משפט דה-מואבר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בפרק הקודם ראינו שבכפל מחברים את הזוויות. מה קורה כשכופלים מספר בעצמו שוב ושוב? כל כפל מוסיף את אותה זווית θ\theta, ומכפיל שוב באותו אורך rr.

(r cis θ)n=rn cis(nθ)(r\,\text{cis}\,\theta)^n = r^n\,\text{cis}(n\theta)

משפט דה-מואבר: מעלים את האורך בחזקה, וכופלים את הזווית ב-nn.

חזקה גבוהה בלי לפתוח סוגריים

מחשבים את (1+i)8(1 + i)^8.

1+i=2 cis 45∘1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ

קודם עוברים להצגה קוטבית

(1+i)8=(2)8 cis(8⋅45∘)(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\,\text{cis}(8 \cdot 45^\circ)

דה-מואבר

=16 cis 360∘=16= 16\,\text{cis}\,360^\circ = 16

(2)8=24=16(\sqrt{2})^8 = 2^4 = 16, ו-cis 360∘=1\text{cis}\,360^\circ = 1

זווית גדולה מ-360∘360^\circ? מורידים סיבובים שלמים. cis 1800∘=cis(1800∘−5⋅360∘)=cis 0∘=1\text{cis}\,1800^\circ = \text{cis}(1800^\circ - 5 \cdot 360^\circ) = \text{cis}\,0^\circ = 1. סיבוב שלם מחזיר את החץ למקומו.

כמה זה (cis 30∘)12(\text{cis}\,30^\circ)^{12}?

להציג את התשובה והפתרון

cis(12⋅30∘)=cis 360∘=1\text{cis}(12 \cdot 30^\circ) = \text{cis}\,360^\circ = 1. שתים-עשרה פעמים 30∘30^\circ הן סיבוב שלם.

מתי החזקה ממשית, ומתי מדומה טהורה?

nθ=0∘180∘360∘…\begin{aligned}n\theta &= 0^\circ \\ 180^\circ \\ 360^\circ \\ \ldots\end{aligned}

znz^n ממשי: החץ על הציר הממשי

nθ=90∘270∘450∘…\begin{aligned}n\theta &= 90^\circ \\ 270^\circ \\ 450^\circ \\ \ldots\end{aligned}

znz^n מדומה טהור: החץ על הציר המדומה

החזקה הקטנה ביותר שנותנת מספר ממשי

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (1+i)n(1 + i)^n ממשי?

(1+i)n=(2)n cis(45∘n)(1 + i)^n = (\sqrt{2})^n\,\text{cis}(45^\circ n)
45∘n=180∘k45^\circ n = 180^\circ k

הזווית צריכה להיות כפולה של 180∘180^\circ

n=4⇒(1+i)4=4 cis 180∘=−4\begin{aligned}n &= 4 \Rightarrow (1 + i)^4 \\ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

הכפולה הראשונה

גם חזקות שליליות

z−n=1zn=r−n cis(−nθ)\begin{aligned}z^{-n} &= \frac{1}{z^n} \\ &= r^{-n}\,\text{cis}(-n\theta)\end{aligned}

המשפט נכון גם למעריך שלילי.

הטעות הכי נפוצה.

(1+i)8=18+i8=2\begin{aligned}(1 + i)^8 &= 1^8 + i^8 \\ &= 2\end{aligned}
(1+i)8=16(1 + i)^8 = 16

חזקה לא מתפזרת על סכום. עוברים קודם להצגה קוטבית, ורק אז מעלים בחזקה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את (1+i)8(1 + i)^8.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

(2 cis 45∘)8=16 cis 360∘(\sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ)^8 = 16\,\text{cis}\,360^\circ
=16= 16

(2)8=24(\sqrt{2})^8 = 2^4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את (1+i3)6(1 + i\sqrt{3})^6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
26 cis 360∘=642^6\,\text{cis}\,360^\circ = 64

הזווית 6⋅60∘6 \cdot 60^\circ היא סיבוב שלם: התוצאה ממשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את (3+i)3(\sqrt{3} + i)^3. מהו החלק המדומה של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

3+i=2 cis 30∘\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ
23 cis 90∘=8i2^3\,\text{cis}\,90^\circ = 8i

התוצאה מדומה טהורה: 3⋅30∘=90∘3 \cdot 30^\circ = 90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את (cis 20∘)9(\text{cis}\,20^\circ)^9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

cis(9⋅20∘)=cis 180∘=−1\begin{aligned}\text{cis}(9 \cdot 20^\circ) &= \text{cis}\,180^\circ \\ &= -1\end{aligned}

האורך הוא 11, ולכן גם כל החזקות על מעגל היחידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את (1−i)10(1 - i)^{10}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -32

הפתרון:

1−i=2 cis 315∘1 - i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,315^\circ

רביע רביעי

(2)10 cis 3150∘=32 cis 3150∘(\sqrt{2})^{10}\,\text{cis}\,3150^\circ = 32\,\text{cis}\,3150^\circ
3150∘−8⋅360∘=270∘3150^\circ - 8 \cdot 360^\circ = 270^\circ

מורידים סיבובים שלמים

32 cis 270∘=−32i32\,\text{cis}\,270^\circ = -32i

הזווית של 1−i1 - i היא 315∘315^\circ (או −45∘-45^\circ), לא 45∘45^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (1+i)n(1 + i)^n הוא מספר ממשי חיובי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

45∘n=360∘k45^\circ n = 360^\circ k

ממשי חיובי: כפולה של 360∘360^\circ

n=8n = 8

n=4n = 4 נותן −4-4: ממשי, אבל שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו ה-nn הטבעי הקטן ביותר שעבורו (3+i)n(\sqrt{3} + i)^n הוא מדומה טהור?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3+i=2 cis 30∘\sqrt{3} + i = 2\,\text{cis}\,30^\circ
30∘n=90∘+180∘k30^\circ n = 90^\circ + 180^\circ k
n=3n = 3

מדומה טהור: הזווית היא 90∘90^\circ או 270∘270^\circ, ועוד סיבובים שלמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את (2 cis 15∘)4(2\,\text{cis}\,15^\circ)^4. מהו החלק הממשי של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

24 cis 60∘=16 cis 60∘2^4\,\text{cis}\,60^\circ = 16\,\text{cis}\,60^\circ
16cos⁡60∘=816\cos 60^\circ = 8

האורך עולה בחזקה: 24=162^4 = 16, לא 2⋅42 \cdot 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את ∣(1+2i)6∣|(1 + 2i)^6|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

∣1+2i∣=5|1 + 2i| = \sqrt{5}
∣(1+2i)6∣=(5)6=125\begin{aligned}|(1 + 2i)^6| &= (\sqrt{5})^6 \\ &= 125\end{aligned}

לערך המוחלט לא צריך את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את (−1+i)4(-1 + i)^4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

−1+i=2 cis 135∘-1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,135^\circ
4 cis 540∘=4 cis 180∘=−4\begin{aligned}4\,\text{cis}\,540^\circ &= 4\,\text{cis}\,180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

540∘540^\circ הם סיבוב שלם ועוד 180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון z=cis 100∘z = \text{cis}\,100^\circ. מהו הארגומנט של z5z^5 (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

5⋅100∘=500∘5 \cdot 100^\circ = 500^\circ
500∘−360∘=140∘500^\circ - 360^\circ = 140^\circ

מורידים סיבובים שלמים עד שהזווית בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

לכל aa ו-bb ממשיים: (a+bi)2=a2+b2i2(a + bi)^2 = a^2 + b^2 i^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(a+bi)2=a2+2abi−b2(a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2

חסר האיבר האמצעי

חזקה לא מתפזרת על סכום, גם לא במספרים מרוכבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת