הגרף של f והגרף של f′, ופרמטרים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

לנגזרת יש גרף משלה. כש-ff עולה, f′f' חיובית, והגרף שלה נמצא מעל ציר ה-xx. כש-ff יורדת, f′f' שלילית, והגרף שלה מתחת לציר. בנקודת קיצון של ff המשיק אופקי, ולכן הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק שם.

f′(x)>0f'(x) > 0

הגרף של f′f' מעל הציר: ff עולה.

f′(x)<0f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת.

f′(x)=0f'(x) = 0

הגרף של f′f' חוצה את הציר: ל-ff קיצון שם. מפלוס למינוס: מקסימום. ממינוס לפלוס: מינימום.

מ-ff אל f′f' — קוראים סקיצה

סקיצה של f
x = −1x = 2-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy
ל-ff מקסימום ב-x=−1x=-1 ומינימום ב-x=2x=2. קוראים משמאל לימין: עולה עד −1-1, יורדת בין −1-1 ל-22, עולה מ-22 והלאה.

מהסקיצה של ff אומרים על f′f' שלושה דברים: f′(x)=0f'(x) = 0 ב-x=−1x=-1 וב-x=2x=2; f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x<−1x < -1 או x>2x > 2; f′(x)<0f'(x) < 0 כאשר −1<x<2-1 < x < 2. זה מספיק כדי לשרטט את f′f': היא חותכת את הציר ב-−1-1 וב-22, חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם. פרבולה שפונה כלפי מעלה.

סקיצה של f′ שמתאימה לגרף למעלה
-3-2-101234-8-44812xy
הגרף של f′f' חוצה את הציר בדיוק מתחת לנקודות הקיצון של ff. מעל הציר: ff עולה. מתחת לציר: ff יורדת. הגובה של f′f' אומר כמה תלול המשיק, לא איפה ff נמצאת.

לפי הסקיצה של f′f': מה עושה ff בקטע −1<x<2-1 < x < 2?

להציג את התשובה והפתרון

הגרף של f′f' מתחת לציר שם, ולכן ff יורדת לאורך כל הקטע. גם כש-f′f' מתחילה «לעלות» חזרה אל הציר, היא עדיין שלילית, ו-ff עדיין יורדת.

מ-f′f' אל ff — הכיוון ההפוך

עכשיו נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים על ff. מסתכלים איפה f′f' חוצה את הציר ואיזה סימן יש לה מכל צד. חוצה מלמטה למעלה, ממינוס לפלוס: ל-ff מינימום שם. חוצה מלמעלה למטה: מקסימום. הגובה של ff אינו ניתן לקריאה מהגרף של f′f'.

נתון: הגרף של f′
-10123456-8-6-4-2246f′(x)x
הישר הוא הגרף של f′f', לא של ff. הוא חוצה את הציר ב-x=3x=3, שלילי משמאל וחיובי מימין.

מגרף הנגזרת אל התנהגות הפונקציה

בשרטוט למעלה נתון הגרף של f′f'. מצאו את תחומי העלייה והירידה של ff ואת סוג נקודת הקיצון שלה.

x<3: f′(x)<0x < 3: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן ff יורדת

x>3: f′(x)>0x > 3: \ f'(x) > 0

מעל הציר, ולכן ff עולה

x=3: −→+x = 3: \ - \to +

ל-ff מינימום ב-x=3x=3

אם הגרף של f′f' הוא פרבולה שנמצאת כולה מעל ציר ה-xx, מה אפשר לומר על ff?

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה נקודות קיצון. הגרף של f′f' לא חוצה את הציר, ולכן אין נקודה שבה f′=0f'=0.

פרמטרים — כל תנאי הוא משוואה

כשבפונקציה יש מקדם לא ידוע, aa או bb, השאלה נותנת תנאי, וכל תנאי מתורגם למשוואה אחת. שני תנאים, שתי משוואות, שני נעלמים.

f(1)=5f(1) = 5

«הגרף עובר בנקודה (1, 5)(1,\,5)»: מציבים בפונקציה.

f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2»: מציבים בנגזרת ומשווים לאפס.

f′(1)=3f'(1) = 3

«שיפוע המשיק ב-x=1x=1 הוא 33», או «המשיק מקביל לישר y=3x+7y = 3x + 7»: מציבים בנגזרת.

שני פרמטרים משני תנאים

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x=1, והגרף עובר בנקודה (1, −5)(1,\,-5). מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים, עם הפרמטרים

f′(1)=3+2a+b=0\begin{aligned}f'(1) &= 3 + 2a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=1+a+b=−5 ⇒ a+b=−6\begin{aligned}f(1) &= 1 + a + b \\ &= -5 \ \Rightarrow \ a + b \\ &= -6\end{aligned}

הנקודה על הגרף

(3+2a+b)−(a+b)=0−(−6) ⇒ 3+a=6 ⇒ a=3\begin{aligned}(3 + 2a + b) - (a + b) &= 0 - (-6) \ \Rightarrow \ 3 + a \\ &= 6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מחסרים את המשוואות

b=−6−3=−9\begin{aligned}b &= -6 - 3 \\ &= -9\end{aligned}

מציבים

f′(x)=3x2+6x−9=3(x+3)(x−1) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + 6x - 9 \\ &= 3(x+3)(x-1) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: x=1x=1 אכן שורש של f′f', ו-f(1)=1+3−9=−5f(1) = 1 + 3 - 9 = -5

שיפוע משיק ונקודה

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 44, ו-f(1)=1f(1) = 1. מצאו את aa ואת bb.

f′(x)=2ax+b ⇒ f′(1)=2a+b=4\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 2a + b \\ &= 4\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת

f(1)=a+b=1\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 1\end{aligned}

הגובה: הפונקציה

(2a+b)−(a+b)=4−1 ⇒ a=3 b=−2\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 4 - 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3 \\ \ b &= -2\end{aligned}

מחסרים

f(x)=3x2−2x: f′(1)=6−2=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= 3x^2 - 2x: \ f'(1) \\ &= 6 - 2 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי הטעויות של הפרק.

f(2)=0f(2) = 0
f′(2)=0f'(2) = 0

«נקודת קיצון ב-x=2x=2» הוא תנאי על הנגזרת. f(2)=0f(2) = 0 היה אומר שהגרף חותך את ציר ה-xx שם.

f′ בשיא ⇒ f בשיאf' \ \text{בשיא} \ \Rightarrow \ f \ \text{בשיא}
f′=0 ⇒ f בקיצוןf' = 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{בקיצון}

הנקודה הגבוהה ביותר של הגרף של f′f' היא המקום שבו ff הכי תלולה, לא המקום שבו ff הכי גבוהה. קיצון של ff נמצא איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

תרגילים

תרגיל 1

הגרף של f′
-1012345-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff. מה נכון לגבי ff?

  1. ff יורדת כאשר x>2x > 2
  2. ל-ff אין נקודות קיצון
  3. ל-ff נקודת מקסימום ב-x=2x=2
  4. ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ל-ff נקודת מינימום ב-x=2x=2

הפתרון:

x<2: f′<0x>2: f′>0x < 2: \ f' < 0 \qquad x > 2: \ f' > 0

מתחת לציר, ואז מעל

−→+ ⇒ min⁡- \to + \ \Rightarrow \ \min

ב-x=2x=2

הנכונה: מינימום ב-x=2x=2. הישר בשרטוט עולה, אבל הוא הגרף של f′f', לא של ff: מה שקובע הוא הסימן שלו מכל צד של 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סקיצה של f
-3-2-101234-25-20-15-10-55101520xy

בשרטוט נתונה סקיצה של הגרף של ff, עם נקודת מקסימום ב-x=−1x=-1 ונקודת מינימום ב-x=2x=2. באיזה תחום f′(x)<0f'(x) < 0?

  1. x<−1x < -1 או x>2x > 2
  2. −10<x<3.5-10 < x < 3.5
  3. x<0x < 0
  4. −1<x<2-1 < x < 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1<x<2-1 < x < 2

הפתרון:

−1<x<2: f יורדת-1 < x < 2: \ f \ \text{יורדת}

בין המקסימום למינימום

f יורדת ⇒ f′(x)<0f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f'(x) < 0

נגזרת שלילית

הנכונה: −1<x<2-1 < x < 2. f′f' שלילית איפה ש-ff יורדת, לא איפה ש-ff שלילית. −10<x<3.5-10 < x < 3.5 הוא תחום של ערכי yy, ולא של xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2+axf(x) = x^2 + ax. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים

f′(3)=6+a=0 ⇒ a=−6\begin{aligned}f'(3) &= 6 + a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

התנאי «קיצון ב-x=3x=3» הולך לנגזרת. מי שהציב f(3)=0f(3) = 0 קיבל 9+3a=09 + 3a = 0, כלומר a=−3a = -3, וזה חיתוך עם ציר xx, לא קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=ax2−4x+1f(x) = ax^2 - 4x + 1. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x=1 הוא 22. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2ax−4f'(x) = 2ax - 4

גוזרים

f′(1)=2a−4=2 ⇒ a=3\begin{aligned}f'(1) &= 2a - 4 \\ &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

שיפוע המשיק: הנגזרת שווה 22

שיפוע משיק הוא ערך של f′f', לא של ff. הבדיקה: f(x)=3x2−4x+1f(x) = 3x^2 - 4x + 1, f′(1)=6−4=2f'(1) = 6 - 4 = 2 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x3+ax2+bxf(x) = x^3 + ax^2 + bx. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−1x=-1 וב-x=5x=5. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= -6 , b=b= -15

הפתרון:

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−1)=3−2a+b=0f′(5)=75+10a+b=0\begin{aligned}f'(-1) &= 3 - 2a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(5) &= 75 + 10a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני תנאים על הנגזרת

72+12a=0 ⇒ a=−6b=−3−12=−15\begin{aligned}72 + 12a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6 \\ \quad b &= -3 - 12 \\ &= -15\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f′(x)=3x2−12x−15=3(x+1)(x−5) ✓\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x - 15 \\ &= 3(x+1)(x-5) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

שתי נקודות קיצון, שני תנאים, ושניהם על f′f'. דרך קצרה: f′f' היא 3(x+1)(x−5)3(x+1)(x-5), ופותחים סוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של f′
-2-10123456-6-4-2246f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של f′f', פרבולה שחותכת את הציר ב-x=0x=0 וב-x=4x=4. מיינו את הקטעים לפי ההתנהגות של ff.

  • ff עולה
  • ff יורדת
  • 0<x<40 < x < 4
  • 1<x<31 < x < 3
  • x<0x < 0
  • x>4x > 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0<x<40 < x < 4 — ff עולה · x<0x < 0 — ff יורדת · x>4x > 4 — ff יורדת · 1<x<31 < x < 3 — ff עולה

הפתרון:

0<x<4: f′>00 < x < 4: \ f' > 0

הפרבולה מעל הציר בין השורשים

x<0 או x>4: f′<0x < 0 \ \text{או} \ x > 4: \ f' < 0

מתחת לציר מחוץ לשורשים

הפרבולה יורדת ב-2<x<42 < x < 4, אבל היא עדיין מעל הציר שם, ולכן ff עדיין עולה. הכיוון של f′f' לא קובע; הסימן שלה קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: אם הגרף של f′f' נמצא כולו מעל ציר ה-xx, אז ל-ff אין נקודות קיצון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)>0 לכל xf'(x) > 0 \ \text{לכל} \ x

הגרף מעל הציר

f′(x)≠0f'(x) \ne 0

אין נקודה חשודה, ולכן אין קיצון

הטענה נכונה. ff עולה בכל התחום. דוגמה: f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x, שנגזרתה 3x2+13x^2 + 1 חיובית תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הגרף של f(x) = x² − 2x − 3
-2-101234-5-4-3-2-112345xy

בשרטוט נתון הגרף של f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3, פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4). איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה שקודקודה ב-(1, −4)(1,\,-4)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. ישר יורד שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  4. ישר אופקי y=−4y = -4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1

הפתרון:

f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2

ישר, שיפוע 22

2x−2=0 ⇒ x=1\begin{aligned}2x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

חוצה את הציר בקודקוד של ff

x<1: f′<0x>1: f′>0x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

ff יורדת ואז עולה: מינימום

הנכונה: ישר עולה שחותך את הציר ב-x=1x=1. הגרף של f′f' אינו פרבולה: לפולינום ממעלה שנייה נגזרת ממעלה ראשונה. ו-−4-4 הוא הגובה של ff, לא של f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x3+axf(x) = x^3 + ax. המשיק לגרף בנקודה שבה x=2x=2 מקביל לישר y=15x−1y = 15x - 1. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

m=15m = 15

משיקים מקבילים: אותו שיפוע

f′(x)=3x2+a ⇒ f′(2)=12+a=15\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 + a \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12 + a \\ &= 15\end{aligned}

שיפוע המשיק ב-x=2x=2

a=3a = 3

פותרים

«מקביל לישר» הוא תנאי על השיפוע, ולכן על f′f'. המספר −1-1 בישר לא משתתף: ישרים מקבילים נבדלים בדיוק בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=ax3+bxf(x) = ax^3 + bx. לפונקציה נקודת קיצון ב-(1, 2)(1,\,2). מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=3ax2+b ⇒ f′(1)=3a+b=0\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + b \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 3a + b \\ &= 0\end{aligned}

קיצון ב-x=1x=1

f(1)=a+b=2\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 2\end{aligned}

הנקודה על הגרף

2a=−2 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}2a &= -2 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

מחסרים

f(x)=−x3+3x: f′(x)=−3x2+3=0 ⇒ x=±1 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x: \ f'(x) \\ &= -3x^2 + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: f(1)=2f(1) = 2

נקודת קיצון נתונה עם שני שיעורים נותנת שני תנאים: f′(1)=0f'(1) = 0 מה-xx, ו-f(1)=2f(1) = 2 מה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חזרה — שאלה 11

תרגיל 11

א. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. מיינו את הקטעים לפי הסימן של f′f'.

  • f′(x)>0f'(x)>0
  • f′(x)<0f'(x)<0
  • −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5
  • −1<x<3-1<x<3
  • 0<x<20<x<2
  • 4<x<64<x<6
  • x<−1x<-1
  • x>3x>3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: −1<x<3-1<x<3 — f′(x)>0f'(x)>0 · 0<x<20<x<2 — f′(x)>0f'(x)>0 · −0.5<x<2.5-0.5<x<2.5 — f′(x)>0f'(x)>0 · x<−1x<-1 — f′(x)<0f'(x)<0 · x>3x>3 — f′(x)<0f'(x)<0 · 4<x<64<x<6 — f′(x)<0f'(x)<0

הפתרון:

f↗ ⇒ f′>0f \nearrow \ \Rightarrow \ f'>0

איפה ff עולה, הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx

f↘ ⇒ f′<0f \searrow \ \Rightarrow \ f'<0

איפה ff יורדת, הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

כל קטע שנמצא כולו בתוך −1<x<3-1<x<3 שייך ל-f′>0f'>0. כל קטע שנמצא כולו בתוך x<−1x<-1 או בתוך x>3x>3 שייך ל-f′<0f'<0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

א. הפונקציה ff היא פולינום ממעלה שלישית. היא יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. איזה תיאור מתאים לגרף של f′f'?

  1. פרבולה «עצובה» שקודקודה בנקודה (−1, 0)(-1,\,0)
  2. ישר עולה שחותך את ציר ה-xx ב-x=1x=1
  3. פרבולה «שמחה» (פתוחה כלפי מעלה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
  4. פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד פרבולה «עצובה» (פתוחה כלפי מטה) שחותכת את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3

הפתרון:

f′(−1)=f′(3)=0\begin{aligned}f'(-1) &= f'(3) \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות הקיצון של ff הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx

−1<x<3: f′>0-1<x<3: \ f'>0

בין השורשים f′f' מעל הציר

x<−1, x>3: f′<0x<-1, \ x>3: \ f'<0

מחוץ לשורשים f′f' מתחת לציר

הנגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה. היא חיובית בין השורשים ושלילית מחוצה להם, ולכן היא עצובה. הפרבולה ה«שמחה» הפוכה בסימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

א. הפונקציה ff יורדת ב-x<−1x<-1, עולה ב-−1<x<3-1<x<3, ויורדת ב-x>3x>3. בשרטוט: הפרבולה y=x2−2x−3y=x^2-2x-3. הוכיחו או הפריכו: הפרבולה בשרטוט יכולה להיות הגרף של f′f'.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2−2x−3=(x+1)(x−3)x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

השורשים נכונים: −1-1 ו-33

x=0: 0−0−3=−3<0\begin{aligned}x &= 0: \ 0-0-3 \\ &= -3<0\end{aligned}

אבל בין השורשים הפרבולה מתחת לציר

הטענה לא נכונה. ב-−1<x<3-1<x<3 הפונקציה ff עולה, ולכן שם f′>0f'>0. הפרבולה בשרטוט שלילית בקטע הזה: היא מתאימה לפונקציה שעולה ויורדת בדיוק הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ב. הפונקציה ff מוגדרת לכל xx. היא עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. בכמה נקודות הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x=−2 x=1 x=4\begin{aligned}x &= -2 \\ \ x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

בכל אחת מהן ff מחליפה כיוון: נקודות קיצון

f′(−2)=f′(1)=f′(4)=0\begin{aligned}f'(-2) &= f'(1) \\ &= f'(4) \\ &= 0\end{aligned}

ושם הסימן של f′f' מתחלף

שלוש נקודות: x=−2x=-2, x=1x=1, x=4x=4. כל נקודת קיצון של ff היא נקודה שבה f′f' חוצה את ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. מה הסימנים של f′f' בארבעת הקטעים, משמאל לימין?

  1. +, +, −, −+,\ +,\ -,\ -
  2. +, −, −, ++,\ -,\ -,\ +
  3. −, +, −, +-,\ +,\ -,\ +
  4. +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -

הפתרון:

x<−2: f↗ ⇒ +x<-2: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

−2<x<1: f↘ ⇒ −-2<x<1: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

1<x<4: f↗ ⇒ +1<x<4: \ f \nearrow \ \Rightarrow \ +

עולה

x>4: f↘ ⇒ −x>4: \ f \searrow \ \Rightarrow \ -

יורדת

הנכונה: +, −, +, −+,\ -,\ +,\ -. הגרף של f′f' מתחיל מעל הציר, חוצה אותו שלוש פעמים, ומסתיים מתחתיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ב. הפונקציה ff עולה ב-x<−2x<-2, יורדת ב-−2<x<1-2<x<1, עולה ב-1<x<41<x<4, ויורדת ב-x>4x>4. הוכיחו או הפריכו: f′(0)>0f'(0)>0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

−2<0<1-2<0<1

x=0x=0 בקטע שבו ff יורדת

f′(0)<0f'(0)<0

ולכן שם f′f' שלילית

הטענה לא נכונה: f′(0)<0f'(0)<0. הסימן של f′f' נקבע לפי הכיוון של ff, לא לפי הגובה של הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת