מישור גאוס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

למספר מרוכב יש שני מספרים ממשיים: החלק הממשי והחלק המדומה. שני מספרים הם בדיוק מה שצריך כדי לסמן נקודה במישור. כך כל מספר מרוכב מקבל מקום, ואפשר לראות את החשבון.

המישור הזה נקרא מישור גאוס. המספרים הממשיים יושבים על הציר האופקי, והמספרים המדומים הטהורים על הציר האנכי.

באיזה רביע נמצא המספר −2+5i-2 + 5i?

להציג את התשובה והפתרון

החלק הממשי שלילי (שמאלה) והחלק המדומה חיובי (למעלה): ברביע השני.

הערך המוחלט: המרחק מראשית הצירים

∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2\begin{aligned}|z| &= |a + bi| \\ &= \sqrt{a^2 + b^2}\end{aligned}

הערך המוחלט של zz (נקרא גם המודול) הוא המרחק של הנקודה מראשית הצירים.

∣z∣2=z⋅zˉ|z|^2 = z \cdot \bar{z}

הקשר לצמוד

∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|

ערך מוחלט של מכפלה

∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}

וגם של מנה

חשבו ערך מוחלט של מכפלה בלי לכפול. ∣(3+4i)(1−i)∣=∣3+4i∣⋅∣1−i∣=52|(3 + 4i)(1 - i)| = |3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5\sqrt{2}. כך חוסכים את פתיחת הסוגריים.

הצמוד הוא שיקוף

החיבור הוא מקבילית

המרחק בין שני מספרים

d=∣z1−z2∣d = |z_1 - z_2|

המרחק בין הנקודות של z1z_1 ושל z2z_2 במישור הוא הערך המוחלט של ההפרש.

מרחק בין שתי נקודות

מה המרחק בין z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ל-z2=2−iz_2 = 2 - i?

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i

מחסרים

∣3+4i∣=9+16=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

זה בדיוק המרחק בין (5,3)(5, 3) ל-(2,−1)(2, -1)

הטעות של הערך המוחלט.

∣3−4i∣=32−42|3 - 4i| = \sqrt{3^2 - 4^2}
∣3−4i∣=32+(−4)2=5\begin{aligned}|3 - 4i| &= \sqrt{3^2 + (-4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בריבוע את החלק המדומה, בלי ii ועם הסימן: הריבוע תמיד חיובי.

תרגילים

תרגיל 1

באיזה רביע נמצא המספר z=−3−2iz = -3 - 2i?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. הראשון
  4. השני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א השלישי

הפתרון:

Re(z)=−3<0 Im(z)=−2<0\begin{aligned}\mathrm{Re}(z) &= -3 < 0 \\ \ \mathrm{Im}(z) &= -2 < 0\end{aligned}

שמאלה ולמטה

שני החלקים שליליים: הרביע השלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∣6−8i∣|6 - 8i|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣6−8i∣=36+64=100\begin{aligned}|6 - 8i| &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100}\end{aligned}
=10= 10

מעלים בריבוע את −8-8, לא את −8i-8i: (−8)2=64(-8)^2 = 64.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את ∣5i∣|5i|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5i=0+5i5i = 0 + 5i

הנקודה (0,5)(0, 5)

∣5i∣=0+25=5\begin{aligned}|5i| &= \sqrt{0 + 25} \\ &= 5\end{aligned}

מספר מדומה טהור יושב על הציר המדומה, והמרחק שלו מהראשית הוא 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מה המרחק בין הנקודות שמייצגות את z1=5+3iz_1 = 5 + 3i ואת z2=2−iz_2 = 2 - i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

z1−z2=3+4iz_1 - z_2 = 3 + 4i
∣3+4i∣=5|3 + 4i| = 5

המרחק הוא ∣z1−z2∣|z_1 - z_2|: מחסרים, ואז לוקחים ערך מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∣(3+4i)(1−i)∣|(3 + 4i)(1 - i)|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.07

הפתרון:

∣3+4i∣⋅∣1−i∣=5⋅2|3 + 4i| \cdot |1 - i| = 5 \cdot \sqrt{2}

ערך מוחלט של מכפלה

52≈7.075\sqrt{2} \approx 7.07

אין צורך לכפול את המספרים: כופלים את הערכים המוחלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את ∣6+8i1+i3∣\left|\frac{6 + 8i}{1 + i\sqrt{3}}\right|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∣6+8i∣=10∣1+i3∣=1+3=2\begin{aligned}|6 + 8i| &= 10 \\ \quad |1 + i\sqrt{3}| &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}
102=5\frac{10}{2} = 5

הערך המוחלט של מנה הוא מנת הערכים המוחלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנקודה AA מייצגת את zz. איזו פעולה מעבירה את AA לשיקוף שלה בציר הממשי?

  1. zˉ\bar{z}
  2. −zˉ-\bar{z}
  3. −z-z
  4. iziz
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א zˉ\bar{z}

הפתרון:

a+bi↦a−bia + bi \mapsto a - bi

החלק הממשי נשאר, המדומה מחליף סימן

zˉ\bar{z} משקף בציר הממשי; −zˉ-\bar{z} משקף בציר המדומה; −z-z משקף בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון z1=3+iz_1 = 3 + i ו-z2=1+3iz_2 = 1 + 3i. הנקודות OO, z1z_1, z1+z2z_1 + z_2, z2z_2 הן קדקודים של מקבילית. מהו אורך האלכסון שיוצא מ-OO? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.66

הפתרון:

z1+z2=4+4iz_1 + z_2 = 4 + 4i

האלכסון מ-OO הוא הסכום

∣4+4i∣=32=42≈5.66\begin{aligned}|4 + 4i| &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

האלכסון השני של המקבילית הוא ∣z1−z2∣=∣2−2i∣=22|z_1 - z_2| = |2 - 2i| = 2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון ∣z∣=3|z| = 3. חשבו את z⋅zˉz \cdot \bar{z}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

z⋅zˉ=∣z∣2z \cdot \bar{z} = |z|^2
=32=9= 3^2 = 9

אין צורך לדעת את zz עצמו: מספיק הערך המוחלט שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

אם ∣z1∣=∣z2∣|z_1| = |z_2|, אז z1=z2z_1 = z_2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∣3+4i∣=∣5∣=5\begin{aligned}|3 + 4i| &= |5| \\ &= 5\end{aligned}

דוגמה נגדית: 3+4i≠53 + 4i \ne 5

כל הנקודות שהמרחק שלהן מהראשית הוא 55 נמצאות על מעגל: יש אינסוף מספרים עם אותו ערך מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון z=a+6iz = a + 6i, כאשר a>0a > 0, ו-∣z∣=10|z| = 10. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

a2+36=10\sqrt{a^2 + 36} = 10
a2=64⇒a=8\begin{aligned}a^2 &= 64 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a>0a > 0

בלי התנאי a>0a > 0 היו שני פתרונות, 88 ו-−8-8: שתי נקודות סימטריות לציר המדומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת