הצגה קוטבית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו תיארנו נקודה בעזרת שני מרחקים: כמה ימינה (aa) וכמה למעלה (bb). אפשר לתאר אותה גם אחרת: כמה רחוק היא מהראשית, ובאיזה כיוון. זה כמו להסביר דרך: «לך 2 קילומטרים, בכיוון צפון-מזרח».

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r cis θ\begin{aligned}z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r\,\text{cis}\,\theta\end{aligned}

ההצגה הקוטבית של zz. הסימון cis\text{cis} הוא קיצור של cos⁡+isin⁡\cos + i\sin.

a=rcos⁡θa = r\cos\theta

מקוטבית לאלגברית

b=rsin⁡θb = r\sin\theta
r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}

מאלגברית לקוטבית

tan⁡θ=ba\tan\theta = \frac{b}{a}

ובודקים את הרביע!

מאלגברית לקוטבית

נכתוב את z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3} בהצגה קוטבית.

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הערך המוחלט

tan⁡θ=31=3\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{\sqrt{3}}{1} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

הנקודה ברביע הראשון

θ=60∘⇒z=2 cis 60∘\begin{aligned}\theta &= 60^\circ \Rightarrow z \\ &= 2\,\text{cis}\,60^\circ\end{aligned}

הזהירות של הרביע

תמיד מציירים קודם את הנקודה. הרביע קובע את הזווית: ברביע השני θ=180∘−α\theta = 180^\circ - \alpha, ברביע השלישי θ=180∘+α\theta = 180^\circ + \alpha, וברביע הרביעי θ=360∘−α\theta = 360^\circ - \alpha, כאשר α\alpha היא הזווית החדה שהמחשבון נותן.

1=cis 0∘1 = \text{cis}\,0^\circ
i=cis 90∘i = \text{cis}\,90^\circ
−1=cis 180∘-1 = \text{cis}\,180^\circ
−i=cis 270∘-i = \text{cis}\,270^\circ

כפל וחילוק: כאן ההצגה הקוטבית מנצחת

r1 cis θ1⋅r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1+θ2)r_1\,\text{cis}\,\theta_1 \cdot r_2\,\text{cis}\,\theta_2 = r_1 r_2\,\text{cis}(\theta_1 + \theta_2)

בכפל כופלים את הערכים המוחלטים ומחברים את הזוויות.

r1 cis θ1r2 cis θ2=r1r2 cis(θ1−θ2)\frac{r_1\,\text{cis}\,\theta_1}{r_2\,\text{cis}\,\theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\,\text{cis}(\theta_1 - \theta_2)

בחילוק מחלקים ומחסרים.

כמה זה (2 cis 40∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,40^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ)?

להציג את התשובה והפתרון

6 cis 90∘=6i6\,\text{cis}\,90^\circ = 6i. כופלים 2⋅32 \cdot 3 ומחברים 40∘+50∘40^\circ + 50^\circ.

הצמוד וההופכי

zˉ=r cis(−θ)=r cis(360∘−θ)\begin{aligned}\bar{z} &= r\,\text{cis}(-\theta) \\ &= r\,\text{cis}(360^\circ - \theta)\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי הופך את הזווית

1z=1r cis(−θ)\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)

ההופכי: הופכים את האורך וגם את הזווית

כפל בהצגה קוטבית.

2 cis 30∘⋅3 cis 60∘=6 cis 1800∘2\,\text{cis}\,30^\circ \cdot 3\,\text{cis}\,60^\circ = 6\,\text{cis}\,1800^\circ
=6 cis 90∘= 6\,\text{cis}\,90^\circ

את הזוויות מחברים, לא כופלים.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הארגומנט θ\theta (במעלות, בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ) של z=1+i3z = 1 + i\sqrt{3}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3}

רביע ראשון

θ=60∘\theta = 60^\circ

רביע ראשון: הזווית של המחשבון היא התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−2+2iz = -2 + 2i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 135

הפתרון:

tan⁡θ=−1\tan\theta = -1
θ=180∘−45∘=135∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ - 45^\circ \\ &= 135^\circ\end{aligned}

רביע שני

−45∘-45^\circ היא התשובה של המחשבון, אבל היא ברביע הרביעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−3iz = -3i?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 270

הפתרון:

−3i=3 cis 270∘-3i = 3\,\text{cis}\,270^\circ

הנקודה על החלק השלילי של הציר המדומה

אין צורך בטנגנס: הנקודה (0,−3)(0, -3) יושבת על ציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הארגומנט (במעלות) של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 240

הפתרון:

tan⁡θ=−3−1=3⇒α=60∘\begin{aligned}\tan\theta &= \frac{-\sqrt{3}}{-1} \\ &= \sqrt{3} \Rightarrow \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}
θ=180∘+60∘=240∘\begin{aligned}\theta &= 180^\circ + 60^\circ \\ &= 240^\circ\end{aligned}

רביע שלישי

tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3} גם ב-60∘60^\circ, אבל שני החלקים שליליים: הנקודה ברביע השלישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך המוחלט של z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

r=1+3=2\begin{aligned}r &= \sqrt{1 + 3} \\ &= 2\end{aligned}

הסימנים לא משפיעים על הערך המוחלט: מעלים בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון z=4 cis 150∘z = 4\,\text{cis}\,150^\circ. מהו החלק הממשי של zz? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3.46

הפתרון:

a=4cos⁡150∘=4⋅(−32)=−23\begin{aligned}a &= 4\cos 150^\circ \\ &= 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -2\sqrt{3}\end{aligned}
≈−3.46\approx -3.46

150∘150^\circ ברביע השני: החלק הממשי שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: (2 cis 70∘)(3 cis 50∘)(2\,\text{cis}\,70^\circ)(3\,\text{cis}\,50^\circ).

  1. 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ
  2. 6 cis 20∘6\,\text{cis}\,20^\circ
  3. 5 cis 120∘5\,\text{cis}\,120^\circ
  4. 6 cis 3500∘6\,\text{cis}\,3500^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 6 cis 120∘6\,\text{cis}\,120^\circ

הפתרון:

2⋅3=670∘+50∘=120∘\begin{aligned}2 \cdot 3 &= 6 \\ \quad 70^\circ + 50^\circ &= 120^\circ\end{aligned}

כופלים אורכים, מחברים זוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו 8 cis 200∘2 cis 50∘\frac{8\,\text{cis}\,200^\circ}{2\,\text{cis}\,50^\circ}. מהו החלק המדומה של התוצאה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

=4 cis 150∘= 4\,\text{cis}\,150^\circ

מחלקים ומחסרים

4sin⁡150∘=4⋅12=2\begin{aligned}4\sin 150^\circ &= 4 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 2\end{aligned}

בחילוק מחסרים את הזוויות: 200∘−50∘200^\circ - 50^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון z=2 cis 40∘z = 2\,\text{cis}\,40^\circ. מהו zˉ\bar{z}?

  1. 12 cis 40∘\frac{1}{2}\,\text{cis}\,40^\circ
  2. 2 cis 140∘2\,\text{cis}\,140^\circ
  3. −2 cis 40∘-2\,\text{cis}\,40^\circ
  4. 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2 cis 320∘2\,\text{cis}\,320^\circ

הפתרון:

zˉ=2 cis(−40∘)=2 cis 320∘\begin{aligned}\bar{z} &= 2\,\text{cis}(-40^\circ) \\ &= 2\,\text{cis}\,320^\circ\end{aligned}

השיקוף בציר הממשי שומר על האורך והופך את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון z=4 cis 60∘z = 4\,\text{cis}\,60^\circ. מהו 1z\frac{1}{z}?

  1. 14 cis 60∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,60^\circ
  2. 4 cis 300∘4\,\text{cis}\,300^\circ
  3. 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ
  4. −4 cis 60∘-4\,\text{cis}\,60^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 14 cis 300∘\frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

הפתרון:

1 cis 0∘4 cis 60∘=14 cis(−60∘)\frac{1\,\text{cis}\,0^\circ}{4\,\text{cis}\,60^\circ} = \frac{1}{4}\,\text{cis}(-60^\circ)
=14 cis 300∘= \frac{1}{4}\,\text{cis}\,300^\circ

ההופכי הופך גם את האורך וגם את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון z=3 cis 100∘z = 3\,\text{cis}\,100^\circ. באיזה רביע נמצא iziz?

  1. השלישי
  2. הרביעי
  3. השני
  4. הראשון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א השלישי

הפתרון:

iz=3 cis 190∘iz = 3\,\text{cis}\,190^\circ

כפל ב-ii מוסיף 90∘90^\circ

180∘<190∘<270∘180^\circ < 190^\circ < 270^\circ

רביע שלישי

אין צורך לעבור להצגה אלגברית: מספיק לחבר את הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהו הארגומנט (במעלות) של (1+i)(1+i3)(1 + i)(1 + i\sqrt{3})?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 105

הפתרון:

1+i=2 cis 45∘1 + i = \sqrt{2}\,\text{cis}\,45^\circ
1+i3=2 cis 60∘1 + i\sqrt{3} = 2\,\text{cis}\,60^\circ
45∘+60∘=105∘45^\circ + 60^\circ = 105^\circ

בלי לפתוח סוגריים: הארגומנט של מכפלה הוא סכום הארגומנטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת