^{25} \\ &= 1\end{aligned}

כל חזקה שהמעריך שלה מתחלק ב-4 שווה ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו החלק המדומה של z=7−2iz = 7 - 2i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

z=7+(−2)iz = 7 + (-2)i

כותבים בצורה a+bia + bi

Im(z)=−2\mathrm{Im}(z) = -2

התשובה היא −2-2, בלי ii, ועם הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו החלק הממשי של z=6i−5z = 6i - 5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

z=−5+6iz = -5 + 6i

מסדרים: קודם החלק הממשי

Re(z)=−5\mathrm{Re}(z) = -5

הסדר שבו המספר כתוב לא משנה: החלק הממשי הוא מה שעומד בלי ii.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: i+i2+i3+…+i10i + i^2 + i^3 + \ldots + i^{10}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

(i+i2+i3+i4)+(i5+…+i8)=0+0(i + i^2 + i^3 + i^4) + (i^5 + \ldots + i^8) = 0 + 0

כל ארבעה איברים רצופים מסתכמים ב-00

i9+i10=i+(−1)=−1+i\begin{aligned}i^9 + i^{10} &= i + (-1) \\ &= -1 + i\end{aligned}

נשארים שני איברים

Re=−1\mathrm{Re} = -1

במקום לחשב עשרה איברים, מקבצים אותם ברביעיות: רק השארית נשארת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון: (x+2)+3i=5+(y−1)i(x + 2) + 3i = 5 + (y - 1)i, כאשר xx ו-yy ממשיים. מצאו את x+yx + y.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x+2=5⇒x=3\begin{aligned}x + 2 &= 5 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

החלקים הממשיים שווים

y−1=3⇒y=4\begin{aligned}y - 1 &= 3 \Rightarrow y \\ &= 4\end{aligned}

החלקים המדומים שווים

x+y=7x + y = 7

משוואה אחת בין מספרים מרוכבים היא שתי משוואות: אחת לכל חלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו: −4⋅−25\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-25}.

  1. 10i10i
  2. −10-10
  3. 1010
  4. −10i-10i
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −10-10

הפתרון:

−4=2i−25=5i\begin{aligned}\sqrt{-4} &= 2i \\ \quad \sqrt{-25} &= 5i\end{aligned}

קודם מוציאים את ii מכל שורש

2i⋅5i=10i2=−10\begin{aligned}2i \cdot 5i &= 10i^2 \\ &= -10\end{aligned}

(−4)(−25)=100=10\sqrt{(-4)(-25)} = \sqrt{100} = 10 זו הטעות: הכלל ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} לא עובד כששני המספרים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

7=7+0i7 = 7 + 0i

החלק המדומה שלו הוא 00

המספרים הממשיים הם המספרים המרוכבים שהחלק המדומה שלהם הוא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו המספר z=(m−3)+(m+1)iz = (m - 3) + (m + 1)i הוא מדומה טהור.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

Re(z)=m−3=0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= m - 3 \\ &= 0\end{aligned}

מדומה טהור: החלק הממשי הוא 00

m=3⇒z=4i\begin{aligned}m &= 3 \Rightarrow z \\ &= 4i\end{aligned}

בודקים: החלק המדומה 4≠04 \ne 0

מדומה טהור פירושו חלק ממשי 00 וחלק מדומה שונה מ-00. אם גם החלק המדומה היה 00, היה יוצא המספר 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת