ארבע פעולות החשבון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עם מספרים מרוכבים מחשבים כמו עם ביטויים אלגבריים: ii מתנהג כמו משתנה, וההבדל היחיד הוא שבכל מקום שמופיע i2i^2, מחליפים אותו ב-−1-1.

חיבור וחיסור: כל חלק לחוד

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה.

חיבור וחיסור

נתון z1=3+2iz_1 = 3 + 2i ו-z2=1−5iz_2 = 1 - 5i.

z1+z2=(3+1)+(2−5)i=4−3i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (3 + 1) + (2 - 5)i \\ &= 4 - 3i\end{aligned}

מחברים את החלקים הממשיים, ואז את החלקים המדומים

z1−z2=(3−1)+(2−(−5))i=2+7i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (3 - 1) + (2 - (-5))i \\ &= 2 + 7i\end{aligned}

בחיסור, המינוס עובר על שני החלקים של z2z_2

כפל: פותחים סוגריים, ו-i2=−1i^2 = -1

כפל של שני מספרים מרוכבים

מחשבים את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i).

=8−2i+12i−3i2= 8 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים: כל איבר כפול כל איבר

=8+10i−3⋅(−1)= 8 + 10i - 3 \cdot (-1)

מחליפים את i2i^2 ב-−1-1

=11+10i= 11 + 10i

מכנסים: ממשי עם ממשי, מדומה עם מדומה

כמה זה (1+i)2(1 + i)^2?

להציג את התשובה והפתרון

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i. התוצאה היא מספר מדומה טהור.

המספר הצמוד

z=a+bi⟹zˉ=a−bi\begin{aligned}z &= a + bi \quad \Longrightarrow \quad \bar{z} \\ &= a - bi\end{aligned}

הצמוד של zz: אותו חלק ממשי, והחלק המדומה מחליף סימן.

הצמוד חשוב בגלל תכונה אחת: מספר כפול הצמוד שלו הוא תמיד מספר ממשי, ואפילו לא שלילי.

z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= (a + bi)(a - bi) \\ &= a^2 - b^2 i^2 \\ &= a^2 + b^2\end{aligned}
z+zˉ=2az + \bar{z} = 2a

גם הסכום ממשי

z−zˉ=2biz - \bar{z} = 2bi

וההפרש מדומה טהור

z1⋅z2‾=zˉ1⋅zˉ2\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2

הצמוד של מכפלה הוא מכפלת הצמודים

חילוק: כופלים בצמוד של המכנה

אי אפשר להשאיר ii במכנה. כדי להיפטר ממנו, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה: המכנה הופך למספר ממשי, ואז מחלקים כל חלק לחוד.

ההופכי של ii. 1i=1⋅(−i)i⋅(−i)=−i1=−i\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{1} = -i. כדאי לזכור את זה: הוא מופיע הרבה.

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

(3+2i)2=9+4i2=5\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 4i^2 \\ &= 5\end{aligned}
(3+2i)2=9+12i−4=5+12i\begin{aligned}(3 + 2i)^2 &= 9 + 12i - 4 \\ &= 5 + 12i\end{aligned}

ריבוע של סכום כולל את האיבר האמצעי 2ab2ab, גם במספרים מרוכבים.

4+6i2+3i=42+6i3i=4\begin{aligned}\frac{4 + 6i}{2 + 3i} &= \frac{4}{2} + \frac{6i}{3i} \\ &= 4\end{aligned}
4+6i2+3i=2\frac{4 + 6i}{2 + 3i} = 2

אי אפשר לחלק חלק בחלק. כאן במקרה 4+6i=2(2+3i)4 + 6i = 2(2 + 3i), ולכן התוצאה היא 22.

תרגילים

תרגיל 1

נתון z1=4−3iz_1 = 4 - 3i ו-z2=−1+7iz_2 = -1 + 7i. מהו החלק המדומה של z1+z2z_1 + z_2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

z1+z2=(4−1)+(−3+7)i=3+4i\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (4 - 1) + (-3 + 7)i \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

חלק חלק

Im=4\mathrm{Im} = 4

מחברים את המקדמים של ii עם הסימנים שלהם: −3+7=4-3 + 7 = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון z1=2+5iz_1 = 2 + 5i ו-z2=6−iz_2 = 6 - i. מהו החלק המדומה של z1−z2z_1 - z_2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

z1−z2=(2−6)+(5−(−1))i=−4+6i\begin{aligned}z_1 - z_2 &= (2 - 6) + (5 - (-1))i \\ &= -4 + 6i\end{aligned}

המינוס עובר על שני החלקים

Im=6\mathrm{Im} = 6

התשובה 44 שוכחת שחיסור של −i-i הוא חיבור של ii.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את (2+3i)(4−i)(2 + 3i)(4 - i). מהו החלק הממשי של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

8−2i+12i−3i28 - 2i + 12i - 3i^2

פותחים סוגריים

=8+10i+3=11+10i= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i

−3i2=+3-3i^2 = +3

התשובה 55 שוכחת ש-−3i2-3i^2 הוא פלוס 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את (3−2i)2(3 - 2i)^2. מהו החלק המדומה של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -12

הפתרון:

(3−2i)2=9−12i+4i2(3 - 2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2

נוסחת הכפל המקוצר

=9−12i−4=5−12i= 9 - 12i - 4 = 5 - 12i

האיבר האמצעי 2⋅3⋅(−2i)=−12i2 \cdot 3 \cdot (-2i) = -12i הוא החלק המדומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון z=5−2iz = 5 - 2i. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29

הפתרון:

zˉ=5+2i\bar{z} = 5 + 2i

הצמוד

z⋅zˉ=52+22=29\begin{aligned}z \cdot \bar{z} &= 5^2 + 2^2 \\ &= 29\end{aligned}

a2+b2a^2 + b^2

התוצאה ממשית, ושני הריבועים מתחברים: 25+425 + 4, לא 25−425 - 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הצמוד של z=−4+iz = -4 + i?

  1. −4−i-4 - i
  2. 4+i4 + i
  3. −4+i-4 + i
  4. 4−i4 - i
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −4−i-4 - i

הפתרון:

zˉ=−4−i\bar{z} = -4 - i

רק החלק המדומה מחליף סימן

הצמוד לא נוגע בחלק הממשי: −4-4 נשאר −4-4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}. מהו החלק הממשי של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(5+5i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−5i5\frac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{15 - 5i}{5}

כופלים בצמוד של המכנה

=3−i= 3 - i

הדרך הבטוחה: כופלים בצמוד של המכנה, לא של המונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את 103−i\frac{10}{3 - i}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

10(3+i)(3−i)(3+i)=30+10i10\frac{10(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{30 + 10i}{10}

המכנה: 9+1=109 + 1 = 10

=3+i= 3 + i

גם כשהמונה ממשי, כופלים בצמוד של המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את 1i\frac{1}{i}.

  1. −1-1
  2. 11
  3. ii
  4. −i-i
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −i-i

הפתרון:

1i⋅−i−i=−i−i2=−i1\begin{aligned}\frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{1}\end{aligned}

הצמוד של ii הוא −i-i

=−i= -i

בודקים: i⋅(−i)=−i2=1i \cdot (-i) = -i^2 = 1

ההופכי של ii הוא −i-i, לא ii: i⋅i=−1i \cdot i = -1, ולא 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון z=2+iz = 2 + i. חשבו את z2−4zz^2 - 4z. מהו החלק הממשי של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

z2=4+4i+i2=3+4i\begin{aligned}z^2 &= 4 + 4i + i^2 \\ &= 3 + 4i\end{aligned}

קודם הריבוע

4z=8+4i4z = 8 + 4i
z2−4z=−5+0i=−5\begin{aligned}z^2 - 4z &= -5 + 0i \\ &= -5\end{aligned}

החלק המדומה מתבטל

התוצאה היא מספר ממשי. זה לא מקרה: z=2+iz = 2 + i הוא פתרון של z2−4z+5=0z^2 - 4z + 5 = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לכל מספר מרוכב zz, המספר z+zˉz + \bar{z} הוא מספר ממשי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(a+bi)+(a−bi)=2a(a + bi) + (a - bi) = 2a

החלקים המדומים מתבטלים

הסכום שווה לפעמיים החלק הממשי של zz.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מצאו את הערך הממשי של mm שעבורו (m+2i)(3−i)(m + 2i)(3 - i) הוא מספר ממשי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(m+2i)(3−i)=3m−mi+6i−2i2(m + 2i)(3 - i) = 3m - mi + 6i - 2i^2

פותחים סוגריים

=(3m+2)+(6−m)i= (3m + 2) + (6 - m)i

מכנסים

6−m=0⇒m=6\begin{aligned}6 - m &= 0 \Rightarrow m \\ &= 6\end{aligned}

מספר ממשי: החלק המדומה הוא 00

מספר ממשי פירושו חלק מדומה 00. מכנסים קודם את כל האיברים עם ii.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת